Aire d'un domaine compris entre deux courbes

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Intégration
Type : Exercice | Année : 2015 | Académie : Pondichéry


Pondichéry • Avril 2015

Exercice 1 • 4 points

Aire d’un domaine compris entre deux courbes

Partie A

Soit f la fonction définie sur par 239002-Eqn1.

Sur le graphique ci-après, on a tracé, dans un repère 239002-Eqn2, la courbe représentative C de la fonction f et la droite Δ d’équation y = 3.

matT_1504_12_01C_01

1. Démontrer que la fonction f est strictement croissante sur .

2. Justifier que la droite Δ est asymptote à la courbe C.

3. Démontrer que l’équation f(x= 2,999 admet une unique solution α sur .

Déterminer un encadrement de α d’amplitude 10−2.

Partie B

Soit h la fonction définie sur par h(x= 3 − f(x).

1. Justifier que la fonction h est positive sur .

2. On désigne par H la fonction définie sur par :

239002-Eqn3

Démontrer que H est une primitive de h sur .

3. Soit a un réel strictement positif.

a) Donner une interprétation graphique de l’intégrale 239002-Eqn4.

b) Démontrer que 239002-Eqn5.

c) On note D l’ensemble des points M(; y) du plan défini par :

239002-Eqn6

Déterminer l’aire, en unités d’aire, du domaine D.

Les clés du sujet

Durée conseillée : 60 minutes.

Les thèmes clés

Fonctions exponentielle et logarithme népérien • Limites de fonctions • Dérivation • Calcul intégral.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Dérivation E6e • E6f Partie A, 1.

Variations d’une fonction E6c Partie A, 1.

Limite d’une fonction E5 Partie A, 2. ; Partie B, 3. c)

Primitive E11a Partie B, 2.

Intégrale et interprétation graphique E14 Partie B, 3. a) et c)

Calcul d’intégrale E13 Partie B, 3. b)

Nos coups de pouce

Partie A

 1. Pensez à utiliser le signe de la dérivée de la fonction pour étudier ses variations.

 2. N’oubliez pas que la notion d’asymptote découle des calculs de limites. Pour avoir une idée de la limite à déterminer, aidez-vous de la représentation graphique fournie.

 3. Pensez à vérifier toutes les hypothèses indispensables à l’application du corollaire du théorème des valeurs intermédiaires.