Analyse
Fonctions de référence
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matT_2000_00_26C
Fonctions de référence
Alignés ou pas ?
Intérêt du sujet • Afin de déterminer si les minimums d'une famille de courbes sont alignés, étudiez les variations de ces fonctions à l'aide des fonctions exponentielle et logarithme népérien.
Soit k un réel strictement positif. On considère les fonctions fk définies sur ℝ par :
.
On note k la courbe représentative de la fonction fk dans un plan muni d'un repère orthonormé.
On a représenté ci-après quelques courbes k pour différentes valeurs de k.
Pour tout réel k strictement positif, la fonction fk admet un minimum sur ℝ. La valeur en laquelle ce minimum est atteint est l'abscisse du point noté Ak de la courbe k. Il semblerait que, pour tout réel k strictement positif, les points Ak soient alignés.
Est-ce le cas ?
Les clés du sujet
Étudiez les variations de fk pour déterminer son minimum sur ℝ. Vérifiez ensuite que les coordonnées du point Ak vérifient l'équation réduite d'une droite à identifier en vous aidant éventuellement du graphique fourni.
Pour tout réel k strictement positif, la fonction fk est dérivable sur ℝ comme somme de fonctions dérivables sur ℝ.
à noter
Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I, alors est dérivable sur I et .
Pour tous réels a > 0 et b > 0, a > b ⇔ ln(a) > ln(b) ; .
Pour tout x ∈ ℝ, .
On en déduit le tableau de variations de fk sur ℝ.
à retenir
Pour tout réel a > 0, .
Le point Ak (k > 0) cité dans l'énoncé a donc pour coordonnées (ln(k) ; ln(k) + 1).
On remarque alors que, pour tout réel k strictement positif, ces coordonnées vérifient l'équation réduite y = x + 1.
Par conséquent, pour tout réel k strictement positif, les points Ak sont sur la droite d'équation y = x + 1 et sont donc alignés.