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Alignés ou pas ?

Liban • Juin 2017

Exercice 3 • 3 points • 35 min

Alignés ou pas ?

Les thèmes clés

Fonction exponentielle • Fonction logarithme népérien

 

Soit k un réel strictement positif. On considère les fonctions fk définies sur par :

fk(x)=x+kex.

On note Ck la courbe représentative de la fonction fk dans un plan muni d'un repère orthonormé.

On a représenté ci-après quelques courbes Ck pour différentes valeurs de k.

matT_1706_09_01C_02

Pour tout réel k strictement positif, la fonction fk admet un minimum sur . La valeur en laquelle ce minimum est atteint est l'abscisse du point noté Ak de la courbe Ck. Il semblerait que, pour tout réel k strictement positif, les points Ak soient alignés.

Est-ce le cas ?

Les clés du sujet

Étudiez les variations de fk pour déterminer son minimum sur . Vérifiez ensuite que les coordonnées du point Ak vérifient l'équation réduite d'une droite à identifier en vous aidant éventuellement du graphique fourni.

Corrigé

Pour tout réel k strictement positif, la fonction fk est dérivable sur comme somme de fonctions dérivables sur .

À noter

Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I, alors eu est dérivable sur I et (eu)=ueu.

Pour tous réels a > 0 et b > 0, a > b ln(a) > ln(bln(1a)=ln(a).

Pour tout x , fk(x)=1kex.

fk(x)>01>kexk>01k>exln(1k)>ln(ex)ln(k)>xln(k)x.

On en déduit le tableau de variations de fk sur .

matT_1706_09_01C_tab2

À retenir

Pour tout réel a > 0, eln(a)=a.

fk(ln(k))=ln(k)+keln(k)=ln(k)+keln(k)=ln(k)+kk=ln(k)+1.

Le point Ak (k > 0) cité dans l'énoncé a donc pour coordonnées (ln(k)  ln(k) + 1).

On remarque alors que, pour tout réel k strictement positif, ces coordonnées vérifient l'équation réduite y = x + 1.

Par conséquent, pour tout réel k strictement positif, les points Ak sont sur la droite d'équation y = x + 1 et sont donc alignés.

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