Compléments sur les fonctions
matT_1511_03_02C
ENS. SPÉCIFIQUE
12
Amérique du Sud • Novembre 2015
Exercice 1 • 6 points
Alors, égales ou non ?
Partie A
Dans le plan muni d'un repère orthonormé , on désigne par
la courbe représentative de la fonction u définie sur l'intervalle ]0 + ∞[ par :
où a, b et c sont des réels fixés.
On a tracé sur le graphique ci-dessous la courbe et la droite
d'équation y = 1.
On précise que la courbe passe par les points A(1 0) et B(4 0) et que l'axe des ordonnées et la droite
sont asymptotes à la courbe
.
▶ 1. Donner les valeurs de u(1) et u(4).
▶ 2. Donner . En déduire la valeur de a.
▶ 3. En déduire que, pour tout réel x strictement positif :
.
Partie B
Soit f la fonction définie sur l'intervalle ]0 + ∞[ par :
.
▶ 1. Déterminer la limite de f (x) lorsque x tend vers 0. On pourra utiliser sans démonstration le fait que .
▶ 2. Déterminer la limite de f(x) lorsque x tend vers + ∞.
▶ 3. Démontrer que, pour tout réel x strictement positif, .
En déduire le tableau de variation de la fonction f en précisant les limites et les valeurs particulières.
Partie C
▶ 1. Déterminer l'aire , exprimée en unités d'aire, du domaine hachuré sur le graphique de la partie A.
▶ 2. Pour tout réel λ supérieur ou égal à 4, on note l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine formé par les points M de coordonnées (x y) telles que
et
.
Existe-t-il une valeur de λ pour laquelle ?
Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
Les clés du sujet
Durée conseillée : 60 minutes.
Les thèmes clés
Fonction logarithme népérien • Dérivation • Limites de fonctions • Continuité • Calcul intégral.
Les outils dont vous avez besoin
Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d'ouvrage.
Dérivation E6e • E6f → Partie B, 3.
Variations d'une fonction E6c → Partie B, 3.
Limites d'une fonction E5a • E5d • E9c → Partie A, 2. Partie B, 1. et 2.
Équation du second degré E23 → Partie B, 3.
Primitives et calcul intégral E11a • E13 • E14 → Partie C, 1. et 2.
Continuité E7c → Partie C, 2.
Nos coups de pouce
Partie A
▶ 3. Exploitez les deux questions précédentes pour obtenir un système de deux équations à deux inconnues à résoudre.
Partie C
▶ 2. Ramenez le problème posé à la résolution d'une équation portant sur la fonction f. Vérifiez alors que toutes les hypothèses sont vérifiées pour appliquer le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires.
Corrigé
Partie A
▶ 1. Déterminer des images par une fonction
A appartient à Cu donc .
B appartient à Cu donc .
▶ 2. Exploiter une limite de fonction
D'une part, d'après l'énoncé, la droite D est asymptote à Cu donc .
Notez bien
et
.
D'autre part, pour tout , nous savons que
. Nous obtenons, par somme, avec les limites des fonctions usuelles :
.
Finalement .
▶ 3. Déterminer l'expression d'une fonction
Nous savons que donc
.
Nous savons que donc
soit encore
.
Sachant que , nous obtenons à partir des deux équations précédentes les systèmes équivalents suivants.
Finalement, pour tout , nous avons :
.
Partie B
▶ 1. Déterminer la limite d'une fonction en 0
Pour tout ,
.
Nous avons et
donc par somme
.
Comme , par produit
.
▶ 2. Déterminer la limite d'une fonction en + ∞
Pour tout ,
.
Nous avons . Par somme, nous en déduisons que
.
Comme , par produit, nous avons
.
▶ 3. Étudier les variations d'une fonction
est dérivable sur
comme somme de fonctions dérivables sur
.
Pour tout x > 0 :
.
Sur ,
donc le signe de
est celui de
.
. Le trinôme précédent admet donc deux racines réelles distinctes :
et
.
Le signe de est celui de
à l'extérieur des racines. Nous obtenons :
Notez bien
et, pour tout
et
,
.
et
Partie C
▶ 1. Déterminer une aire
D'après le tableau de variations précédent (partie B question 3.), est négative sur l'intervalle [1 4].
est une somme de fonctions continues sur
donc
est continue sur
et a fortiori sur [1 4].
L'aire demandée est donc A . Comme
pour tout
, nous en déduisons que
est une primitive de
sur
. Par conséquent :
▶ 2. Étudier l'égalité de deux aires
D'après le tableau de variations précédent (partie B question 3.), est positive sur l'intervalle
.
De plus, est continue sur
et a fortiori sur
donc Aλ
.
Aλ A
D'après le tableau de variations de la question 3. (partie B), est continue et strictement croissante sur
.
De plus, et
.
Puisque , d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation
admet une unique solution sur l'intervalle
.
Il existe donc une unique valeur de λ pour laquelle Aλ = A.