Utiliser la géométrie plane pour démontrer
S’entraîner
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Asie • Juin 2021
Agrandissement de carrés
exercice 2
Le quadrilatère ABCD est un carré de côté de longueur 1 cm. Il est noté carré ①.
Les points A, B, E et H sont alignés, ainsi que les points A, D, G et J.
On construit ainsi une suite de carrés (carré ①, carré ②, carré ③, …) en doublant la longueur du côté du carré, comme illustré ci-dessous pour les trois premiers carrés.
La figure n’est pas en vraie grandeur.
▶ 1. Calculer la longueur AC.
▶ 2. On choisit un carré de cette suite de carrés.
Aucune justification n’est demandée pour les questions 2. a) et 2. b).
a) Quel coefficient d’agrandissement des longueurs permet de passer de ce carré au carré suivant ?
b) Quel type de transformation permet de passer de ce carré au carré suivant ?
▶ 3. L’affirmation « la longueur de la diagonale du carré ③ est trois fois plus grande que la longueur de la diagonale du carré ① » est-elle correcte ?
▶ 4. Déterminer, à l’aide de la calculatrice, une valeur approchée de la mesure de l’angle au degré près.
Les clés du sujet
L’intérêt du sujet
Cet exercice te permet de réviser le théorème de Pythagore, les transformations du plan et la trigonométrie.
Nos coups de pouce, question par question
▶ 1. ABC est rectangle en B, d’après le théorème de Pythagore on a :
AC2 = AB2 + BC2
AC2 = 12 + 12
AC2 = 1 + 1
Donc : AC = cm.
▶ 2. a) La longueur de chaque carré est multipliée par 2 donc le coefficient d’agrandissement vaut 2.
b) La seule transformation connue qui permet d’agrandir une figure est une homothétie ; ici, c’est l’homothétie de centre A de rapport 2.
▶ 3. Les longueurs dans le carré AHIJ sont 4 fois plus grandes que celles du carré ABCD.
En particulier, la diagonale [AI] est 4 fois plus grande que la diagonale [AC].
Donc l’affirmation est fausse.
▶ 4. Le triangle ABJ est rectangle en A.
On connaît le côté opposé à : c’est [AB], avec AB = 1 cm.
On connaît le côté adjacent à : c’est [AJ] avec AJ = 4 cm.
Donc .
Avec la calculatrice on a .