Agences de services et circuits dans les rues d'une ville

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES | Thème(s) : Matrices et graphes
Type : Exercice | Année : 2015 | Académie : Amérique du Nord

 

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Amérique du Nord • Juin 2015

Exercice 2 • 5 points

Les parties A et B sont indépendantes.

Un créateur d’entreprise a lancé un réseau d’agences de services à domicile. Depuis 2010, le nombre d’agences n’a fait qu’augmenter. Ainsi l’entreprise, qui comptait 200 agences au 1er janvier 2010, est passée à 300 agences au 1er janvier 2012, puis à 500 agences au 1er janvier 2014.

matT_1506_02_01C_02

On admet que l’évolution du nombre d’agences peut être modélisée par une fonction 4050616-Eqn37 définie sur 4050616-Eqn38 par 4050616-Eqn39, où 4050616-Eqn40, 4050616-Eqn41 et 4050616-Eqn42 sont trois nombres réels.

La variable 4050616-Eqn43 désigne le nombre d’années écoulées depuis 2010 et 4050616-Eqn44 exprime le nombre d’agences en centaines. La valeur 0 de 4050616-Eqn45 correspond donc à l’année 2010.

Sur le dessin ci-contre, on a représenté graphiquement la fonction 4050616-Eqn46.

partie A

On cherche à déterminer la valeur des coefficients 4050616-Eqn47, 4050616-Eqn48 et 4050616-Eqn49.

 1. a) À partir des données de l’énoncé, écrire un système d’équations traduisant cette situation. (0,75 point)

b) En déduire que le système précédent est équivalent à :

4050616-Eqn50 avec 4050616-Eqn51, 4050616-Eqn52 et 4050616-Eqn53 une matrice colonne que l’on précisera. (0,5 point)

 2. On admet que 4050616-Eqn54

À l’aide de cette matrice, déterminer les valeurs des coefficients 4050616-Eqn55, 4050616-Eqn56 et 4050616-Eqn57 en détaillant les calculs. (0,75 point)

 3. Suivant ce modèle, déterminer le nombre d’agences que l’entreprise possédera au 1er janvier 2016. (0,5 point)

partie B

Le responsable d’une agence de services à domicile implantée en ville a représenté par le graphe ci-dessous toutes les rues dans lesquelles se trouvent des clients qu’il doit visiter quotidiennement. Dans ce graphe, les arêtes sont les rues et les sommets sont les intersections des rues.

matT_1506_02_01C_03

 1. a) Déterminer si le graphe est connexe. (0,5 point)

b) Déterminer si le graphe est complet. (0,5 point)

Ce responsable voudrait effectuer un circuit qui passe une et une seule fois par chaque rue dans laquelle se trouvent des clients.

 2. Déterminer si ce circuit existe dans les deux cas suivants :

a) Le point d’arrivée est le même que le point de départ. (0,75 point)

b) Le point d’arrivée n’est pas le même que le point de départ. (0,75 point)

Les clés du sujet

Durée conseillée : 45 minutes

Les thèmes en jeu

Matrice • Chaîne eulérienne.

Les conseils du correcteur

Partie A

 2. 4050616-Eqn118 équivaut à 4050616-Eqn119.

 3. Utilisez les valeurs de 4050616-Eqn120, 4050616-Eqn121 et 4050616-Eqn122 déterminées à la question précédente.

Au 1er janvier 2016, il s’est écoulé 6 ans depuis le 1er janvier 2010, on calcule 4050616-Eqn123.

Corrigé

Corrigé

Partie A

 1. a) Traduire une situation par un système d’équations

4050616-Eqn199 car il y a 200 agences en 2010, donc 4050616-Eqn200.

4050616-Eqn201 car il y a 300 agences en 2012, donc 4050616-Eqn202.

4050616-Eqn203 car, en 2014, le nombre d’agences est passé à 500, donc 4050616-Eqn204.

D’où le système :

4050616-Eqn205

b) Écrire un système d’équations sous forme matricielle

Le système précédent est équivalent à 4050616-Eqn206 c’est-à-dire :

4050616-Eqn207

 2. Résoudre un système d’équations à l’aide de matrices

La matrice 4050616-Eqn209 est supposée inversible, donc 4050616-Eqn210 équivaut à 4050616-Eqn211, soit :

4050616-Eqn212

4050616-Eqn213.

D’où :

4050616-Eqn214

 3. Calculer l’image d’un nombre par une fonction

4050616-Eqn215, donc le nombre d’agences, en centaines, au 1er janvier 2016 est :

4050616-Eqn216.

Donc au 1er janvier 2016, l’entreprise possédera 800 agences (si le modèle est toujours valide).

Partie B

 1. a) Indiquer si un graphe est connexe

Entre deux sommets quelconques, il existe au moins une chaîne, aucun sommet n’est isolé.

Donc le graphe donné est connexe.

b) Indiquer si un graphe est complet

Deux sommets quelconques ne sont pas nécessairement reliés par une arête ; par exemple, il n’existe pas d’arête d’extrémités A et C.

Donc le graphe donné n’est pas complet.

 2. a) Déterminer si un graphe possède un cycle eulérien

Un circuit qui passe une et une seule fois par chaque rue et dont le point d’arrivée est le même que le point de départ est un cycle eulérien du graphe.

Pour déterminer si le graphe possède un cycle eulérien, on détermine le degré de chaque sommet, c’est-à-dire le nombre d’arêtes dont une extrémité est ce sommet.

D’après le théorème d’Euler, un graphe admet un cycle eulérien si et seulement si il est connexe et n’a aucun sommet de degré impair.

Sommet

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

K

L

M

N

O

P

Degré

2

2

2

4

4

2

2

3

3

4

2

2

4

2

2

2

Gagnez des points !

Le graphe possède 21 arêtes. La somme des nombres figurant sur la deuxième ligne du tableau établi à la question a) est égale à 42 (chaque arête est comptée deux fois).

On vérifie que le circuit proposé ci‑dessus comporte bien 21 arêtes.

Le graphe donné est connexe, mais il possède deux sommets de degré impair : les sommets H et I sont de degré 3. Ce graphe ne possède donc pas de cycle eulérien.

Il est donc impossible de parcourir une fois et une seule chaque rue de manière que le point d’arrivée soit le même que le point de départ.

b) Déterminer si un graphe possède une chaîne eulérienne qui n’est pas un cycle

Toujours d’après le théorème d’Euler, un graphe admet une chaîne eulérienne d’extrémités deux sommets donnés si et seulement si il est connexe et ces deux sommets sont les seuls de degré impair.

D’après le tableau établi à la question précédente, il existe donc sur le graphe au moins une chaîne eulérienne d’extrémités H et I.

Il existe donc un circuit qui passe une et une seule fois par chaque rue et dont le point de départ et le point d’arrivée sont les sommets H et I.

Un exemple de tel circuit est :

H – D – C - G – H – L – M – I – E – B – A – D – E – F – J – K – P – O – M – N – J – I