Compléments sur les fonctions
matT_1511_03_02C
ENS. SPÉCIFIQUE
12
Amérique du Sud • Novembre 2015
Exercice 1 • 6 points
Alors, égales ou non ?
Partie A
Dans le plan muni d’un repère orthonormé 
, on désigne par 
la courbe représentative de la fonction u définie sur l’intervalle ]0 ; + ∞[ par :
où a, b et c sont des réels fixés.
On a tracé sur le graphique ci-dessous la courbe 
et la droite 
d’équation y = 1.
On précise que la courbe 
passe par les points A(1 ; 0) et B(4 ; 0) et que l’axe des ordonnées et la droite 
sont asymptotes à la courbe 
.
▶ 1. Donner les valeurs de u(1) et u(4).
▶ 2. Donner 
. En déduire la valeur de a.
▶ 3. En déduire que, pour tout réel x strictement positif :
.
Partie B
Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]0 ; + ∞[ par :
.
▶ 1. Déterminer la limite de f (x) lorsque x tend vers 0. On pourra utiliser sans démonstration le fait que 
.
▶ 2. Déterminer la limite de f(x) lorsque x tend vers + ∞.
▶ 3. Démontrer que, pour tout réel x strictement positif, 
.
En déduire le tableau de variation de la fonction f en précisant les limites et les valeurs particulières.
Partie C
▶ 1. Déterminer l’aire 
, exprimée en unités d’aire, du domaine hachuré sur le graphique de la partie A.
▶ 2. Pour tout réel λ supérieur ou égal à 4, on note 
l’aire, exprimée en unités d’aire, du domaine formé par les points M de coordonnées (x ; y) telles que
et 
.
Existe-t-il une valeur de λ pour laquelle 
?
Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.
Les clés du sujet
Durée conseillée : 60 minutes.
Les thèmes clés
Fonction logarithme népérien • Dérivation • Limites de fonctions • Continuité • Calcul intégral.
Les outils dont vous avez besoin
Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.
Dérivation E6e • E6f → Partie B, 3.
Variations d’une fonction E6c → Partie B, 3.
Limites d’une fonction E5a • E5d • E9c → Partie A, 2. ; Partie B, 1. et 2.
Équation du second degré E23 → Partie B, 3.
Primitives et calcul intégral E11a • E13 • E14 → Partie C, 1. et 2.
Continuité E7c → Partie C, 2.
Nos coups de pouce
Partie A
▶ 3. Exploitez les deux questions précédentes pour obtenir un système de deux équations à deux inconnues à résoudre.
Partie C
▶ 2. Ramenez le problème posé à la résolution d’une équation portant sur la fonction f. Vérifiez alors que toutes les hypothèses sont vérifiées pour appliquer le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires.
Corrigé
Partie A
▶ 1. Déterminer des images par une fonction
A appartient à Cu donc 
.
B appartient à Cu donc 
.
▶ 2. Exploiter une limite de fonction
D’une part, d’après l’énoncé, la droite D est asymptote à Cu donc 
.
Notez bien
et 
.
D’autre part, pour tout 
, nous savons que 
. Nous obtenons, par somme, avec les limites des fonctions usuelles : 
.
Finalement 
.
▶ 3. Déterminer l’expression d’une fonction
Nous savons que 
donc 
.
Nous savons que 
donc 
soit encore 
.
Sachant que 
, nous obtenons à partir des deux équations précédentes les systèmes équivalents suivants.
Finalement, pour tout 
, nous avons : 
.
Partie B
▶ 1. Déterminer la limite d’une fonction en 0
Pour tout 
, 
.
Nous avons 
et 
donc par somme 
.
Comme 
, par produit 
.
▶ 2. Déterminer la limite d’une fonction en + ∞
Pour tout 
, 
.
Nous avons 
. Par somme, nous en déduisons que 
.
Comme 
, par produit, nous avons 
.
▶ 3. Étudier les variations d’une fonction
est dérivable sur 
comme somme de fonctions dérivables sur 
.
Pour tout x > 0 :
.
Sur 
, 
donc le signe de 
est celui de 
.
. Le trinôme précédent admet donc deux racines réelles distinctes :
et 
.
Le signe de 
est celui de 
à l’extérieur des racines. Nous obtenons :
Notez bien
et, pour tout 
et 
, 
.
et
Partie C
▶ 1. Déterminer une aire
D’après le tableau de variations précédent (partie B question 3.), 
est négative sur l’intervalle [1 ; 4].
est une somme de fonctions continues sur 
donc 
est continue sur 
et a fortiori sur [1 ; 4].
L’aire demandée est donc A 
. Comme 
pour tout 
, nous en déduisons que 
est une primitive de 
sur 
. Par conséquent :
▶ 2. Étudier l’égalité de deux aires
D’après le tableau de variations précédent (partie B question 3.), 
est positive sur l’intervalle 
.
De plus, 
est continue sur 
et a fortiori sur 
donc Aλ 
.
Aλ 
A 
D’après le tableau de variations de la question 3. (partie B), 
est continue et strictement croissante sur 
.
De plus, 
et 
.
Puisque 
, d’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation 
admet une unique solution sur l’intervalle 
.
Il existe donc une unique valeur de λ pour laquelle Aλ = A.