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Amusons-nous dans l'espace !

Orthogonalité et distances dans l'espace

Amusons-nous dans l'espace !

1 h 10

5 points

Intérêt du sujet  Dans cet exercice de géométrie dans l'espace, découvrez la notion de distance entre deux droites non coplanaires.

 

On se place dans l'espace muni d'un repère orthonormé dont l'origine est le point A.

On considère les points B(10 ;8 ; 2), C(1 ;8 ; 5) et D(14 ;4 ;8).

1. a) Déterminer un système d'équations paramétriques de chacune des droites AB et CD.

b) Vérifier que les droites AB et CD ne sont pas coplanaires.

2. On considère le point I de la droite AB d'abscisse 5 et le point J de la droite CD d'abscisse 4.

a) Déterminer les coordonnées des points I et J et en déduire la distance IJ.

b) Démontrer que la droite (IJ) est perpendiculaire aux droites (AB) et (CD).

La droite (IJ) est appelée perpendiculaire commune aux droites (AB) et (CD).

3. Cette question a pour but de vérifier que la distance IJ est la distance minimale entre les droites (AB) et (CD).

Sur le schéma ci-après on a représenté les droites (AB) et (CD), les points I et J, et la droite ∆ parallèle à la droite (CD) passant par I.

On considère un point M de la droite (AB) distinct du point I.

On considère un point M′ de la droite (CD) distinct du point J.

matT_1805_02_01C_02

a) Justifier que la parallèle à la droite (IJ) passant par le point M coupe la droite ∆ en un point que l'on notera P.

b) Démontrer que le triangle MPM est rectangle en P.

c) Justifier que MM > IJ et conclure.

Les clés du sujet

3. a) Notez Δ la droite parallèle à (IJ) passant par M. Démontrez que les droites Δ et Δ sont coplanaires avant de conclure.

b) Démontrez que la droite (IJ) est orthogonale au plan contenant les droites AB et Δ. Déduisez-en que la droite M′P est orthogonale à la droite (PM) et concluez.

1. a) Déterminer une représentation paramétrique d'une droite 

 AB est un vecteur directeur de la droite (AB) et ABxBxA=100=10yByA=80=8zBzA=20=2.

La droite (AB) passe par exemple par le point A(0 ; 0 ; 0).

Une représentation paramétrique de la droite (AB) est donc : x=0+10t=10ty=08t=8t,z=0+2t=2tt.

CD est un vecteur directeur de la droite (CD) et CDxDxC=141=15yDyC=48=12.zDzC=85=3

La droite (CD) passe par exemple par le point C(- 1 ; - 8 ; 5).

Une représentation paramétrique de la droite (CD) est donc : x=1+15ty=8+12t,z=5+3tt.

b) Vérifier que deux droites ne sont pas coplanaires

Les coordonnées des vecteurs AB et CD n'étant clairement pas proportionnelles, ces vecteurs ne sont pas colinéaires. Par suite, les droites (AB) et (CD) ne sont ni strictement parallèles ni confondues.

Supposons que les droites (AB) et (CD) sont sécantes et notons L leur point d'intersection de coordonnées (xL ; yL ; zL).

D'après la question précédente, il existe un nombre réel t tel que (xL ; yL ; zL)=(10t ; 8t ; 2t) et un nombre réel t tel que (xL ; yL ; zL)=(1+15t ; 8+12t ; 5+t). Il en découle que :

10t=1+15t8t=8+12t2t=5+3t 10t=1+15tt=11,5t2×11,5t=5+3t 17,5=8,5t=1,75t=0,5

Ce qui est absurde. Par suite, les droites (AB) et (CD) ne sont pas sécantes.

Les droites (AB) et (CD) ne sont ni strictement parallèles, ni confondues, ni sécantes. Ces droites ne sont donc pas coplanaires.

2. a) Déterminer des coordonnées de points et calculer une distance

Comme le point I appartient à la droite (AB), alors d'après la question 1. a), il existe un nombre réel t tel que (xI ; yI ; zI)=(10t ; 8t ; 2t). Or, l'abscisse du point I est 5 ce qui équivaut à dire que 5 = 10t et t = 0,5. Il en découle que (xI ; yI ; zI)=(; ; 1).

Comme le point J appartient à la droite (CD), alors d'après la question 1. a), il existe un nombre réel t tel que (xJ ; yJ ; zJ)=(1+15t ; 8+12t ; 5+3t). Or, l'abscisse du point J est 4 ce qui équivaut à dire que 4 = - 1 + 15t et t=13. Il en découle que (xJ ; yJ ; zJ)=(; ; 6).

La distance entre les points I et J est :

xJxI2+yJyI2+zJzI2=12+02+52=26.

b) Démontrer que des droites sont perpendiculaires

À la question précédente, on a implicitement déterminé les coordonnées du vecteur IJ qui sont ; 0 ; 5.

Or, IJAB=1×10+0×8+5×2=0

et IJCD=1×15+0×12+5×3=0.

Les droites (IJ) et (AB) ainsi que les droites (IJ) et (CD) sont donc orthogonales. Or, le point I appartient à la droite (AB) et le point J appartient à la droite (CD). Les droites (IJ) et (AB) ainsi que les droites (IJ) et (CD) sont donc perpendiculaires.

3. a) Justifier l'existence d'un point d'intersection

Les droites (CD) et Δ sont clairement strictement parallèles : elles sont ainsi coplanaires. Notons P le plan qu'elles définissent. Le point I appartient à Δ et le point J appartient à (CD) : la droite (IJ) est ainsi incluse dans le plan P. Comme le point M appartient à la droite (CD) donc au plan P, la droite parallèle à (IJ) passant par M que l'on note Δ est aussi incluse dans le plan P. Par conséquent, les droites Δ et Δ sont coplanaires. Comme les droites (IJ) et Δ ne sont pas parallèles, les droites Δ et Δ ne le sont pas également. Ces droites sont donc sécantes en un point que l'on notera P.

b) Démontrer qu'un triangle est rectangle

La droite (IJ) est perpendiculaire à la droite (CD) (question 2. b)) et la droite (CD) est parallèle à Δ. La droite (IJ) est donc orthogonale à Δ. De plus, la droite (IJ) est perpendiculaire (question 2. b)) à la droite (AB). Par conséquent, la droite (IJ) est orthogonale au plan contenant les droites (AB) et Δ que l'on note P. Mais, la droite Δ (la droite parallèle à (IJ) passant par M) est parallèle à la droite (IJ) donc la droite Δ est orthogonale au plan P et donc à toute droite de ce plan. Par conséquent, la droite Δ qui n'est rien d'autre que la droite M′P est orthogonale à la droite (PM), droite du plan P. Le triangle MPM′ est ainsi rectangle en P.

c) Justifier une inégalité et interpréter

Dans le triangle MPM rectangle en P, l'hypoténuse est [MM′] donc : MM′>M′P. Or le quadrilatère MPIJ est un parallélogramme donc M′P=JI. Ainsi, MM′>IJ. Par suite, pour tout point M de la droite (AB) distinct du point I et pour tout point M de la droite (CD) distinct du point J, la distance MM est supérieure à la distance IJ.

Il en découle que la distance IJ est la distance minimale entre les droites (AB) et (CD).

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