Soit f la fonction définie et dérivable sur l’intervalle [0 ; + ∞[ telle que : .

On admet que la fonction f est positive sur l’intervalle [0 ; + ∞[.

On note la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal du plan.

La courbe est représentée en annexe, à rendre avec la copie.

Partie A

Soit la suite (In) définie pour tout entier naturel n par .

On ne cherchera pas à calculer la valeur exacte de In en fonction de n.

▶ 1. Montrer que la suite (In) est croissante.

▶ 2. On admet que pour tout réel x de l’intervalle [0 ; + ∞[, .

a) Montrer que, pour tout entier naturel n, .

b) Soit H la fonction définie et dérivable sur l’intervalle [0 ; + ∞[ telle que .

Déterminer la fonction dérivée de la fonction H.

c) En déduire que, pour tout entier naturel n, .

▶ 3. Montrer que la suite (In) est convergente. On ne demande pas la valeur de sa limite.

Partie B

On considère l’algorithme suivant dans lequel les variables sont :

K et i des entiers naturels, K étant non nul ;

A, x et h des réels.

▶ 1. Reproduire et compléter le tableau suivant, en faisant fonctionner cet algorithme pour K = 4. Les valeurs successives de A seront arrondies au millième.

▶ 2. En l’illustrant sur l’annexe à rendre avec la copie, donner une interprétation graphique du résultat affiché par cet algorithme pour K = 8.

▶ 3. Que donne l’algorithme lorsque K devient grand ?

Annexe