Alors, égales ou non ?

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Compléments sur les fonctions
Type : Exercice | Année : 2015 | Académie : Amérique du Sud


Amérique du Sud • Novembre 2015

Exercice 1 • 6 points

Alors, égales ou non ?

Partie A

Dans le plan muni d’un repère orthonormé 3646095-Eq1, on désigne par 3646095-Eq2 la courbe représentative de la fonction u définie sur l’intervalle ]0 ; + ∞[ par :

3646095-Eq3

a, b et c sont des réels fixés.

On a tracé sur le graphique ci-dessous la courbe 3646095-Eq4 et la droite 3646095-Eq5 d’équation = 1.

matT_1511_03_02C_01

On précise que la courbe 3646095-Eq6 passe par les points A(1 ; 0) et B(4 ; 0) et que l’axe des ordonnées et la droite 3646095-Eq7 sont asymptotes à la courbe 3646095-Eq8.

▶ 1. Donner les valeurs de u(1) et u(4).

2. Donner 3646095-Eq9. En déduire la valeur de a.

▶ 3. En déduire que, pour tout réel x strictement positif :

3646095-Eq10.

Partie B

Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]0 ; + ∞[ par :

3646095-Eq11.

▶ 1. Déterminer la limite de f (x) lorsque x tend vers 0. On pourra utiliser sans démonstration le fait que 3646095-Eq12.

▶ 2. Déterminer la limite de f(x) lorsque x tend vers + ∞.

▶ 3. Démontrer que, pour tout réel x strictement positif, 3646095-Eq13.

En déduire le tableau de variation de la fonction f en précisant les limites et les valeurs particulières.

Partie C

▶ 1. Déterminer l’aire 3646095-Eq14, exprimée en unités d’aire, du domaine hachuré sur le graphique de la partie A.

▶ 2. Pour tout réel λ supérieur ou égal à 4, on note 3646095-Eq15 l’aire, exprimée en unités d’aire, du domaine formé par les points M de coordonnées (y) telles que

3646095-Eq16 et 3646095-Eq17.

Existe-t-il une valeur de λ pour laquelle 3646095-Eq18 ?

Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Les clés du sujet

Durée conseillée : 60 minutes.

Les thèmes clés

Fonction logarithme népérien • Dérivation • Limites de fonctions • Continuité • Calcul intégral.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Dérivation  E6e • E6f Partie B, 3.

Variations d’une fonction  E6c Partie B, 3.

Limites d’une fonction  E5a • E5d • E9c Partie A, 2. ; Partie B, 1. et 2.

Équation du second degré  E23 Partie B, 3.

Primitives et calcul intégral  E11a • E13 • E14 Partie C, 1. et 2.

Continuité  E7c Partie C, 2.

Nos coups de pouce

Partie A

 3. Exploitez les deux questions précédentes pour obtenir un système de deux équations à deux inconnues à résoudre.

Partie C

 2. Ramenez le problème posé à la résolution d’une équation portant sur la fonction f. Vérifiez alors que toutes les hypothèses sont vérifiées pour appliquer le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires.