Aire et valeur exacte

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Intégration
Type : Exercice | Année : 2015 | Académie : France métropolitaine


France métropolitaine • Septembre 2015

Exercice 2 • 7 points

Aire et valeur exacte

Soit f la fonction définie et dérivable sur l’intervalle [0 ; + ∞[ telle que : 154951-Eq1.

On admet que la fonction f est positive sur l’intervalle [0 ; + ∞[.

On note 154951-Eq2 la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal du plan.

La courbe 154951-Eq3 est représentée en annexe, à rendre avec la copie.

Partie A

Soit la suite (In) définie pour tout entier naturel n par 154951-Eq4.

On ne cherchera pas à calculer la valeur exacte de In en fonction de n.

▶ 1. Montrer que la suite (In) est croissante.

 2. On admet que pour tout réel x de l’intervalle [0 ; + ∞[, 154951-Eq5.

a) Montrer que, pour tout entier naturel n, 154951-Eq6.

b) Soit H la fonction définie et dérivable sur l’intervalle [0 ; + ∞[ telle que 154951-Eq7.

Déterminer la fonction dérivée 154951-Eq8 de la fonction H.

c) En déduire que, pour tout entier naturel n, 154951-Eq9.

▶ 3. Montrer que la suite (In) est convergente. On ne demande pas la valeur de sa limite.

Partie B

On considère l’algorithme suivant dans lequel les variables sont :

K et i des entiers naturels, K étant non nul ;

A, x et h des réels.

Entrée

Saisir K entier naturel non nul

Initialisation

Affecter à A la valeur 0

Affecter à x la valeur 0

Affecter à h la valeur 154951-Eq10

Traitement

Pour i variant de 1 à K

Affecter à A la valeur A + h × f(x)

Affecter à x la valeur x + h

Fin Pour

Sortie

Afficher A

▶ 1. Reproduire et compléter le tableau suivant, en faisant fonctionner cet algorithme pour K = 4. Les valeurs successives de A seront arrondies au millième.

i

A

x

1

2

3

4

▶ 2. En l’illustrant sur l’annexe à rendre avec la copie, donner une interprétation graphique du résultat affiché par cet algorithme pour K = 8.

▶ 3. Que donne l’algorithme lorsque K devient grand ?

Annexe

matT_1509_07_01C_01

Courbe 154951-Eq11, représentative de la fonction f sur [0 ; 6]

matT_1509_07_01C_02

Courbe 154951-Eq12, représentative de la fonction f sur [0 ; 1]

Les clés du sujet

Durée conseillée : 80 minutes.

Les thèmes clés

Fonction exponentielle • Suites • Calcul intégral • Algorithmique.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

Suites E2a • E2e Partie A, 1. et 3.

Intégration E11a • E13 • E15b • E15c Partie A, 1., 2. a) et 2. c)

Dérivation E6f • E6e Partie A, 2. b)

Algorithme

Encadrement d’une intégrale A6 Partie B, 1.

Nos coups de pouce

Partie A

 1. Étudiez le signe de la différence 154951-Eq13 en décomposant judicieusement 154951-Eq14 à l’aide de la relation de Chasles.

 2.a) Remémorez-vous les variations de la fonction inverse pour majorer la fonction 154951-Eq15 à partir de l’inégalité admise.

 2.c) Déterminez une primitive de la fonction 154951-Eq16 sur 154951-Eq17 à l’aide de la question 2. b). Concluez à l’aide de la question 2. a)

Corrigé

Corrigé

Partie A

 1. Étudier les variations d’une suite

Soit 154951-Eq18 un entier naturel. Nous avons :

154951-Eq19

Comme 154951-Eq20 est continue et positive sur 154951-Eq21, 154951-Eq22 est positive. Par suite, 154951-Eq23 et donc 154951-Eq24

La suite 154951-Eq25 est ainsi croissante.

 2.a) Majorer une intégrale

Notez bien

Pour tout réel 154951-Eq26154951-Eq27.

Soit 154951-Eq28 un entier naturel. La fonction inverse étant décroissante sur 154951-Eq29 et une exponentielle étant toujours strictement positive, il découle de l’inégalité admise que 154951-Eq30. En multipliant chaque membre par le réel positif 154951-Eq31 nous avons 154951-Eq32, ce qui s’écrit 154951-Eq33.

Les fonctions considérées étant continues sur 154951-Eq34, nous en concluons, en intégrant, que 154951-Eq35.

b) Déterminer une fonction dérivée

Notez bien

Si 154951-Eq36 et 154951-Eq37 sont dérivables sur un intervalle 154951-Eq38, le produit 154951-Eq39 est également dérivable sur 154951-Eq40, et 154951-Eq41.

La fonction 154951-Eq42 est le produit de la fonction 154951-Eq43 et de la fonction 154951-Eq44, toutes deux dérivables sur 154951-Eq45. Leurs dérivées 154951-Eq46 et 154951-Eq47 sont définies sur 154951-Eq48 par 154951-Eq49 et 154951-Eq50. Ainsi, pour tout réel 154951-Eq51 positif, nous avons :

154951-Eq52

c) Majorer une intégrale

D’après la question précédente, la fonction 154951-Eq56 a pour primitive sur 154951-Eq57 la fonction 154951-Eq58. Par suite, à partir de l’inégalité établie à la question 2. a), nous avons pour tout entier naturel 154951-Eq59 : 154951-Eq60.

Notez bien

154951-Eq53 et pour tout réel 154951-Eq54154951-Eq55.

154951-Eq61

Ainsi, pour tout entier naturel n, 154951-Eq63

 3. Démontrer la convergence d’une suite

D’après la question 1., la suite 154951-Eq64 est croissante. D’après la question 2. c), la suite 154951-Eq65 est majorée par 2. Par le théorème de la convergence monotone, elle est ainsi convergente.

Partie B

 1. Dérouler un algorithme

Lors de la phase d’initialisation, la variable 154951-Eq66 prend la valeur 0, 154951-Eq67 également et 154951-Eq68 la valeur 154951-Eq69 (la valeur pour 154951-Eq70 étant saisie lors de la phase d’entrée). Il s’ensuit la phase de traitement (boucle itérative pour).

154951-Eq71

154951-Eq72

154951-Eq73

1

154951-Eq74

154951-Eq75

2

154951-Eq76

154951-Eq77

3

154951-Eq78

154951-Eq79

4

154951-Eq80

154951-Eq81

L’algorithme affiche 0,306 (valeur arrondie au millième) pour la valeur 154951-Eq82 valeur saisie en entrée.

 2. Interpréter graphiquement un résultat

Pour 154951-Eq83 la variable 154951-Eq84 prend successivement les valeurs : 0 ; 0,125 ; 0,25 ; … ; 0,875 ; 1. L’intervalle 154951-Eq85 est donc « découpé » en 8 intervalles de même longueur 154951-Eq86 (contre 4 intervalles à la question 1 de cette partie). Pour chacun de ces intervalles (chaque valeur de 154951-Eq87 dans l’algorithme), nous calculons 154951-Eq88 : aire du rectangle de dimensions 154951-Eq89 et 154951-Eq90. Chacune de ces aires est ajoutée aux précédentes déjà calculées (somme stockée dans la variable 154951-Eq91 dans l’algorithme, initialisée à zéro). L’algorithme affiche ainsi la somme de ces aires.

matT_1509_07_01C_03

3. Comprendre un algorithme

Lorsque 154951-Eq92 devient grand, l’algorithme affiche une valeur approchée de plus en plus précise de l’intégrale 154951-Eq93 (méthode des rectangles).