Aire et fonction exponentielle

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Intégration
Type : Exercice | Année : 2013 | Académie : Afrique
 
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Aire et fonction exponentielle
 
 

Intégration

Corrigé

20

Ens. Spécifique

matT_1306_01_08C

 

Afrique • Juin 2013

Exercice 3 • 5 points

On considère la fonction g définie pour tout réel x de l’intervalle [0 ; 1] par : g(x) = 1 + ex.

On admet que, pour tout réel x de l’intervalle [0 ; 1], g(x)  0.

On note C la courbe représentative de la fonction g dans un repère orthogonal, et D le domaine plan compris d’une part entre l’axe des abscisses et la courbe C, d’autre part entre les droites d’équations x= 0 et x= 1.

La courbe C et le domaine D sont représentés ci-dessous.


 

Le but de cet exercice est de partager le domaine D en deux domaines de même aire, d’abord par une droite parallèle à l’axe des ordonnées (partie A), puis par une droite parallèle à l’axe des abscisses (partie B).

Partie A

Soit a un réel tel que 0 a  1.

On note A1 l’aire du domaine compris entre la courbe C, l’axe (Ox), les droites d’équations x= 0 et x=a, puis A2 celle du domaine compris entre la courbe C, (Ox) et les droites d’équations x=a et x= 1.

A1 et A2 sont exprimées en unités d’aire.


 

>1.a) Démontrer que A1=a - ea+ 1.

b) Exprimer A2 en fonction de a.

>2. Soit f la fonction définie pour tout réel x de l’intervalle [0 ; 1] par :

.

a) Dresser le tableau de variation de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 1]. On précisera les valeurs exactes de f(0) et f(1).

b) Démontrer que la fonction f s’annule une fois et une seule sur l’intervalle [0 ; 1] en un réel α. Donner la valeur de α arrondie au centième.

>3. En utilisant les questions précédentes, déterminer une valeur approchée du réel a pour lequel les aires A1 et A2 sont égales.

Partie B

Soit b un réel positif.

Dans cette partie, on se propose de partager le domaine D en deux domaines de même aire par la droite d’équation y=b. On admet qu’il existe un unique réel b positif solution.

>1. Justifier l’inégalité . On pourra utiliser un argument graphique.

>2. Déterminer la valeur exacte du réel b.

Durée conseillée : 45 min.

Les thèmes clés

Généralités sur les fonctions • Fonction exponentielle • Primitives et intégration.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

  • Intégration  E11c • E13 • E14 Partie A, 1. a) et 1. b) ; partie B, 2.
  • Formules de dérivation  E6e • E6f  → Partie A, 2. a)
  • Étude des variations d’une fonction  E6c  → Partie A, 2. a)
  • Résolution d’équations  E7c  → Partie A, 2. b)

Nos coups de pouce

Partie A

>3. Démontrez rigoureusement que .

Partie B

>1. Introduisez judicieusement l’aire du rectangle de longueur et de largeur 1 que vous comparerez à la moitié de l’aire du domaine délimité par la courbe C de et les droites d’équations , et .

>2. Calculez dans un premier temps et pensez au partage horizontal.

Corrigé

Partie A

>1.a) Interpréter et calculer l’aire d’une partie du plan

Soit a un réel tel que .

La fonction g est positive et continue sur l’intervalle [0 ; a] qui est inclus dans l’intervalle [0 ; 1].

On en déduit que .

Remarquons que la fonction est une primitive de la fonction g sur [0 ; a]. Il s’ensuit que : et pour finir .

b) Interpréter et calculer l’aire d’une partie du plan

De même que précédemment, on a .

Par conséquent, on a.

>2.a) Dresser le tableau de variation d’une fonction

La fonction f est dérivable sur [0 ; 1] comme somme et composée de fonctions dérivables sur [0 ; 1]. Pour tout , on a : .

Or, on sait que la fonction g est strictement positive sur [0 ; 1]. Il s’ensuit que la fonction f est strictement croissante sur [0 ; 1].

On obtient le tableau de variations de la fonction suivant avec et  :


 

b) Démontrer qu’une équation de type f(x) =k admet une unique ­solution

La fonction f est strictement croissante et continue sur [0 ; 1]. De plus les nombres f(0) et f(1) sont opposés et donc de signes différents.

D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, la fonctionf s’annule une seule et unique fois sur [0 ; 1] en un réel que l’on note . De plus, en utilisant la calculatrice, on a arrondi au centième.


 

 

>3. Établir une équation et utiliser des résultats intermédiaires

D’après les résultats établis à la question 1., on sait que

et donc que .

Or, après avoir remarqué que , on en conclut que .

D’après le résultat établi à la question précédente, une valeur approchée au centième du réela pour lequeletsont égales est le nombre 0,45.

Partie B

>1. Comparer graphiquement des aires


 

Graphiquement, on peut voir que l’aire du rectangle de longueur g(1) et de largeur 1 (en couleur sur le graphique) est strictement supérieure à la moitié de l’aire du domaine délimité par la courbe C de g et les droites d’équations x= 0, x= 1 et y= 0.

Or,, on en déduit l’inégalité.

>2. Calculer une intégrale et interpréter le résultat

L’aire totale du domaine délimité par la courbe C et les droites d’équations x= 0, x= 1 et y= 0 est le nombre : . Dans le partage horizontal, chaque partie a une aire égale à .

Or, le rectangle inférieur ainsi formé a une aire égale àb. Pour conclure, on peut donc écrire que.