Abonnés aux spectacles d’un opéra

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Suites
Type : Exercice | Année : 2015 | Académie : France métropolitaine

France métropolitaine • Septembre 2015

Exercice 3 • 5 points

Abonnés aux spectacles d’un opéra

Dans une ville, un opéra décide de proposer à partir de 2014 un abonnement annuel pour ses spectacles.

L’évolution du nombre d’abonnés d’une année à la suivante est modélisée par le directeur de l’opéra qui prévoit que 75 % des personnes abonnées renouvelleront leur abonnement l’année suivante et qu’il y aura chaque année 300 nouveaux abonnés.

Ainsi, pour tout entier naturel n, un modélise le nombre d’abonnés pour l’année (2014 + n).

Pour l’année 2014, il y a 500 abonnés, autrement dit u0= 500.

▶ 1. Calculer u1 et u2. Arrondir à l’entier. (0,5 point)

▶ 2. Expliquer pourquoi, pour tout entier naturel n :

un+1=0,75 un+300. (0,75 point)

▶ 3. On définit la suite (vn) par, pour tout entier naturel n :

vn=un1200.

a) Montrer que la suite (vn) est géométrique de raison 0,75 et préciser v0. (1 point)

b) En déduire alors que pour tout entier naturel n :

un=700×0,75n+1200. (1 point)

c) Calculer u10 (arrondir à l’entier). Donner une interprétation concrète de la valeur trouvée. (0,5 point)

▶ 4. On souhaite écrire un algorithme qui permette d’afficher l’année à partir de laquelle le nombre d’abonnements sera supérieur à 1 190.

On propose trois algorithmes :

Algorithme 1

Affecter à n la valeur 0

Affecter à U la valeur 500

Tant que U1190

Affecter à n la valeur n+1

Affecter à U la valeur

700×0,75n+1200

Fin Tant que

Affecter à n la valeur n+2014

Afficher n

Algorithme 2

Affecter à n la valeur 0

Affecter à U la valeur 500

Tant que U1190

Affecter à U la valeur

700×0,75n+1200

Affecter à n la valeur n+1

Fin Tant que

Affecter à n la valeur n+2014

Afficher n

Algorithme 3

Affecter à n la valeur 0

Affecter à U la valeur 500

Tant que U1190

Affecter à n la valeur n+1

Affecter à U la valeur

700×0,75n+1200

Affecter à n la valeur n+2014

Fin Tant que

Afficher n

Parmi ces trois algorithmes, déterminer lequel convient pour répondre au problème posé et expliquer pourquoi les deux autres ne conviennent pas. (1,25 point)

Les clés du sujet

Durée conseillée : 45 minutes

Les thèmes en jeu

Évolution en pourcentage • Suite géométrique • Boucle avec arrêt conditionnel « Tant que » • Fonction logarithme népérien.

Les conseils du correcteur

 3. a) La suite (vn) est géométrique de raison 0,75 si et seulement si, pour tout entier naturel n, vn+1=0,75 vn.

c) Déterminez l’année associée à n=10.

Corrigé

Corrigé

 1. Calculer deux termes d’une suite

u1 représente le nombre d’abonnés en 2015.

500×75100=375, donc 375 des 500 abonnés de 2014 se réabonnent en 2015 ; s’y ajoutent 300 nouveaux abonnés, donc :

u1=375+300

u1=675.

u2 est le nombre d’abonnés en 2016.

De manière analogue, 675×75100=506,25.

506,25+300=806,25. En arrondissant à l’entier :

u2=806.

 2. Justifier une relation de récurrence entre deux termes successifs d’une suite

Soit n un entier naturel.

Parmi les un abonnés de l’année 2014+n, les trois quarts, soit 0,75un, se réabonnent l’année suivante, et il y a 300 nouveaux abonnés, d’où :

un+1=0,75un+300.

 3. a) Montrer qu’une suite est une suite géométrique

Soit n un entier naturel :

vn+1=un+11200=0,75un+3001200=0,75un900.

vn=un1200, donc un=vn+1200, d’où :

vn+1=0,75(vn+1200)900

vn+1=0,75vn+0,75×1200900

vn+1=0,75 vn.

La suite (vn) est donc une suite géométrique de raison 0,75.

Son premier terme est v0=u01200=5001200=700.

b) Donner l’expression du terme général d’une suite

De la question précédente on déduit, d’après le cours, que, pour tout entier naturel n :

vn=700 ×0,75n.

un=vn+1200, d’où :

un=700×0,75n+1200.

c) Calculer et donner une interprétation concrète d’un terme d’une suite

D’après la question précédente, u10=700×0,7510+1200, soit, en arrondissant à l’entier :

u10=1161.

Cela signifie qu’en 2014+10, c’est-à-dire en 2024, il devrait y avoir environ 1 161 abonnés à l’opéra, si l’évolution se poursuit de la même manière.

 4. Choisir l’algorithme convenable parmi trois algorithmes proposés

L’algorithme qui permet d’afficher l’année à partir de laquelle le nombre d’abonnements sera supérieur à 1 190 est l’algorithme 1.

L’algorithme 2 ne convient pas, car on affecte n+1 à n après le calcul de U, ce qui entraîne un décalage dans les indices ; par exemple, le premier passage dans la boucle affecte à U la valeur 700×0,750+1200 et à n la valeur 1.

L’algorithme 3 ne convient pas non plus, car l’instruction « Affecter à n la valeur n+2014 » est à l’intérieur de la boucle, dans cette boucle il y a deux instructions modifiant la valeur de n. Lorsqu’on fait fonctionner l’algorithme, les valeurs successives de n, après l’initialisation à n=0, sont 1, 2015, 2016, 4030 (fin du deuxième passage dans la boucle) ; on sort alors de la boucle et l’algorithme affiche 4030.