Algorithme et suite géométrique

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Suites numériques
Type : Exercice | Année : 2013 | Académie : Amérique du Nord
 
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Algorithme et suite géométrique
 
 

Suites numériques

Corrigé

8

Ens. spécifique

matT_1305_02_07C

 

Amérique du Nord • Mai 2013

Exercice 2 • 5 points

On considère la suite (un) définie par u0= 1 et, pour tout entier naturel n, un+1=.

>1. On considère l’algorithme suivant :

 

Variables

n est un entier naturel

u est un réel positif

Initialisation

Demander la valeur de n

Affecter à u la valeur 1

Traitement

Pour i variant de 1 à n

Affecter à u la valeur

Fin de Pour

Sortie

Afficher u

 

a) Donner une valeur approchée à 10−4 près du résultat qu’affiche cet algorithme lorsque l’on choisit n = 3.

b) Que permet de calculer cet algorithme ?

c) Le tableau ci-dessous donne des valeurs approchées obtenues à l’aide de cet algorithme pour certaines valeurs de n :

 

n

1

5

10

15

20

Valeur affichée

1,4142

1,9152

1, 9272

1,9999

1,9999

 

Quelles conjectures peut-on émettre concernant la suite (un) ?

>2.a) Démontrer que, pour tout entier naturel n, 0 <un 2.

b) Déterminer le sens de variation de la suite (un).

c) Démontrer que la suite (un) est convergente. On ne demande pas la valeur de sa limite.

>3. On considère la suite (vn) définie, pour tout entier naturel n, par vn= ln un − ln 2.

a) Démontrer que la suite (vn) est la suite géométrique de raison et de premier terme v0 = − ln 2.

b) Déterminer, pour tout entier naturel n, l’expression de vn en fonction de n, puis de un en fonction de n.

c) Déterminer la limite de la suite (un).

d) Recopier l’algorithme ci-dessous et le compléter par les instructions du traitement et de la sortie, de façon à afficher en sortie la plus petite valeur de n telle que un> 1,999.

 

Variables

n est un entier naturel

u est un réel

Initialisation

Affecter à n la valeur 0

Affecter à u la valeur 1

Traitement

Sortie

 

Durée conseillée : 60 min.

Les thèmes clés

Suites • Fonction logarithme népérien • Algorithme.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

  • Raisonnement par récurrence  E1 2. a)
  • Suites et généralités  E2 1. c), 2. b), et 2. c)
  • Suites géométriques  E4 3. a), 3. b) et 3. c)
  • Fonction logarithme népérien  E9a • E9b  → 3. a) et 3. b)

Nos coups de pouce

>1. Pensez aux propriétés d’une suite (variations et convergence).

>2. b) Précisez que tous les termes de la suite sont strictement positifs, puis calculez le quotient et enfin concluez.

>3. d) Pensez à l’instruction conditionnelle « Tant que » qui est effectuée jusqu’à ce que la condition précisée ne soit plus vérifiée.

Corrigé

>1.a) Dérouler un algorithme

Lors de la phase d’initialisation, la variable n prend la valeur 3 (valeur choisie par l’utilisateur) et la variable u prend la valeur 1 (affectation). Lors de la phase de traitement, la variable i prend successivement les valeurs 1, 2 et 3 (boucle itérative pour). Pour chaque valeur prise par la variable i, la variable u est mise à jour (affectation). Les différentes étapes de cette phase peuvent se présenter sous la forme d’un tableau :

 

Variable i

Variable u

1

u prend la valeur

2

u prend la valeur

3

u prend la valeur

 

Une valeur approchée à 10–4 près par défaut du résultat affiché par cet algorithme est 1,8340.

b) Comprendre un algorithme

Cet algorithme permet de calculer le n-ième terme de la suite (un) et d’en afficher une valeur approchée, l’entier naturel n étant choisi par l’utilisateur.

c) Émettre une conjecture

Comme , la suite (un) semble croissante. Les valeurs approchées données se « rapprochent » de la valeur 2 : la suite semble convergente.

>2.a) Démontrer une inégalité par récurrence

Soit P(n) la propriété : « 0 <un 2 ».

Initialisation

u0= 1. Comme , alors P(0) est vraie.

Hérédité

Supposons que la propriété P(k) est vraie pour un entier naturel k.

Démontrons P(k+ 1).

Comme P(k) est vraie, nous avons l’encadrement suivant : .

En multipliant chaque membre par 2, .

Comme la fonction racine carrée est croissante sur [0 ; +[ (donc sur ]0 ; +[), ce qui s’écrit : .

Conclusion

Comme P(0) est vraie et que la propriété est héréditaire, d’après l’axiome de récurrence, nous en déduisons que, pour tout entier natureln,.

b) Étudier le sens de variation d’une suite

D’après la question précédente, tous les termes de la suite (un) sont strictement positifs.

Pour tout entier naturel n, nous avons :

.

Or d’après la question précédente . Comme la fonction racine carrée est croissante sur ]0 ; + ∞[, puis comme la fonction inverse est décroissante sur ]0 ; + ∞[, . En multipliant chaque membre de cette inégalité par , il en découle que : .

La suite (un) est donc croissante.

c) Étudier la convergence d’une suite

La suite (un) est croissante (question 2. b)) et majorée par 2 (question 2. a)) : elle est donc convergente.

>3.a) Démontrer qu’une suite est géométrique

Pour tout entier naturel n, nous avons :

 

Notez bien

Pour a> 0 et b> 0 :

La suite (vn) est donc géométrique de raison et de premier terme .

b) Exprimer une suite sous forme explicite

Pour tout entier naturel n,

(formule explicite d’une suite géométrique de premier terme – ln(2) et de raison ).

Or .

Il s’ensuit que :

 

Notez bien

.

.

c) Déterminer la limite d’une suite

Comme , et .

Par suite, .

d) Compléter un algorithme

Pour déterminer la plus petite valeur de n telle que , à l’aide d’un algorithme, il suffit de calculer successivement les termes un de cette suite à partir de l’indice n= 0 jusqu’au premier terme un de cette suite qui sera strictement supérieur à 1,999 (instruction conditionnelle « tant que », condition ). Il faut ensuite afficher l’indice n.

 

Variables

n est un entier naturel

u est un réel

Initialisation

Affecter à n la valeur 0

Affecter à u la valeur 1

Traitement

Tant que

Affecter à u la valeur

Affecter à n la valeur n + 1

Fin du Tant que

Sortie

Afficher n