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Alignés ou pas ?

Fonctions de référence

Alignés ou pas ?

35 min

3 points

Intérêt du sujet  Afin de déterminer si les minimums d'une famille de courbes sont alignés, étudiez les variations de ces fonctions à l'aide des fonctions exponentielle et logarithme népérien.

 

Soit k un réel strictement positif. On considère les fonctions fk définies sur ℝ par :

fk(x)=x+kex.

On note Ck la courbe représentative de la fonction fk dans un plan muni d'un repère orthonormé.

On a représenté ci-après quelques courbes Ck pour différentes valeurs de k.

matT_1706_09_01C_02

Pour tout réel k strictement positif, la fonction fk admet un minimum sur ℝ. La valeur en laquelle ce minimum est atteint est l'abscisse du point noté Ak de la courbe Ck. Il semblerait que, pour tout réel k strictement positif, les points Ak soient alignés.

Est-ce le cas ?

Les clés du sujet

Étudiez les variations de fk pour déterminer son minimum sur ℝ. Vérifiez ensuite que les coordonnées du point Ak vérifient l'équation réduite d'une droite à identifier en vous aidant éventuellement du graphique fourni.

Pour tout réel k strictement positif, la fonction fk est dérivable sur ℝ comme somme de fonctions dérivables sur ℝ.

à noter

Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I, alors eu est dérivable sur I et (eu)=ueu.

Pour tous réels a > 0 et b > 0, ab ⇔ ln(a) > ln(b) ; ln1a=ln(a).

Pour tout x ∈ ℝ, fk(x)=1kex.

matT_1706_09_01C_92_Eqn_4431

On en déduit le tableau de variations de fk sur ℝ.

matT_1706_09_01C_tab2

à retenir

Pour tout réel a > 0, eln(a)=a.

fk(ln(k))=ln(k)+keln(k)=ln(k)+kelnk=ln(k)+kk=ln(k)+1.

Le point Ak (k > 0) cité dans l'énoncé a donc pour coordonnées (ln(k) ; ln(k) + 1).

On remarque alors que, pour tout réel k strictement positif, ces coordonnées vérifient l'équation réduite y = x + 1.

Par conséquent, pour tout réel k strictement positif, les points Ak sont sur la droite d'équation y = x + 1 et sont donc alignés.

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