Agences de services et circuits dans les rues d'une ville

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES | Thème(s) : Matrices et graphes
Type : Exercice | Année : 2015 | Académie : Amérique du Nord

 

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Amérique du Nord • Juin 2015

Exercice 2 • 5 points

Les parties A et B sont indépendantes.

Un créateur d’entreprise a lancé un réseau d’agences de services à domicile. Depuis 2010, le nombre d’agences n’a fait qu’augmenter. Ainsi l’entreprise, qui comptait 200 agences au 1er janvier 2010, est passée à 300 agences au 1er janvier 2012, puis à 500 agences au 1er janvier 2014.

matT_1506_02_01C_02

On admet que l’évolution du nombre d’agences peut être modélisée par une fonction 4050616-Eqn37 définie sur 4050616-Eqn38 par 4050616-Eqn39, où 4050616-Eqn40, 4050616-Eqn41 et 4050616-Eqn42 sont trois nombres réels.

La variable 4050616-Eqn43 désigne le nombre d’années écoulées depuis 2010 et 4050616-Eqn44 exprime le nombre d’agences en centaines. La valeur 0 de 4050616-Eqn45 correspond donc à l’année 2010.

Sur le dessin ci-contre, on a représenté graphiquement la fonction 4050616-Eqn46.

partie A

On cherche à déterminer la valeur des coefficients 4050616-Eqn47, 4050616-Eqn48 et 4050616-Eqn49.

 1. a) À partir des données de l’énoncé, écrire un système d’équations traduisant cette situation. (0,75 point)

b) En déduire que le système précédent est équivalent à :

4050616-Eqn50 avec 4050616-Eqn51, 4050616-Eqn52 et 4050616-Eqn53 une matrice colonne que l’on précisera. (0,5 point)

 2. On admet que 4050616-Eqn54

À l’aide de cette matrice, déterminer les valeurs des coefficients 4050616-Eqn55, 4050616-Eqn56 et 4050616-Eqn57 en détaillant les calculs. (0,75 point)

 3. Suivant ce modèle, déterminer le nombre d’agences que l’entreprise possédera au 1er janvier 2016. (0,5 point)

partie B

Le responsable d’une agence de services à domicile implantée en ville a représenté par le graphe ci-dessous toutes les rues dans lesquelles se trouvent des clients qu’il doit visiter quotidiennement. Dans ce graphe, les arêtes sont les rues et les sommets sont les intersections des rues.

matT_1506_02_01C_03

 1. a) Déterminer si le graphe est connexe. (0,5 point)

b) Déterminer si le graphe est complet. (0,5 point)

Ce responsable voudrait effectuer un circuit qui passe une et une seule fois par chaque rue dans laquelle se trouvent des clients.

 2. Déterminer si ce circuit existe dans les deux cas suivants :

a) Le point d’arrivée est le même que le point de départ. (0,75 point)

b) Le point d’arrivée n’est pas le même que le point de départ. (0,75 point)

Les clés du sujet

Durée conseillée : 45 minutes

Les thèmes en jeu

Matrice • Chaîne eulérienne.

Les conseils du correcteur

Partie A

 2. 4050616-Eqn118 équivaut à 4050616-Eqn119.

 3. Utilisez les valeurs de 4050616-Eqn120, 4050616-Eqn121 et 4050616-Eqn122 déterminées à la question précédente.

Au 1er janvier 2016, il s’est écoulé 6 ans depuis le 1er janvier 2010, on calcule 4050616-Eqn123.