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Accord de Kyoto et émissions de CO2 d'une zone industrielle

Liban • Juin 2017

Exercice 2 • 6 points • 50 min

Accord de Kyoto et émissions de CO2 d'une zone industrielle

Les thèmes clés

Évolution en pourcentage • Suite géométrique.

 

Les deux parties sont indépendantes.

partie A. L'accord de Kyoto (1997)

Le principal gaz à effet de serre (GES) est le dioxyde de carbone, noté CO2.

En 2011, la France a émis 486 mégatonnes de GES en équivalent CO2 contre 559 mégatonnes en 1990.

1. Dans l'accord de Kyoto, la France s'est engagée à réduire ses GES de 8 % entre 1990 et 2012. Peut-on dire qu'en 2011 la France respectait déjà cet engagement ? Justifier la réponse. (0,5 point)

2. Sachant que les émissions de 2011 ont marqué une baisse de 5,6 % par rapport à 2010, calculer le nombre de mégatonnes en équivalent CO2 émises par la France en 2010. Arrondir le résultat à 0,1. (0,5 point)

partie B. Étude des émissions de gaz à effet de serre d'une zone industrielle

Un plan de réduction des émissions de gaz à effet de serre (GES) a été mis en place dans une zone industrielle. On estime que, pour les entreprises déjà installées sur le site, les mesures de ce plan conduisent à une réduction des émissions de 2 % d'une année sur l'autre et que, chaque année, les implantations de nouvelles entreprises sur le site génèrent 200 tonnes de GES en équivalent CO2.

En 2005, cette zone industrielle a émis 41 milliers de tonnes de CO2 au total.

Pour tout entier naturel n, on note un le nombre de milliers de tonnes de CO2 émis dans cette zone industrielle au cours de l'année 2005 + n.

1. Déterminer u0 et u1. (0,5 point)

2. Montrer que, pour tout entier naturel n, on a :

un+1 = 0,98 × un + 0,2. (0,5 point)

3. On considère la suite (vn) définie, pour tout entier naturel n, par :

vn = un - 10.

a) Montrer que la suite (vn) est géométrique de raison 0,98. Préciser son premier terme. (0,5 point)

b) Exprimer vn en fonction de n, pour tout entier naturel n. (0,5 point)

c) En déduire que, pour tout entier naturel :

un=31×(0,98)n+10. (0,5 point)

4. a) Calculer la limite de la suite (un). (0,5 point)

b) Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice. (0,5 point)

5. À l'aide de l'algorithme ci-dessous, on se propose de déterminer l'année à partir de laquelle la zone industrielle aura réduit au moins de moitié ses émissions de CO2, par rapport à l'année 2005.

a) Recopier et compléter les lignes 7 et 9 de l'algorithme : (1 point)

010_matT_1706_09_02C_algo_001

b) L'algorithme affiche 54. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice. (0,5 point)

Les clés du sujet

Partie A

1. Vous pouvez calculer et exploiter un coefficient multiplicateur. N'oubliez pas qu'un pourcentage de réduction est un pourcentage de la valeur initiale.

Partie B

5. a) L'algorithme doit calculer les termes successifs de la suite tant qu'ils ne remplissent pas la condition un  20,5.

Corrigé

partie A. L'accord de Kyoto (1997)

1. Déterminer un pourcentage d'évolution

4865590,87.

Or, 0,87=113100, donc entre 1990 et 2011, la quantité de GES émis par la France a déjà diminué d'environ 13 %.

En 2011 la France respectait déjà son engagement.

2. Calculer la quantité initiale connaissant la quantité finale et le pourcentage d'évolution

Soit x le nombre de mégatonnes de CO2 émises par la France en 2010 :

486=xx×5,6100

486 = 0,944 x.

Donc :

x=4860,944

x 514,8 en arrondissant le résultat à 0,1.

En 2010, la France a émis environ 514,8 mégatonnes de CO2.

partie B. Étude des émissions de gaz à effet de serre d'une zone industrielle

1. Déterminer les deux premiers termes d'une suite

En 2005, la zone industrielle a émis 41 milliers de tonnes de CO2 au total, d'où :

u0=41

Il y a réduction des émissions de 2 % d'une année sur l'autre et les implantations de nouvelles entreprises génèrent 200 tonnes (soit 0,2 millier de tonnes) de GES en équivalent CO2, d'où :

u1=u0u0×2100+0,2

u1 = 0,98 × 41 + 0,2

u1=40,38

2. Établir une relation entre deux termes consécutifs d'une suite

Pour les mêmes raisons que précédemment, pour tout entier naturel n :

un+1=unun×2100+0,2

un+1=0,98×un+0,2

3. a) Montrer qu'une suite est une suite géométrique

Pour tout entier naturel n :

vn+1=un+110vn+1=0,98×un+0,210vn+1=0,98 (vn+10)9,8vn+1=0,98 vn.

Donc la suite (vn) est géométrique de raison 0,98.

Son premier terme est v0=u010=31.

b) Donner l'expression du terme général d'une suite géométrique

D'après la question précédente, pour tout entier naturel :

vn= 31×(0,98)n

c) Donner l'expression du terme général d'une suite associée à une suite géométrique

Pour tout entier naturel n, un = vn + 10, donc :

un= 31×(0,98)n+10

4. a) Calculer la limite d'une suite

0  0,98  1, donc :

limn+(0,98)n=0

limn+un=10

b) Interpréter la limite d'une suite

À long terme, les émissions de CO2 de la zone industrielle se stabiliseront aux environs de 10 milliers de tonnes.

5. a) Compléter un algorithme

notez bien

Puisqu'en 2005, la zone industrielle a émis 41 milliers de tonnes de CO2, elle aura réduit au moins de moitié ses émissions de CO2 par rapport à cette année-là lorsque la quantité de CO2 émis en une année sera inférieure ou égale à 20,5 milliers de tonnes.

Pour que l'algorithme détermine et affiche le nombre d'années nécessaires pour que la zone industrielle réduise au moins de moitié ses émissions de CO2, par rapport à l'année 2005, on complète les lignes 7 et 9 de la manière suivante :

7 Tant que U>20,5 faire

9U prend la valeur 0,98 U+0,2

b) Interpréter le résultat affiché par un algorithme

Puisque l'algorithme affiche 54, il faudra 54 ans pour que la zone industrielle réduise au moins de moitié ses émissions de CO2, par rapport à l'année 2005.

C'est donc à partir de 2059 que la zone industrielle aura réduit au moins de moitié ses émissions de CO2 par rapport à l'année 2005.

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