Abonnés à un service de jeux sur téléphone mobile

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Suites
Type : Exercice | Année : 2016 | Académie : Amérique du Nord

Amérique du Nord • Juin 2016

Exercice 2 • 5 points

Abonnés à un service de jeux sur téléphone mobile

Une société propose un service d’abonnement pour jeux vidéo sur téléphone mobile.

Le 1er janvier 2016, on compte 4 000 abonnés.

À partir de cette date, les dirigeants de cette société ont constaté que, d’un mois sur l’autre, 8 % des anciens joueurs se désabonnent, mais que, par ailleurs, 8 000 nouvelles personnes s’abonnent.

1. Calculer le nombre d’abonnés au 1er février 2016. (0,5 point)

Pour la suite de l’exercice, on modélise cette situation par une suite numérique (un),un représente le nombre de milliers d’abonnés au bout de n mois après le 1er janvier 2016.

La suite (un) est donc définie par u0=4 et, pour tout entier naturel n :

un+1=0,92un+8.

2. On considère l’algorithme suivant :

Variables 

N est un nombre entier naturel

U est un nombre réel

Traitement 

U prend la valeur 4

N prend la valeur 0

Tant que U<40

U prend la valeur 0,92 U+8

N prend la valeur N+1

Fin Tant que

Sortie 

Afficher N

a) Recopier le tableau suivant et compléter en ajoutant autant de colonnes que nécessaire. Les valeurs de U seront arrondies au dixième. (1 point)

Valeur de U

4

……

……

Valeur de N

0

……

……

Condition U < 40

vraie

……

……

b) Donner la valeur affichée en sortie par cet algorithme et interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice. (0,5 point)

3. On considère la suite (vn) définie pour tout entier naturel n par :

vn=un100.

a) Montrer que la suite (vn) est géométrique de raison 0,92 et calculer son premier terme v0. (1 point)

b) Donner l’expression de vn en fonction de n. (0,5 point)

c) En déduire que, pour tout entier naturel n, on a :

un=10096×0,92n. (0,5 point)

4. En résolvant une inéquation, déterminer la date (année et mois) à partir de laquelle le nombre d’abonnés devient supérieur à 70 000. (1 point)

Les clés du sujet

Durée conseillée : 45 minutes

Les thèmes en jeu

Évolution en pourcentage • Suite géométrique • Boucle avec arrêt conditionnel « Tant que » • Fonction logarithme népérien.

Les conseils du correcteur

2. b) N’oubliez pas, à chaque étape, de comparer U et 40 ; l’algorithme s’arrête (on sort de la boucle « Tant que ») dès que U40.

3. c) Si vn=un100, alors un=vn+100.

4. Utilisez la fonction logarithme népérien.

Corrigé

Corrigé

1. Calculer un terme d’une suite

Le nombre d’abonnés au 1er février 2016 est :

40004000×8100+8000=0,92×4000+8000=11680.

Au 1er février 2016, le nombre d’abonnés est de 11 680.

2. a) Construire un tableau d’étapes d’un algorithme

La réalisation de l’algorithme peut être résumée par le tableau ci-dessous :

Valeur de U

4

11,7

18,7

25,2

31,2

36,7

41,8

Valeur de N

0

1

2

3

4

5

6

Condition U < 40

vraie

vraie

vraie

vraie

vraie

vraie

fausse

(Les valeurs de U ont été arrondies à l’unité.)

b) Donner la valeur affichée en sortie d’un algorithme

D’après la question précédente, la valeur affichée en sortie de l’algorithme est 6.

Au bout de 6 mois, c’est-à-dire au 1er juillet 2016, le nombre d’abonnés dépassera pour la première fois 40 000.

3. a) Montrer qu’une suite est une suite géométrique

Pour tout entier naturel n:

vn+1=un+1100

vn+1=0,92 un+8100

vn+1=0,92(vn+100)92

vn+1=0,92vn+9292

vn+1=0,92 vn.

La suite (vn) est géométrique de raison 0,92 ; son premier terme est v0=u0100=96.

b) Donner l’expression du terme général d’une suite géométrique

D’après le cours, pour tout entier naturel n :

vn=96×0,92n.

c) Donner l’expression du terme général d’une suite associée à une suite géométrique

vn=un100, donc un=vn+100, donc :

un=10096×0,92n.

4. Résoudre une inéquation dans l’ensemble des entiers naturels

Pour déterminer la date à partir de laquelle le nombre d’abonnés devient supérieur à 70 000, on cherche l’entier n tel que un>70.

un>7010096×0,92n>7096×0,92n<300,92n<3096.

Or, 3096=516=0,3125.

Donc un>700,92n<0,3125.

On applique aux deux membres (strictement positifs) de cette inégalité la fonction ln, strictement croissante sur ]0;+[; l’ordre est conservé, d’où :

nln(0,92)<ln(0,3125).

ln(0,92)<0 car 0,92<1, donc l’inéquation équivaut à n>ln(0,3125)ln(0,92) .

Or ln(0,3125)ln(0,92) 13,95, donc, puisque n est un entier naturel, l’inéquation un>70 équivaut à :

n14.

Au bout de 14 mois, c’est-à-dire le 1er mars 2017, le nombre d’abonnés devient supérieur à 70 000.