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Âge et hauteur d'un épicéa

Liban • Juin 2017

Exercice 4 • 5 points • 65 min

Âge et hauteur d'un épicéa

Les thèmes clés

Fonction logarithme • Tableur

 

L'épicéa commun est une espèce d'arbre résineux qui peut mesurer jusqu'à 40 mètres de hauteur et vivre plus de 150 ans.

L'objectif de cet exercice est d'estimer l'âge et la hauteur d'un épicéa à partir du diamètre de son tronc mesuré à 1,30 m du sol.

partie a : modélisation de l'âge d'un épicéa

Pour un épicéa dont l'âge est compris entre 20 et 120 ans, on modélise la relation entre son âge (en années) et le diamètre de son tronc (en mètres) mesuré à 1,30 m du sol par la fonction f définie sur l'intervalle ]0  1[ par :

f(x)=30ln(20x1x)

x désigne le diamètre exprimé en mètres et f(x) l'âge en années.

1. Démontrer que la fonction f est strictement croissante sur l'intervalle ]0  1[.

2. Déterminer les valeurs du diamètre x du tronc tel que l'âge calculé dans ce modèle reste conforme à ses conditions de validité, c'est-à-dire compris entre 20 et 120 ans.

partie b

On a relevé la hauteur moyenne des épicéas dans des échantillons représentatifs d'arbres âgés de 50 à 150 ans. Le tableau suivant, réalisé à l'aide d'un tableur, regroupe ces résultats et permet de calculer la vitesse de croissance moyenne d'un épicéa.

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

K

L

M

1

Âge (en années)

50

70

80

85

90

95

100

105

110

120

130

150

2

Hauteur (en mètres)

11,2

15,6

18,05

19,3

20,55

21,8

23

24,2

25,4

27,6

29,65

33

3

Vitesse de croissance (en mètres par année)

0,22

0,245

0,25

1. a) Interpréter le nombre 0,245 dans la cellule D3.

b) Quelle formule doit-on entrer dans la cellule C3 afin de compléter la ligne 3 en recopiant la cellule C3 vers la droite ?

2. Déterminer la hauteur attendue d'un épicéa dont le diamètre du tronc mesuré à 1,30 m du sol vaut 27 cm.

3. La qualité du bois est meilleure au moment où la vitesse de croissance est maximale.

a) Déterminer un intervalle d'âges durant lequel la qualité du bois est la meilleure en expliquant la démarche.

b) Est-il cohérent de demander aux bûcherons de couper les arbres lorsque leur diamètre mesure environ 70 cm ?

Les clés du sujet

Partie A

2. Résolvez, dans , les équations f(x)=20 et f(x)=120. Concluez en utilisant les variations de la fonction f.

Partie B

2. Déterminez dans un premier temps l'âge d'un épicéa dont le diamètre du tronc mesuré à 1,30 m du sol vaut 27 cm à l'aide de la partie A. Utilisez ensuite le tableau (relevé) pour conclure.

3. a) Complétez la ligne 3 du tableur et identifiez la ou les valeurs maximales.

Corrigé

Partie A

1. Étudier les variations d'une fonction  E6c • E6e • E6f 

Les fonctions affines x 20x et x 1 - x sont dérivables sur ]0   1[. Comme la fonction x 1 - x ne s'annule pas sur cet intervalle, la fonction (quotient) x20x1x est dérivable également sur ]0   1[.

À noter

Pour tout réel x de ]0   1[, 20x > 0 et 1 - x > 0.

De plus, cette fonction est strictement positive sur ]0   1[. Par composition et produit, la fonction f est donc dérivable sur ]0   1[.

• Pour tout réel x de ]0   1[, on a :

f(x)=30×ln(20x1x)=30×(ln(20x)ln(1x)).

À retenir

Si u est dérivable et strictement positive sur I, ln(u) est dérivable sur I et (lnu)=uu.

Par suite, pour tout réel x de ]0   1[ on a :

f(x)=30×(2020x(1)1x)=30×(1x+11x).

Comme x > 0 et 1 - x > 0, on a f(x)>0.

La fonction f est donc strictement croissante sur l'intervalle ]0   1[.

2. Déterminer des valeurs sous contrainte  E8f • E9a 

Résolvons l'équation f(x)=20 dans . On a :

À noter

Pour tous réels a et b, a=bea=eb.

f(x)=2030×ln(20x1x)=20ln(20x1x)=2320x1x=e2320x=e23xe2320x+xe23=e23x=e2320+e23.

Notons x1 cette solution. Une valeur approchée au millième étant 0,089, x1 appartient bien à l'intervalle ]0   1[.

À retenir

Pour tout réel c >0, elnc=c.

De même, l'équation f(x)=120 admet dans une seule solution qui est x=e420+e4.

Notons x2 cette solution. Une valeur approchée au millième étant 0,731, x2 appartient bien à l'intervalle ]0   1[.

Pour tout réel x tel que x1  x  x2, on a f(x1)f(x)f(x2) (f étant strictement croissante sur l'intervalle ]0   1[ d'après la question 1.). Or, f(x1)=20 et f(x2)=120. Ainsi, 20f(x)120.

Les valeurs du diamètre x du tronc tel que l'âge calculé dans ce modèle reste conforme à ses conditions de validité, sont les valeurs comprises entre x1 et x2 à savoir l'intervalle :

[e2320+e23e420+e4][0,0890,731].

Partie B

1. a) Interpréter une valeur

D'après le relevé, un épicéa âgé entre 70 et 80 ans a une vitesse de croissance moyenne de 0,245 mètre à savoir 24,5 centimètres par an.

b) Déterminer une formule à saisir dans un tableur

D'après le relevé, un épicéa âgé entre 50 et 70 ans grandit sur ces 20 années de 15,6 - 11,2 = 4,4 mètres. Cela représente ainsi une vitesse de croissance moyenne en mètres par année de 4,420=0,22.

Une formule qui peut être saisie dans la cellule C3 afin de compléter la ligne 3 en recopiant la cellule C3 vers la droite est : « =(C2–B2)/(C1–B1) ».

2. Calculer une image par une fonction

L'âge d'un épicéa dont le diamètre du tronc mesuré à 1,30 m du sol vaut 27 cm est :

Attention

Veillez aux unités : 27 cm correspond à 0,27 m.

f(0,27)=30×ln(20×0,2710,27)=30×ln(54073)60.

Cet épicéa étant âgé environ de 60 ans (entre 50 et 70 ans), il aurait dû mesurer 11,2 mètres à 50 ans et avoir une vitesse de croissance moyenne de 0,22 mètre par an. Ainsi, à l'âge de 60 ans, sa hauteur en mètres devrait être de : 11,2 + 10 × 0,22 = 13,40.

La hauteur attendue d'un épicéa dont le diamètre du tronc mesuré à 1,30 m du sol vaut 27 cm, est 13,40 mètres.

3. a) Compléter une ligne d'un tableur

Complétons le reste de la ligne 3 du tableau pour connaître toutes les vitesses de croissance :

On a :

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

K

L

M

1

Âge (en années)

50

70

80

85

90

95

100

105

110

120

130

150

2

Hauteur (en mètres)

11,2

15,6

18,05

19,3

20,55

21,8

23

24,2

25,4

27,6

29,65

33

3

Vitesse de croissance (en mètres par année)

0,22

0,245

0,25

0,25

0,25

0,24

0,24

0,24

0,22

0,205

0,1675

Sur cette troisième ligne, la vitesse de croissance maximale est 0,25 mètre par an (cellules E3, F3 et G3). L'intervalle d'âges durant lequel la qualité du bois est la meilleure est donc [80   95].

b) Calculer une image par une fonction

L'âge d'un épicéa dont le diamètre du tronc mesuré à 1,30 m du sol vaut environ 70 cm est :

f(0,70)=30×ln(20×0,7010,70)=30×ln(1403)115ans.

Cet épicéa étant âgé d'environ 115 ans, d'après la question précédente, la qualité du bois n'est plus la meilleure. Il n'est ainsi pas cohérent de demander aux bûcherons de couper les arbres lorsque leur diamètre mesure environ 70 cm.

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