Amusons-nous dans l'espace !

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle Générale | Thème(s) : Orthogonalité et distances dans l’espace
Type : Exercice | Année : 2020 | Académie : Inédit


Orthogonalité et distances dans l’espace

Amusons-nous dans l’espace !

1 h 10

5 points

Intérêt du sujet  Dans cet exercice de géométrie dans l’espace, découvrez la notion de distance entre deux droites non coplanaires.

 

On se place dans l’espace muni d’un repère orthonormé dont l’origine est le point A.

On considère les points B(10 ;8 ; 2), C(1 ;8 ; 5) et D(14 ;4 ;8).

1. a) Déterminer un système d’équations paramétriques de chacune des droites AB et CD.

b) Vérifier que les droites AB et CD ne sont pas coplanaires.

2. On considère le point I de la droite AB d’abscisse 5 et le point J de la droite CD d’abscisse 4.

a) Déterminer les coordonnées des points I et J et en déduire la distance IJ.

b) Démontrer que la droite (IJ) est perpendiculaire aux droites (AB) et (CD).

La droite (IJ) est appelée perpendiculaire commune aux droites (AB) et (CD).

3. Cette question a pour but de vérifier que la distance IJ est la distance minimale entre les droites (AB) et (CD).

Sur le schéma ci-après on a représenté les droites (AB) et (CD), les points I et J, et la droite ∆ parallèle à la droite (CD) passant par I.

On considère un point M de la droite (AB) distinct du point I.

On considère un point M′ de la droite (CD) distinct du point J.

matT_1805_02_01C_02

a) Justifier que la parallèle à la droite (IJ) passant par le point M coupe la droite ∆ en un point que l’on notera P.

b) Démontrer que le triangle MPM est rectangle en P.

c) Justifier que MM > IJ et conclure.

Les clés du sujet

3. a) Notez Δ la droite parallèle à (IJ) passant par M. Démontrez que les droites Δ et Δ sont coplanaires avant de conclure.

b) Démontrez que la droite (IJ) est orthogonale au plan contenant les droites AB et Δ. Déduisez-en que la droite M′P est orthogonale à la droite (PM) et concluez.