Aire d'un domaine compris entre deux courbes

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Intégration
Type : Exercice | Année : 2015 | Académie : Pondichéry


Pondichéry • Avril 2015

Exercice 1 • 4 points

Aire d’un domaine compris entre deux courbes

Partie A

Soit f la fonction définie sur par 239002-Eqn1.

Sur le graphique ci-après, on a tracé, dans un repère 239002-Eqn2, la courbe représentative C de la fonction f et la droite Δ d’équation y = 3.

matT_1504_12_01C_01

1. Démontrer que la fonction f est strictement croissante sur .

2. Justifier que la droite Δ est asymptote à la courbe C.

3. Démontrer que l’équation f(x= 2,999 admet une unique solution α sur .

Déterminer un encadrement de α d’amplitude 10−2.

Partie B

Soit h la fonction définie sur par h(x= 3 − f(x).

1. Justifier que la fonction h est positive sur .

2. On désigne par H la fonction définie sur par :

239002-Eqn3

Démontrer que H est une primitive de h sur .

3. Soit a un réel strictement positif.

a) Donner une interprétation graphique de l’intégrale 239002-Eqn4.

b) Démontrer que 239002-Eqn5.

c) On note D l’ensemble des points M(; y) du plan défini par :

239002-Eqn6

Déterminer l’aire, en unités d’aire, du domaine D.

Les clés du sujet

Durée conseillée : 60 minutes.

Les thèmes clés

Fonctions exponentielle et logarithme népérien • Limites de fonctions • Dérivation • Calcul intégral.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Dérivation E6e • E6f Partie A, 1.

Variations d’une fonction E6c Partie A, 1.

Limite d’une fonction E5 Partie A, 2. ; Partie B, 3. c)

Primitive E11a Partie B, 2.

Intégrale et interprétation graphique E14 Partie B, 3. a) et c)

Calcul d’intégrale E13 Partie B, 3. b)

Nos coups de pouce

Partie A

 1. Pensez à utiliser le signe de la dérivée de la fonction pour étudier ses variations.

 2. N’oubliez pas que la notion d’asymptote découle des calculs de limites. Pour avoir une idée de la limite à déterminer, aidez-vous de la représentation graphique fournie.

 3. Pensez à vérifier toutes les hypothèses indispensables à l’application du corollaire du théorème des valeurs intermédiaires.

Corrigé

Corrigé

Partie A

 1. Justifier les variations d’une fonction

Calculons la dérivée de la fonction 239002-Eqn31.

La fonction 239002-Eqn32 est le quotient de deux fonctions dérivables sur 239002-Eqn33, quotient où le dénominateur ne s’annule pas sur 239002-Eqn34. Par conséquent, 239002-Eqn35 est dérivable sur 239002-Eqn36.

Notez bien

Si 239002-Eqn37 est une fonction dérivable sur un intervalle I et ne s’annule pas sur I, alors :

239002-Eqn38. Si 239002-Eqn39 est une fonction dérivable sur un intervalle I alors : 239002-Eqn40.

Pour tout réel 239002-Eqn41 : 239002-Eqn42.

Pour tout réel 239002-Eqn43, 239002-Eqn44 et 239002-Eqn45 donc, par quotient, nous obtenons 239002-Eqn46.

La fonction 239002-Eqn47est donc strictement croissante sur 239002-Eqn48.

 2. Justifier l’existence d’une asymptote à une courbe

Calculons la limite de la fonction 239002-Eqn49 en 239002-Eqn50.

239002-Eqn51 ; par somme 239002-Eqn52.

Par quotient, 239002-Eqn53.

Par conséquent, dans le repère orthogonal proposé, la droite 239002-Eqn54 est asymptote à la courbe C.

 3. Identifier le nombre de solutions d’une équation

D’après la question 1., la fonction 239002-Eqn55 est dérivable sur 239002-Eqn56 donc elle est continue sur 239002-Eqn57.

D’après la question 1., la fonction 239002-Eqn58 est strictement croissante sur 239002-Eqn59.

D’après la question 2., 239002-Eqn60.

De plus, 239002-Eqn61 ; par somme, 239002-Eqn62.

Par quotient, 239002-Eqn63.

On constate alors que 239002-Eqn64 est compris entre 0 et 3.

D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation 239002-Eqn65 admet donc une unique solution 239002-Eqn66 sur 239002-Eqn67.

matT_1504_12_01C_tab1

Avec la méthode par balayage, nous obtenons :

TI 83 Plus.fr

CASIO GRAPH 75

Conclusion

matT_1504_12_01C_05

matT_1504_12_01C_06

239002-Eqn75

matT_1504_12_01C_07

matT_1504_12_01C_08

239002-Eqn76

matT_1504_12_01C_09

matT_1504_12_01C_10

239002-Eqn77

La solution 239002-Eqn78cherchée est donc comprise entre 4 et 4,01.

Partie B

 1. Déterminer le signe d’une fonction sur un intervalle

Pour tout réel 239002-Eqn79 :

239002-Eqn80.

Comme 239002-Eqn81 et 239002-Eqn82, nous en déduisons que 239002-Eqn83.

La fonction 239002-Eqn84est donc strictement positive sur 239002-Eqn85.

 2. Identifier une primitive d’une fonction

Notez bien

Si 239002-Eqn86 est une fonction dérivable sur un intervalle I et strictement positive sur I, alors : 239002-Eqn87.

La fonction 239002-Eqn88 est dérivable sur 239002-Eqn89 comme somme de fonctions dérivables sur 239002-Eqn90 et est strictement positive sur 239002-Eqn91.

Par composition, la fonction 239002-Eqn92 est donc dérivable sur 239002-Eqn93.

Par produit, la fonction 239002-Eqn94 est dérivable sur ℝ et, pour tout réel 239002-Eqn96 :

239002-Eqn97 (voir l’expression de 239002-Eqn98 à la question précédente).

La fonction 239002-Eqn99 est donc une primitive de 239002-Eqn100 sur 239002-Eqn101.

 3. a) Interpréter graphiquement une intégrale

La fonction 239002-Eqn102 est une différence de fonctions dérivables sur 239002-Eqn103 donc 239002-Eqn104 est dérivable sur 239002-Eqn105 et donc continue sur 239002-Eqn106.

D’après la question 1. de la partie B, la fonction 239002-Eqn107 est strictement positive sur 239002-Eqn108.

Ainsi, pour tout réel 239002-Eqn109 : 239002-Eqn110 soit encore 239002-Eqn111.

Par conséquent, comme 239002-Eqn112, l’intégrale proposée est l’aire, en unités d’aires, du domaine compris entre la droite 239002-Eqn113 d’équation 239002-Eqn114, la courbe C représentative de la fonction 239002-Eqn115et les droites d’équations 239002-Eqn116et 239002-Eqn117.

b) Calculer une intégrale

Notez bien

Pour tous réels a et b strictement positifs : 239002-Eqn118.

La fonction 239002-Eqn119 est continue sur 239002-Eqn120 et 239002-Eqn121 est une primitive de 239002-Eqn122 sur 239002-Eqn123.

Par conséquent, pour tout réel 239002-Eqn124 :

239002-Eqn125

c) Calculer l’aire d’un domaine

Le domaine D est, sur l’intervalle 239002-Eqn128, la partie du plan délimitée par la droite 239002-Eqn129 et la courbe C représentative de la fonction 239002-Eqn130.

L’aire du domaine D est donc donnée par : 239002-Eqn131.

Or 239002-Eqn132. Nous avons : 239002-Eqn133 (voir partie A, question 2.).

Par quotient : 239002-Eqn134. Par composition et produit :239002-Eqn135

L’aire du domaine D est donc égale à 239002-Eqn136 unités d’aire.