Âge et hauteur d'un épicéa

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Fonction logarithme népérien
Type : Exercice | Année : 2017 | Académie : Moyen-Orient


Liban • Juin 2017

Exercice 4 • 5 points • 65 min

Âge et hauteur d’un épicéa

Les thèmes clés

Fonction logarithme • Tableur

 

L’épicéa commun est une espèce d’arbre résineux qui peut mesurer jusqu’à 40 mètres de hauteur et vivre plus de 150 ans.

L’objectif de cet exercice est d’estimer l’âge et la hauteur d’un épicéa à partir du diamètre de son tronc mesuré à 1,30 m du sol.

partie a : modélisation de l’âge d’un épicéa

Pour un épicéa dont l’âge est compris entre 20 et 120 ans, on modélise la relation entre son âge (en années) et le diamètre de son tronc (en mètres) mesuré à 1,30 m du sol par la fonction f définie sur l’intervalle ]0 ; 1[ par :

f(x)=30ln(20x1x)

x désigne le diamètre exprimé en mètres et f(x) l’âge en années.

1. Démontrer que la fonction f est strictement croissante sur l’intervalle ]0 ; 1[.

2. Déterminer les valeurs du diamètre x du tronc tel que l’âge calculé dans ce modèle reste conforme à ses conditions de validité, c’est-à-dire compris entre 20 et 120 ans.

partie b

On a relevé la hauteur moyenne des épicéas dans des échantillons représentatifs d’arbres âgés de 50 à 150 ans. Le tableau suivant, réalisé à l’aide d’un tableur, regroupe ces résultats et permet de calculer la vitesse de croissance moyenne d’un épicéa.

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

K

L

M

1

Âge (en années)

50

70

80

85

90

95

100

105

110

120

130

150

2

Hauteur (en mètres)

11,2

15,6

18,05

19,3

20,55

21,8

23

24,2

25,4

27,6

29,65

33

3

Vitesse de croissance (en mètres par année)

0,22

0,245

0,25

1. a) Interpréter le nombre 0,245 dans la cellule D3.

b) Quelle formule doit-on entrer dans la cellule C3 afin de compléter la ligne 3 en recopiant la cellule C3 vers la droite ?

2. Déterminer la hauteur attendue d’un épicéa dont le diamètre du tronc mesuré à 1,30 m du sol vaut 27 cm.

3. La qualité du bois est meilleure au moment où la vitesse de croissance est maximale.

a) Déterminer un intervalle d’âges durant lequel la qualité du bois est la meilleure en expliquant la démarche.

b) Est-il cohérent de demander aux bûcherons de couper les arbres lorsque leur diamètre mesure environ 70 cm ?

Les clés du sujet

Partie A

2. Résolvez, dans , les équations f(x)=20 et f(x)=120. Concluez en utilisant les variations de la fonction f.

Partie B

2. Déterminez dans un premier temps l’âge d’un épicéa dont le diamètre du tronc mesuré à 1,30 m du sol vaut 27 cm à l’aide de la partie A. Utilisez ensuite le tableau (relevé) pour conclure.

3. a) Complétez la ligne 3 du tableur et identifiez la ou les valeurs maximales.