Aire et valeur exacte

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Intégration
Type : Exercice | Année : 2015 | Académie : France métropolitaine


France métropolitaine • Septembre 2015

Exercice 2 • 7 points

Aire et valeur exacte

Soit f la fonction définie et dérivable sur l’intervalle [0 ; + ∞[ telle que : 154951-Eq1.

On admet que la fonction f est positive sur l’intervalle [0 ; + ∞[.

On note 154951-Eq2 la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal du plan.

La courbe 154951-Eq3 est représentée en annexe, à rendre avec la copie.

Partie A

Soit la suite (In) définie pour tout entier naturel n par 154951-Eq4.

On ne cherchera pas à calculer la valeur exacte de In en fonction de n.

▶ 1. Montrer que la suite (In) est croissante.

 2. On admet que pour tout réel x de l’intervalle [0 ; + ∞[, 154951-Eq5.

a) Montrer que, pour tout entier naturel n, 154951-Eq6.

b) Soit H la fonction définie et dérivable sur l’intervalle [0 ; + ∞[ telle que 154951-Eq7.

Déterminer la fonction dérivée 154951-Eq8 de la fonction H.

c) En déduire que, pour tout entier naturel n, 154951-Eq9.

▶ 3. Montrer que la suite (In) est convergente. On ne demande pas la valeur de sa limite.

Partie B

On considère l’algorithme suivant dans lequel les variables sont :

K et i des entiers naturels, K étant non nul ;

A, x et h des réels.

Entrée

Saisir K entier naturel non nul

Initialisation

Affecter à A la valeur 0

Affecter à x la valeur 0

Affecter à h la valeur 154951-Eq10

Traitement

Pour i variant de 1 à K

Affecter à A la valeur A + h × f(x)

Affecter à x la valeur x + h

Fin Pour

Sortie

Afficher A

▶ 1. Reproduire et compléter le tableau suivant, en faisant fonctionner cet algorithme pour K = 4. Les valeurs successives de A seront arrondies au millième.

i

A

x

1

2

3

4

▶ 2. En l’illustrant sur l’annexe à rendre avec la copie, donner une interprétation graphique du résultat affiché par cet algorithme pour K = 8.

▶ 3. Que donne l’algorithme lorsque K devient grand ?

Annexe

matT_1509_07_01C_01

Courbe 154951-Eq11, représentative de la fonction f sur [0 ; 6]

matT_1509_07_01C_02

Courbe 154951-Eq12, représentative de la fonction f sur [0 ; 1]

Les clés du sujet

Durée conseillée : 80 minutes.

Les thèmes clés

Fonction exponentielle • Suites • Calcul intégral • Algorithmique.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

Suites E2a • E2e Partie A, 1. et 3.

Intégration E11a • E13 • E15b • E15c Partie A, 1., 2. a) et 2. c)

Dérivation E6f • E6e Partie A, 2. b)

Algorithme

Encadrement d’une intégrale A6 Partie B, 1.

Nos coups de pouce

Partie A

 1. Étudiez le signe de la différence 154951-Eq13 en décomposant judicieusement 154951-Eq14 à l’aide de la relation de Chasles.

 2.a) Remémorez-vous les variations de la fonction inverse pour majorer la fonction 154951-Eq15 à partir de l’inégalité admise.

 2.c) Déterminez une primitive de la fonction 154951-Eq16 sur 154951-Eq17 à l’aide de la question 2. b). Concluez à l’aide de la question 2. a)