Aire entre deux courbes

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Compléments sur les fonctions
Type : Exercice | Année : 2015 | Académie : Amérique du Nord


Amérique du Nord • Juin 2015

Exercice 4 • 6 points

Aire entre deux courbes

Partie A

Soit u la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par u(x) = ln(x) + x – 3.

1. Justifier que la fonction u est strictement croissante sur l’intervalle ]0 ; +∞[.

2. Démontrer que l’équation u(x) = 0 admet une unique solution α comprise entre 2 et 3.

3. En déduire le signe de u(x) en fonction de x.

Partie B

Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par 428018-Eqn18.

On appelle C la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal.

1. Déterminer la limite de la fonction f en 0.

2. a) Démontrer que, pour tout réel x de l’intervalle ]0 ; +∞[, 428018-Eqn19u est la fonction définie dans la partie A.

b) En déduire le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle ]0 ; +∞[.

Partie C

Soit C′ la courbe d’équation y = ln(x).

1. Démontrer que, pour tout réel x de l’intervalle ]0 ; +∞[, 428018-Eqn20.

En déduire que les courbes C et C′ ont un seul point commun dont on déterminera les coordonnées.

2. On admet que la fonction H définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par 428018-Eqn21 est une primitive de la fonction h définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par 428018-Eqn22.

Calculer 428018-Eqn23.

Interpréter graphiquement ce résultat.

Les clés du sujet

Durée conseillée : 60 minutes.

Les thèmes clés

Logarithme népérien • Intégration.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

Dérivation  E6c • E6e • E6f Partie A, 1. ; Partie B, 2. a) et b)

Continuité  E7a • E7b • E7c Partie A, 2. ; Partie C, 2.

Limites  E5a Partie B, 1.

Logarithme népérien  E9 Partie A, 1. ; Partie B, 1. et 2. ; Partie C

Intégration  E11c • E13 • E14 • E15a Partie C, 2.

Nos coups de pouce

Partie C

1. Écrivez les trois conditions que doit vérifier un point pour appartenir aux deux courbes représentatives citées. Établissez le lien avec l’égalité démontrée à la même question. Concluez.

2. Démontrez que sur l’intervalle étudié, 428018-Eqn37, avant d’interpréter graphiquement l’intégrale.

Corrigé

Corrigé

Partie A

1. Justifier les variations d’une fonction

Première méthode

La fonction 428018-Eqn395 est dérivable sur 428018-Eqn396 comme somme de fonctions (de référence) dérivables sur cet intervalle.

Sa dérivée 428018-Eqn397 est donnée sur 428018-Eqn398 par 428018-Eqn399.

Comme 428018-Eqn400, 428018-Eqn401 et par suite, 428018-Eqn402. La dérivée 428018-Eqn403 étant strictement positive sur 428018-Eqn404la fonction 428018-Eqn405 est alors strictement croissante sur 428018-Eqn406.

Deuxième méthode

La fonction 428018-Eqn407 est la somme de la fonction logarithme népérien et d’une fonction affine (de coefficient 428018-Eqn408) qui sont toutes les deux strictement croissantes sur l’intervalle 428018-Eqn409. Par suite, la fonction 428018-Eqn410 est strictement croissante sur 428018-Eqn411.

2. Démontrer l’existence d’une solution d’une équation

La fonction 428018-Eqn412 étant dérivable sur 428018-Eqn413, elle est continue sur 428018-Eqn414.

D’après la question 1., la fonction 428018-Eqn415 est strictement croissante sur 428018-Eqn416.

De plus, 428018-Eqn417 et 428018-Eqn418.

Ainsi, 428018-Eqn419 est compris entre 428018-Eqn420 et 428018-Eqn421.

D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation 428018-Eqn422 admet une unique solution que nous noterons 428018-Eqn423 comprise entre 2 et 3.

3. Déterminer le signe d’une fonction

Des deux premières questions découle le tableau de variations suivant :

matT_1506_02_02C_16

La fonction 428018-Eqn424 s’annule une seule fois en 428018-Eqn425.

Comme 428018-Eqn426 est strictement croissante sur 428018-Eqn427 et 428018-Eqn428, la fonction 428018-Eqn429 est strictement négative sur l’intervalle 428018-Eqn430.

Similairement, comme 428018-Eqn431 est strictement croissante sur 428018-Eqn432 et 428018-Eqn433, la fonction 428018-Eqn434 est strictement positive sur l’intervalle 428018-Eqn435.

Ce que nous pouvons résumer par le tableau de signes suivant :

matT_1506_02_02C_17

Partie B

1. Déterminer la limite d’une fonction

D’une part, comme 428018-Eqn436 (limite de fonction usuelle), alors :

428018-Eqn437.

D’autre part, comme 428018-Eqn438 (limite de fonction usuelle), alors :

428018-Eqn439.

Par produit, nous avons 428018-Eqn440 et par somme, nous en concluons que 428018-Eqn441.

2. a) Déterminer la dérivée d’une fonction

La fonction 428018-Eqn442 est dérivable sur 428018-Eqn443 (différence d’une fonction constante et de la fonction inverse) et sa dérivée définie sur 428018-Eqn444 est la fonction 428018-Eqn445.

La fonction 428018-Eqn446 est dérivable sur 428018-Eqn447 (différence de la fonction logarithme népérien et d’une fonction constante) et sa dérivée définie sur 428018-Eqn448 est la fonction 428018-Eqn449.

Notez bien

Le produit de deux fonctions 428018-Eqn450 et 428018-Eqn451 dérivables sur un intervalle 428018-Eqn452 est dérivable sur 428018-Eqn453 et 428018-Eqn454.

Par produit et par somme, la fonction 428018-Eqn455 est dérivable sur 428018-Eqn456 et sa dérivée 428018-Eqn457 est donnée par :

428018-Eqn458

b) Dresser le tableau de variations d’une fonction

Comme 428018-Eqn459, le signe de 428018-Eqn460 correspond au signe de 428018-Eqn461 déterminé à la question 3. de la partie A. Nous avons par conséquent le tableau de signes suivant :

matT_1506_02_02C_18

Pour tout 428018-Eqn462 de 428018-Eqn463428018-Eqn464 alors la fonction 428018-Eqn465 est décroissante sur 428018-Eqn466.

Pour tout 428018-Eqn467 de 428018-Eqn468428018-Eqn469 alors la fonction 428018-Eqn470 est croissante sur 428018-Eqn471.

Partie C

1. Déterminer les coordonnées d’un point d’intersection

Pour tout réel 428018-Eqn472 de l’intervalle 428018-Eqn473 nous avons :

428018-Eqn474

Un point M de coordonnées 428018-Eqn475 appartient aux courbes C et C′ si, et seulement si,

428018-Eqn476, système équivalent à 428018-Eqn477

Notez bien

Pour tous réels 428018-Eqn478 et 428018-Eqn479, 428018-Eqn480.

Pour tout réel 428018-Eqn481428018-Eqn482.

La deuxième égalité s’écrit également de la manière suivante : 428018-Eqn483. Or, d’après le point précédent,

428018-Eqn484

Notez bien

Pour tout réel 428018-Eqn485428018-Eqn486.

Comme 428018-Eqn487, 428018-Eqn488.

Les courbes 428018-Eqn489 et 428018-Eqn490 ont un seul point commun, le point de coordonnées 428018-Eqn491.

2. Calculer une intégrale et l’interpréter graphiquement

Nous avons :

428018-Eqn492

Or la fonction 428018-Eqn493 est une primitive de la fonction 428018-Eqn494 sur l’intervalle 428018-Eqn495 donc sur 428018-Eqn496. De plus, d’après l’énoncé, 428018-Eqn497 est une primitive de la fonction 428018-Eqn498 sur l’intervalle 428018-Eqn499 donc également sur 428018-Eqn500. Il en découle que :

428018-Eqn501

Par la question 1. de la partie C, nous avons : 428018-Eqn502.

Or, 428018-Eqn503.

Ainsi, pour tout 428018-Eqn504 de l’intervalle 428018-Eqn505, 428018-Eqn506 et comme 428018-Eqn507428018-Eqn508.

Comme la fonction 428018-Eqn509 et la fonction logarithme népérien sont continues sur l’intervalle 428018-Eqn510, et comme pour tout 428018-Eqn511 de cet intervalle, 428018-Eqn512, alors l’intégrale 428018-Eqn513 est l’aire exprimée en unités d’aire de la partie du plan (coloriée en violet sur la figure ci-dessous) délimitée par les courbes 𝒞 et 𝒞 et les droites d’équation 428018-Eqn514 et 428018-Eqn515. Cette aire est égale à deux unités d’aire.

matT_1506_02_02C_19