Annale corrigée Exercice

Ailes d'un moulin à vent décoratif

Polynésie française • Septembre 2019

Exercice 4 • 14 points

Ailes d'un moulin à vent décoratif

On s'intéresse aux ailes d'un moulin à vent décoratif de jardin. Elles sont représentées par la figure ci-dessous :

mat3_1909_13_04C_01

On donne :

BCDE, FGHI, JKLM et PQRS sont des rectangles superposables.

C, B, A, J, K d'une part et G, F, A, P, Q d'autre part sont alignés.

AB = AF = AJ = AP.

1. Quelle transformation permet de passer du rectangle FGHI au rectangle PQRS ?

2. Quelle est l'image du rectangle FGHI par la rotation de centre A d'angle 90o dans le sens inverse des aiguilles d'une montre ?

3. Soit V un point de [EB] tel que BV = 4 cm.

On donne :

AB = 10 cm et AC = 30 cm.

Attention la figure n'est pas construite à la taille réelle.

mat3_1909_13_04C_02

a) Justifier que (DC) et (VB) sont parallèles.

b) Calculer DC.

c) Déterminer la mesure de l'angle DAC^. Arrondir au degré près.

Les clés du sujet

Points du programme

Transformations • Théorème de Thalès • Trigonométrie.

Nos coups de pouce

1. Revois la définition de la symétrie centrale.

2. Revois la définition de la rotation.

3. a) Utilise une propriété des rectangles.

b) Applique le théorème de Thalès.

c) Calcule tanVAB^ dans le triangle VAB rectangle en B.

conseil

Pour répondre aux 2 premières questions, fais une figure soignée en utilisant une règle graduée, un rapporteur, une équerre et un compas.

1. Les points C, B, A, J, K d'une part et les points G, F, A, P, Q d'autre part sont alignés ; le point A est le milieu des segments [FP], [GQ], [HR] et [IS], donc le rectangle PQRS est l'image du rectangle FGHI par la symétrie de centre A.

2. AJ = AF, AK = AG, AL = AH, AM = AI.

FAJ^ = GAK^ = HAL^ = IAM^ = 90°.

Pour aller de F à J en décrivant un angle de 90°, on tourne dans le sens des aiguilles d'une montre. Il en est de même pour aller de G à K, de H à L et de I à M.

Donc le rectangle JKLM est l'image du rectangle FGHI par la rotation de centre A, d'angle 90° dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.

3. a) Le quadrilatère BCDE est un rectangle, donc les droites (DC) et (EB) sont parallèles.

Le point V est situé sur le segment [EB], donc les droites (DC) et (VB) sont parallèles.

b) Les points A, B, C sont alignés dans le même ordre que les points A, V, D. De plus les droites (DC) et (VB) sont parallèles. Nous pouvons appliquer le théorème de Thalès et écrire : ABAC=BVCD.

Nous obtenons 1030=4CD ou encore, en faisant le produit en croix :

CD=× 3010

CD=12 cm.

c) Dans le triangle VAB rectangle en B :

tanVAB^= côté opposécôté adjacent=BVBA.

BV = 4 cm et BA = 10 cm, donc tanVAB^=410=0,4.

La calculatrice donne, au degré près : VAB^ = 22°.

Les angles DAC^ et VAB^ ont la même mesure, donc, au degré près :

DAC^=22°.

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