Intégration
matT_1509_07_01C
ENS. SPÉCIFIQUE
20
France métropolitaine • Septembre 2015
Exercice 2 • 7 points
Aire et valeur exacte
Soit f la fonction définie et dérivable sur l'intervalle [0 + ∞[ telle que : 
.
On admet que la fonction f est positive sur l'intervalle [0 + ∞[.
On note 
la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal du plan.
La courbe 
est représentée en annexe, à rendre avec la copie.
Partie A
Soit la suite (In) définie pour tout entier naturel n par 
.
On ne cherchera pas à calculer la valeur exacte de In en fonction de n.
▶ 1. Montrer que la suite (In) est croissante.
▶ 2. On admet que pour tout réel x de l'intervalle [0 + ∞[, 
.
a) Montrer que, pour tout entier naturel n, 
.
b) Soit H la fonction définie et dérivable sur l'intervalle [0 + ∞[ telle que 
.
Déterminer la fonction dérivée 
de la fonction H.
c) En déduire que, pour tout entier naturel n, 
.
▶ 3. Montrer que la suite (In) est convergente. On ne demande pas la valeur de sa limite.
Partie B
On considère l'algorithme suivant dans lequel les variables sont :
K et i des entiers naturels, K étant non nul
A, x et h des réels.
| Entrée | Saisir K entier naturel non nul | |
| Initialisation | Affecter à A la valeur 0 Affecter à x la valeur 0 Affecter à h la valeur | |
| Traitement | Pour i variant de 1 à K | |
| Affecter à A la valeur A + h × f(x) Affecter à x la valeur x + h | ||
| Fin Pour | ||
| Sortie | Afficher A | |
▶ 1. Reproduire et compléter le tableau suivant, en faisant fonctionner cet algorithme pour K = 4. Les valeurs successives de A seront arrondies au millième.
| i | A | x |
| 1 | ||
| 2 | ||
| 3 | ||
| 4 |
▶ 2. En l'illustrant sur l'annexe à rendre avec la copie, donner une interprétation graphique du résultat affiché par cet algorithme pour K = 8.
▶ 3. Que donne l'algorithme lorsque K devient grand ?
Annexe
Courbe 
, représentative de la fonction f sur [0 6]
Courbe 
, représentative de la fonction f sur [0 1]
Les clés du sujet
Durée conseillée : 80 minutes.
Les thèmes clés
Fonction exponentielle • Suites • Calcul intégral • Algorithmique.
Les outils dont vous avez besoin
Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d'ouvrage.
Propriétés et formules
Suites E2a • E2e → Partie A, 1. et 3.
Intégration E11a • E13 • E15b • E15c → Partie A, 1., 2. a) et 2. c)
Dérivation E6f • E6e → Partie A, 2. b)
Algorithme
Encadrement d'une intégrale A6 → Partie B, 1.
Nos coups de pouce
Partie A
▶ 1. Étudiez le signe de la différence 
en décomposant judicieusement 
à l'aide de la relation de Chasles.
▶ 2. a) Remémorez-vous les variations de la fonction inverse pour majorer la fonction 
à partir de l'inégalité admise.
▶ 2. c) Déterminez une primitive de la fonction 
sur 
à l'aide de la question 2. b). Concluez à l'aide de la question 2. a)
Corrigé
Partie A
▶ 1. Étudier les variations d'une suite
Soit 
un entier naturel. Nous avons :
Comme 
est continue et positive sur 
, 
est positive. Par suite, 
et donc 
La suite 
est ainsi croissante.
▶ 2. a) Majorer une intégrale
Notez bien
Pour tout réel 
.
Soit 
un entier naturel. La fonction inverse étant décroissante sur 
et une exponentielle étant toujours strictement positive, il découle de l'inégalité admise que 
. En multipliant chaque membre par le réel positif 
nous avons 
, ce qui s'écrit 
.
Les fonctions considérées étant continues sur 
, nous en concluons, en intégrant, que 
.
b) Déterminer une fonction dérivée
Notez bien
Si 
et 
sont dérivables sur un intervalle 
, le produit 
est également dérivable sur 
, et 
.
La fonction 
est le produit de la fonction 
et de la fonction 
, toutes deux dérivables sur 
. Leurs dérivées 
et 
sont définies sur 
par 
et 
. Ainsi, pour tout réel 
positif, nous avons :
c) Majorer une intégrale
D'après la question précédente, la fonction 
a pour primitive sur 
la fonction 
. Par suite, à partir de l'inégalité établie à la question 2. a), nous avons pour tout entier naturel 
: 
.
Notez bien
et pour tout réel 
.
Ainsi, pour tout entier naturel n, 
▶ 3. Démontrer la convergence d'une suite
D'après la question 1., la suite 
est croissante. D'après la question 2. c), la suite 
est majorée par 2. Par le théorème de la convergence monotone, elle est ainsi convergente.
Partie B
▶ 1. Dérouler un algorithme
Lors de la phase d'initialisation, la variable 
prend la valeur 0, 
également et 
la valeur 
(la valeur pour 
étant saisie lors de la phase d'entrée). Il s'ensuit la phase de traitement (boucle itérative pour).
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| 1 |
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| 2 |
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| 3 |
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| 4 |
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L'algorithme affiche 0,306 (valeur arrondie au millième) pour la valeur 
valeur saisie en entrée.
▶ 2. Interpréter graphiquement un résultat
Pour 
la variable 
prend successivement les valeurs : 0 0,125 0,25 … 0,875 1. L'intervalle 
est donc « découpé » en 8 intervalles de même longueur 
(contre 4 intervalles à la question 1 de cette partie). Pour chacun de ces intervalles (chaque valeur de 
dans l'algorithme), nous calculons 
: aire du rectangle de dimensions 
et 
. Chacune de ces aires est ajoutée aux précédentes déjà calculées (somme stockée dans la variable 
dans l'algorithme, initialisée à zéro). L'algorithme affiche ainsi la somme de ces aires.
> 3. Comprendre un algorithme
Lorsque 
devient grand, l'algorithme affiche une valeur approchée de plus en plus précise de l'intégrale 
(méthode des rectangles).