Aire entre deux courbes

Merci !

Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Compléments sur les fonctions
Type : Exercice | Année : 2015 | Académie : Amérique du Nord


Amérique du Nord • Juin 2015

Exercice 4 • 6 points

Aire entre deux courbes

Partie A

Soit u la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par u(x) = ln(x) + x – 3.

1. Justifier que la fonction u est strictement croissante sur l’intervalle ]0 ; +∞[.

2. Démontrer que l’équation u(x) = 0 admet une unique solution α comprise entre 2 et 3.

3. En déduire le signe de u(x) en fonction de x.

Partie B

Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par 428018-Eqn18.

On appelle C la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal.

1. Déterminer la limite de la fonction f en 0.

2. a) Démontrer que, pour tout réel x de l’intervalle ]0 ; +∞[, 428018-Eqn19u est la fonction définie dans la partie A.

b) En déduire le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle ]0 ; +∞[.

Partie C

Soit C′ la courbe d’équation y = ln(x).

1. Démontrer que, pour tout réel x de l’intervalle ]0 ; +∞[, 428018-Eqn20.

En déduire que les courbes C et C′ ont un seul point commun dont on déterminera les coordonnées.

2. On admet que la fonction H définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par 428018-Eqn21 est une primitive de la fonction h définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par 428018-Eqn22.

Calculer 428018-Eqn23.

Interpréter graphiquement ce résultat.

Les clés du sujet

Durée conseillée : 60 minutes.

Les thèmes clés

Logarithme népérien • Intégration.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

Dérivation  E6c • E6e • E6f Partie A, 1. ; Partie B, 2. a) et b)

Continuité  E7a • E7b • E7c Partie A, 2. ; Partie C, 2.

Limites  E5a Partie B, 1.

Logarithme népérien  E9 Partie A, 1. ; Partie B, 1. et 2. ; Partie C

Intégration  E11c • E13 • E14 • E15a Partie C, 2.

Nos coups de pouce

Partie C

1. Écrivez les trois conditions que doit vérifier un point pour appartenir aux deux courbes représentatives citées. Établissez le lien avec l’égalité démontrée à la même question. Concluez.

2. Démontrez que sur l’intervalle étudié, 428018-Eqn37, avant d’interpréter graphiquement l’intégrale.