Partie A

Dans le plan muni d’un repère orthonormé , on désigne par la courbe représentative de la fonction u définie sur l’intervalle ]0 ; + ∞[ par :

où a, b et c sont des réels fixés.

On a tracé sur le graphique ci-dessous la courbe et la droite d’équation y = 1.

On précise que la courbe passe par les points A(1 ; 0) et B(4 ; 0) et que l’axe des ordonnées et la droite sont asymptotes à la courbe .

▶ 1. Donner les valeurs de u(1) et u(4).

▶ 2. Donner . En déduire la valeur de a.

▶ 3. En déduire que, pour tout réel x strictement positif :

.

Partie B

Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]0 ; + ∞[ par :

.

▶ 1. Déterminer la limite de f (x) lorsque x tend vers 0. On pourra utiliser sans démonstration le fait que .

▶ 2. Déterminer la limite de f(x) lorsque x tend vers + ∞.

▶ 3. Démontrer que, pour tout réel x strictement positif, .

En déduire le tableau de variation de la fonction f en précisant les limites et les valeurs particulières.

Partie C

▶ 1. Déterminer l’aire , exprimée en unités d’aire, du domaine hachuré sur le graphique de la partie A.

▶ 2. Pour tout réel λ supérieur ou égal à 4, on note l’aire, exprimée en unités d’aire, du domaine formé par les points M de coordonnées (x ; y) telles que

 et .

Existe-t-il une valeur de λ pour laquelle  ?

Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.