Alors, égales ou non ?

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Compléments sur les fonctions
Type : Exercice | Année : 2015 | Académie : Amérique du Sud


Amérique du Sud • Novembre 2015

Exercice 1 • 6 points

Alors, égales ou non ?

Partie A

Dans le plan muni d’un repère orthonormé 3646095-Eq1, on désigne par 3646095-Eq2 la courbe représentative de la fonction u définie sur l’intervalle ]0 ; + ∞[ par :

3646095-Eq3

a, b et c sont des réels fixés.

On a tracé sur le graphique ci-dessous la courbe 3646095-Eq4 et la droite 3646095-Eq5 d’équation = 1.

matT_1511_03_02C_01

On précise que la courbe 3646095-Eq6 passe par les points A(1 ; 0) et B(4 ; 0) et que l’axe des ordonnées et la droite 3646095-Eq7 sont asymptotes à la courbe 3646095-Eq8.

▶ 1. Donner les valeurs de u(1) et u(4).

2. Donner 3646095-Eq9. En déduire la valeur de a.

▶ 3. En déduire que, pour tout réel x strictement positif :

3646095-Eq10.

Partie B

Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]0 ; + ∞[ par :

3646095-Eq11.

▶ 1. Déterminer la limite de f (x) lorsque x tend vers 0. On pourra utiliser sans démonstration le fait que 3646095-Eq12.

▶ 2. Déterminer la limite de f(x) lorsque x tend vers + ∞.

▶ 3. Démontrer que, pour tout réel x strictement positif, 3646095-Eq13.

En déduire le tableau de variation de la fonction f en précisant les limites et les valeurs particulières.

Partie C

▶ 1. Déterminer l’aire 3646095-Eq14, exprimée en unités d’aire, du domaine hachuré sur le graphique de la partie A.

▶ 2. Pour tout réel λ supérieur ou égal à 4, on note 3646095-Eq15 l’aire, exprimée en unités d’aire, du domaine formé par les points M de coordonnées (y) telles que

3646095-Eq16 et 3646095-Eq17.

Existe-t-il une valeur de λ pour laquelle 3646095-Eq18 ?

Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Les clés du sujet

Durée conseillée : 60 minutes.

Les thèmes clés

Fonction logarithme népérien • Dérivation • Limites de fonctions • Continuité • Calcul intégral.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Dérivation  E6e • E6f Partie B, 3.

Variations d’une fonction  E6c Partie B, 3.

Limites d’une fonction  E5a • E5d • E9c Partie A, 2. ; Partie B, 1. et 2.

Équation du second degré  E23 Partie B, 3.

Primitives et calcul intégral  E11a • E13 • E14 Partie C, 1. et 2.

Continuité  E7c Partie C, 2.

Nos coups de pouce

Partie A

 3. Exploitez les deux questions précédentes pour obtenir un système de deux équations à deux inconnues à résoudre.

Partie C

 2. Ramenez le problème posé à la résolution d’une équation portant sur la fonction f. Vérifiez alors que toutes les hypothèses sont vérifiées pour appliquer le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires.

Corrigé

Corrigé

Partie A

 1. Déterminer des images par une fonction

A appartient à Cu donc 3646095-Eq20.

B appartient à Cu donc 3646095-Eq21.

 2. Exploiter une limite de fonction

D’une part, d’après l’énoncé, la droite D est asymptote à Cu donc 3646095-Eq24.

Notez bien

3646095-Eq22 et 3646095-Eq23.

D’autre part, pour tout 3646095-Eq25, nous savons que 3646095-Eq26. Nous obtenons, par somme, avec les limites des fonctions usuelles : 3646095-Eq27.

Finalement 3646095-Eq28.

 3. Déterminer l’expression d’une fonction

Nous savons que 3646095-Eq29 donc 3646095-Eq30.

Nous savons que 3646095-Eq31 donc 3646095-Eq32 soit encore 3646095-Eq33.

Sachant que 3646095-Eq34, nous obtenons à partir des deux équations précédentes les systèmes équivalents suivants.

3646095-Eq35

Finalement, pour tout 3646095-Eq36, nous avons : 3646095-Eq37.

Partie B

 1. Déterminer la limite d’une fonction en 0

Pour tout 3646095-Eq38, 3646095-Eq39.

Nous avons 3646095-Eq40 et 3646095-Eq41 donc par somme 3646095-Eq42.

Comme 3646095-Eq43, par produit 3646095-Eq44.

 2. Déterminer la limite d’une fonction en + ∞

Pour tout 3646095-Eq46, 3646095-Eq47.

Nous avons 3646095-Eq48. Par somme, nous en déduisons que 3646095-Eq49.

Comme 3646095-Eq50, par produit, nous avons 3646095-Eq51.

 3. Étudier les variations d’une fonction

3646095-Eq52 est dérivable sur 3646095-Eq53 comme somme de fonctions dérivables sur 3646095-Eq54.

Pour tout x > 0 :

3646095-Eq55.

Sur 3646095-Eq56, 3646095-Eq57 donc le signe de 3646095-Eq58 est celui de 3646095-Eq59.

3646095-Eq60. Le trinôme précédent admet donc deux racines réelles distinctes :

3646095-Eq61 et 3646095-Eq62.

Le signe de 3646095-Eq63 est celui de 3646095-Eq64 à l’extérieur des racines. Nous obtenons :

matT_1511_03_02C_02

Notez bien

3646095-Eq65 et, pour tout 3646095-Eq66 et 3646095-Eq67, 3646095-Eq68.

3646095-Eq80 et

3646095-Eq81

Partie C

 1. Déterminer une aire

D’après le tableau de variations précédent (partie B question 3.), 3646095-Eq82 est négative sur l’intervalle [1 ; 4].

3646095-Eq83 est une somme de fonctions continues sur 3646095-Eq84 donc 3646095-Eq85 est continue sur 3646095-Eq86 et a fortiori sur [1 ; 4].

L’aire demandée est donc A 3646095-Eq87. Comme 3646095-Eq88 pour tout 3646095-Eq89, nous en déduisons que 3646095-Eq90 est une primitive de 3646095-Eq91 sur 3646095-Eq92. Par conséquent :

3646095-Eq93

 2. Étudier l’égalité de deux aires

D’après le tableau de variations précédent (partie B question 3.), 3646095-Eq94 est positive sur l’intervalle 3646095-Eq95.

De plus, 3646095-Eq96 est continue sur 3646095-Eq97 et a fortiori sur 3646095-Eq98 donc Aλ 3646095-Eq99.

Aλ 3646095-Eq100 A 3646095-Eq101

D’après le tableau de variations de la question 3. (partie B), 3646095-Eq102 est continue et strictement croissante sur 3646095-Eq103.

De plus, 3646095-Eq104 et 3646095-Eq105.

Puisque 3646095-Eq106, d’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation 3646095-Eq107 admet une unique solution sur l’intervalle 3646095-Eq108.

Il existe donc une unique valeur de λ pour laquelle Aλ = A.