Les systèmes électriques

Annales corrigées Tle S Physique-Chimie Électricité : exercices de synthèse Amérique du Nord 2010

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1. LE DIPÔLE RC

On réalise le circuit correspondant au schéma ci-contre. Un dispositif d'acquisition de données relié à un ordinateur permet de suivre l'évolution de la tension aux bornes du condensateur en fonction du temps t.

On déclenche les acquisitions à la fermeture de l'interrupteur K₁, le condensateur étant préalablement déchargé. L'ordinateur nous donne alors , courbe 1 ci-dessous.

Courbe 1. Dipôle RC

L'étude théorique conduit à une expression de la forme :

où est la constante de temps du circuit.

Reproduire le schéma du montage sur la copie et indiquer où doivent être branchées la masse M et la voie d'entrée de la carte d'acquisition pour étudier les variations de la tension u_C aux bornes du condensateur. Quel est le phénomène physique mis en évidence sur l'enregistrement ?
À partir de la courbe, indiquer la valeur E de la tension aux bornes du générateur. Justifier.
La constante de temps de ce circuit a pour expression .
1. 1. Montrer que la tension u_C atteint 63 % de sa valeur maximale au bout du temps caractéristique égal à .
2. 2. Déterminer la valeur de et déduire la valeur de la capacité C du condensateur.

2. LE DIPÔLE RL

On remplace le condensateur par une bobine d'inductance L et de résistance r selon le schéma ci-contre. L'ordinateur nous permet de suivre l'évolution de l'intensité i du courant en fonction du temps, courbe 2 ci-dessous.

Courbe 2. Dipôle RL

La loi d'additivité des tensions appliquée à ce circuit série conduit à l'équation différentielle suivante :

(1)

Quel est le phénomène physique mis en évidence sur l'enregistrement et quel est l'élément du circuit responsable de ce phénomène ?
Soit I l'intensité du courant électrique qui traverse le circuit en régime permanent. Établir son expression littérale à partir de l'équation (1) en fonction des grandeurs caractéristiques du circuit. Donner sa valeur numérique et déduire la résistance de la bobine.
Quelle est la valeur du courant à la date ? Comment s'écrit alors l'équation différentielle (1) donnée précédemment ?
Montrer qu'à , on a avec constante de temps du dipôle RL.
Vérifier que est homogène à un temps.
Déterminer graphiquement la valeur numérique de et déduire la valeur de l'inductance L de la bobine.

3. LE DIPÔLE RLC EN OSCILLATIONS LIBRES

On associe un condensateur de capacité avec la bobine précédente, comme le montre le schéma ci-contre. Le condensateur est préalablement chargé (interrupteur en position 1). L'enregistrement des variations de la tension aux bornes du condensateur en fonction du temps commence quand on bascule K en position 2, courbe 3 ci-dessous.

Courbe 3. Oscillations libres dipôle RLC

Caractériser du point de vue énergétique l'enregistrement obtenu. Les oscillations observées sont-elles périodiques ? Pourquoi les qualifie-t-on d'oscillations libres ?
Mesurer la pseudo-période T des oscillations électriques.
En assimilant la pseudo-période à la période propre, déterminer la valeur de l'inductance de la bobine. La comparer à celle trouvée précédemment.

On rappelle l'expression de la période propre : .
L'association bobine-condensateur est à la base de la constitution d'oscillateurs qui génèrent une tension sinusoïdale constante en fréquence et en amplitude. Ces oscillateurs sont présents dans de nombreux appareils électriques utilisés dans le domaine des télécommunications.
Comment maintient-on constante l'énergie totale d'un oscillateur électrique ?

LES CLÉS DU SUJET

Notions et compétences en jeu

Circuits RC, RL et RLC.
Branchement d'une interface d'acquisition, détermination de la constante de temps à partir du graphique de l'évolution temporelle de la tension aux bornes du condensateur.
Détermination de la résistance interne et de l'inductance d'une bobine.
Analyse dimensionnelle de la constante de temps d'un circuit RL.
Détermination de la pseudo-période des oscillations d'un circuit RLC, notion d'oscillations libres.
Montage « à résistance négative ».

Conseils du correcteur

Partie 2

Pensez qu'en régime permanent l'intensité du courant est constante, sa dérivée par rapport au temps est donc nulle.

Remplacez le terme E par l'expression établie au 2. 2.

Partie 3

Lorsque l'interrupteur est en position 2, le générateur ne peut plus fournir d'énergie électrique au circuit.

Corrigé :

1. LE DIPÔLE RC

La voie d'entrée et la masse de la carte d'acquisition doivent être branchée comme suit :

L'enregistrement met en évidence la charge du condensateur.
Le condensateur se charge jusqu'à ce que la tension à ses bornes soit égale à la f.é.m. E du générateur. Nous lisons donc graphiquement :
1. 1. Exprimons grâce à l'expression analytique de fournie dans l'énoncé :
  
  d'où numériquement :
  
  Après une durée égale à , le condensateur est donc bien chargé à 63 % de sa valeur maximale.
2. 2. Nous déterminons la valeur de par lecture graphique en cherchant l'abscisse du point de la courbe dont l'ordonnée vaut :
  
  Nous lisons :
  
  Connaissant l'expression de la constante de temps pour un circuit RC, nous tirons .
  
  D'où numériquement, avec et , nous calculons :

2. LE DIPÔLE RL

L'enregistrement montre un retard à l'établissement du courant dans le dipôle RL. En effet, l'intensité du courant n'atteint pas immédiatement sa valeur maximale, en raison de la présence de la bobine.
L'équation différentielle fournie dans l'énoncé reste valable en régime permanent, lorsque l'intensité du courant vaut I, soit :
or car

donc : et

Cette relation permet aussi d'exprimer la résistance interne de la bobine :

or graphiquement nous lisons :

d'où numériquement, avec et , nous obtenons :
Initialement l'intensité du courant est nulle dans le circuit, soit :

et l'équation différentielle est toujours vérifiée, alors :

donc

Par suite, en remplaçant la force électromotrice par son expression établie au 2. 2, nous obtenons :

d'où

puis en posant , nous aboutissons à :
Effectuons l'analyse dimensionnelle du rapport :
or d'après l'expression de la tension aux bornes d'une bobine idéale :

donc

et d'après la loi d'Ohm :

donc .

Ce qui nous permet de déterminer la dimension du rapport :

donc

Celui-ci est bien homogène à un temps.

L'abscisse du point d'intersection de la tangente à l'origine à la courbe avec son asymptote horizontale nous donne la valeur de la constante de temps :

Nous en déduisons alors la valeur de l'inductance de la bobine :

avec , et :

3. LE DIPÔLE RLC EN OSCILLATIONS LIBRES

Après basculement de l'interrupteur en position 2, il s'effectue des transferts d'énergie entre le condensateur et la bobine. Au cours de ceux-ci, de l'énergie est dissipée par effet Joule au niveau des différentes parties résistives du circuit, à savoir principalement dans la résistance interne de la bobine. Ainsi les oscillations observées sont amorties.
Ces oscillations ne sont donc pas périodiques mais pseudo-périodiques. Elles sont qualifiées de libres car elles s'effectuent sans apport d'énergie depuis l'extérieur du circuit.
Nous mesurons trois pseudo-périodes des oscillations électriques :

donc

Ainsi, en assimilant pseudo-période et période propre, nous pouvons exprimer l'inductance de la bobine :

.

Numériquement, avec et , nous obtenons :

Cette valeur est voisine de celle trouvée précédemment.
Afin de maintenir constante l'énergie totale d'un circuit électrique, nous utilisons un montage à amplificateur opérationnel se comportant comme un conducteur ohmique de résistance négative.