Agriculture, industrie, services

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES | Thème(s) : Matrices et graphes
Type : Exercice | Année : 2012 | Académie : Inédit
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Agriculture, industrie, services

Matrices

Corrigé

46

Ens. de spécialité

matT_1200_00_21C

Sujet inédit

Exercice • 5 points

On considère une économie simplifiée comportant trois secteurs : agriculture, industrie, services.

Pour une année donnée, on note que :

  • l’agriculture produit 300 unités, dont 150 unités sont consommées par l’agriculture elle-même, 10 unités sont consommées par l’industrie, 30 unités sont consommées par les services et 110 unités sont disponibles pour la consommation finale ;
  • l’industrie produit 1 000 unités, dont 35 unités sont consommées par l’agriculture, 390 unités sont consommées par l’industrie elle-même, 80 unités sont consommées par les services et 495 unités sont disponibles pour la consommation finale ;
  • les services produisent 600 unités, dont 15 unités sont consommées par l’agriculture, 100 unités sont consommées par l’industrie, 90 unités sont consommées par les services eux-mêmes et 395 unités sont disponibles pour la consommation finale.

Notations :

On considère les matrices colonnes suivantes :

(production) ; (consommation finale) ;

(consommations intermédiaires).

>1.a) Que représentent les coefficients de la matrice  ? (0,5 point)

b) Quelle relation y a-t-il entre les matrices  ? (0,5 point)

>2. Déterminer la matrice telle que . Interpréter chacun des coefficients de la matrice A. (0,75 point + 0,5 point)

On suppose que ces coefficients, appelés coefficients techniques, restent constants d’une année sur l’autre.

>3. Donner la relation entre les matrices . (0,75 point)

>4. Quelles sont les quantités d’unités de produits issus de chacun des trois secteurs qui seront disponibles pour la consommation finale si l’agriculture produit 600 unités, l’industrie 2 500 unités et les services 900 unités ? (1 point)

>5. Quel nombre d’unités doit produire chaque secteur pour que soient disponibles pour la consommation finale 362 unités issues de l’agriculture, 1 443 unités issues de l’industrie et 815 unités issues des services ? (1 point)

On donne : .

Durée conseillée : 45 min.

Les thèmes en jeu

Calcul matriciel • Inverse d’une matrice.

Les conseils du correcteur

>  1. Exploitez le fait que chaque secteur utilise une partie de sa propre production et de celle des autres secteurs pour produire.

>  3. Utilisez la matrice identité I d’ordre 3 et les relations établies aux questions précédentes.

>  4. Vous devez trouver finalement 230 unités issues de l’agriculture, 1 335 unités issues de l’industrie, 485 unités issues des services.

>  5. C’est le problème inverse de celui posé à la question précédente. Utilisez la matrice donnée.

Vous devez obtenir que l’agriculture doit produire 900 unités, l’industrie 2 800 unités, les services 1 200 unités.

Corrigé

>1.a) Interprétation des coefficients de S

Des 300 unités produites par l’agriculture, 190 sont utilisées pour la production : 150 sont consommées par l’agriculture elle-même, 10 par l’industrie, 30 par les services ;

des 1 000 unités produites par l’industrie, 505 sont utilisées pour la production : 35 unités sont consommées par l’agriculture, 390 par l’industrie elle-même, 80 par les services ;

Notez bien

Ces quantités (coefficients de la matrice ) forment la consommation intermédiaire.

des 600 unités produites par les services, 205 sont utilisées pour la production : 15 unités sont consommées par l’agriculture, 100 par l’industrie, 90 par les services eux-mêmes.

Les coefficients de la matrice représentent donc les quantités de produits issus respectivement de l’agriculture, de l’industrie et des services utilisées pour les productions de ces trois branches.

b) Relation entre X, S et Y

La production est la somme de la consommation intermédiaire et de la consommation finale d’où :

>2. Détermination de la matrice A telle que A × X = S
Interprétation de ses coefficients

, soit :

qui s’écrit aussi est la matrice suivante :

Le coefficient de la matrice situé à l’intersection de la ligne et de la colonne représente le rapport , c’est-à-dire le nombre d’unités de consommées par pour produire une unité.

( et sont des entiers égaux à 1, 2 ou 3 ; 1 correspond à l’agriculture, 2 à l’industrie, 3 aux services).

>3. Relation entre A, X et Y

D’après les questions 1. b) et 2., et , donc :

Notez bien

Pour toute matrice carrée d’ordre 3,

représente la matrice identité (ou unité) d’ordre 3 ; .

>4. Quantités d’unités de produits issus de chacun des trois secteurs

Dans cette question, , et on cherche la matrice colonne telle que .

Notez bien

La matrice est appelée matrice de Leontief, du nom de l’économiste Wassily Leontief, lauréat du prix Nobel d’économie en 1973.

Pour calculer , on soustrait coefficient par coefficient les coefficients de à ceux de .

En calculant le produit matriciel ci-dessus, on obtient

Donc, si l’agriculture produit 600 unités, l’industrie 2 500 unités et les services 900 unités, alors seront disponibles pour la consommation finale : 230 unités issues de l’agriculture, 1 335 unités issues de l’industrie, 485 unités issues des services.

>5. Nombre d’unités à produire par chaque secteur

On veut disposer pour la consommation finale de 362 unités issues de l’agriculture, 1 443 unités issues de l’industrie et 815 unités issues des services.

Donc dans cette question, , et on cherche la matrice colonne telle que .

Puisque la matrice est inversible, cette relation équivaut à :

.

Afin de disposer pour la consommation finale de 362 unités issues de l’agriculture, 1443 unités issues de l’industrie et 815 unités issues des services, il faut que l’agriculture produise 900 unités, l’industrie 2800 unités, les services 1200 unités.