Approcher une aire par découpage

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Intégration
Type : Exercice | Année : 2013 | Académie : Polynésie française
 
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Approcher une aire par découpage
 
 

Intégration

Corrigé

19

Ens. spécifique

matT_1306_13_08C

 

Polynésie française • Juin 2013

Exercice 1 • 6 points

On considère la fonction f définie sur ℝ par f (x) = (x + 2)e−x. On note C la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal.

> 1. Étude de la fonction f

a) Déterminer les coordonnées des points d’intersection de la courbe C avec les axes du repère.

b) Étudier les limites de la fonction f en − ∞ et en + ∞. En déduire les éventuelles asymptotes de la courbe C.

c) Étudier les variations de f sur ℝ.

> 2. Calcul d’une valeur approchée de l’aire sous une courbe

On note D le domaine compris entre l’axe des abscisses, la courbe C et les droites d’équations x = 0 et x = 1. On approche l’aire du domaine D en calculant une somme d’aires de rectangles.

a) Dans cette question, on découpe l’intervalle [0 ; 1] en quatre intervalles de même longueur :

  • sur l’intervalle , on construit un rectangle de hauteur f (0) ;
  • sur l’intervalle , on construit un rectangle de hauteur  ;
  • sur l’intervalle , on construit un rectangle de hauteur  ;
  • sur l’intervalle , on construit un rectangle de hauteur .

Cette construction est illustrée ci-après.


 

L’algorithme ci-dessous permet d’obtenir une valeur approchée de l’aire du domaine D en ajoutant les aires des quatre rectangles précédents :

 

Variables

k est un nombre entier

S est un nombre réel

Initialisation

Affecter à S la valeur 0

Traitement

Pour k variant de 0 à 3

Affecter à S la valeur

Fin Pour

Sortie

Afficher S
 

Donner une valeur approchée à 10−3 près du résultat affiché par cet algorithme.

b) Dans cette question, N est un nombre entier strictement supérieur à 1. On découpe l’intervalle [0 ; 1] en N intervalles de même longueur. Sur chacun de ces intervalles, on construit un rectangle en procédant de la même manière qu’à la question 2.a).

Modifier l’algorithme précédent afin qu’il affiche en sortie la somme des aires des N rectangles ainsi construits.

> 3. Calcul de la valeur exacte de l’aire sous une courbe

Soit g la fonction définie sur ℝ par g (x) = (− x −3)e−x.

On admet que g est une primitive de la fonction f sur ℝ.

a) Calculer l’aire A du domaine D, exprimée en unités d’aire.

b) Donner une valeur approchée à 10−3 près de l’erreur commise en remplaçant A par la valeur approchée trouvée au moyen de l’algorithme de la question 2.a), c’est-à-dire l’écart entre ces deux valeurs.

Durée conseillée : 60 min.

Les thèmes clés

Fonction exponentielle • Algorithmique • Calcul intégral.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

  • Limites  E5a • E5d • E8  → 1. b)
  • Dérivation  E6c • E6e • E6f  → 1. c)
  • Intégration  E13 • E14  → 3. a)

Nos coups de pouce

>1. a) Tout point de l’axe des abscisses a pour ordonnée 0 : M(x ; y) appartient à (Ox) si et seulement si . Pour déterminer l’intersection de C avec l’axe des abscisses, résolvez dans un premier temps l’équation .

Tout point de l’axe des ordonnées a pour abscisse 0 : M(x ; y) appartient à (Oy) si et seulement si . Pour déterminer l’intersection de C avec l’axe des ordonnées, calculez dans un premier temps .

>2. a) Indiquez pour chaque valeur de le contenu de la variable . Calculez finalement l’expression de obtenue pour en respectant la précision demandée.

>2. b) Identifiez en fonction de la largeur et la hauteur de chacun des rectangles. Corrigez alors la formule permettant le calcul de dans l’algorithme.

>3. b) Calculez la différence AS et respectez la précision demandée.

Corrigé

> 1.a) Déterminer les points d’intersection d’une courbe avec les axes du repère

  • Intersection de la courbe C avec l’axe des ordonnées :

Le point d’intersection a une abscisse nulle. Son ordonnée est donnée par .

Le point d’intersection de la courbe C avec l’axe des ordonnées a pour coordonnées (0 ; 2).

  • Intersection(s) éventuelle(s) de la courbe C avec l’axe des abscisses :

Les points d’intersection ont une ordonnée nulle. Leurs abscisses sont donc solutions de l’équation .

.

Le point d’intersection de la courbe C avec l’axe des abscisses a pour coordonnées (– 2 ; 0).

b) Déterminer les limites d’une fonction aux bornes de son ensemble de définition

.

Pour tout nombre réel x, on a : .

.

Cette dernière limite nous permet de dire que C admet en une asymptote horizontale d’équation  : c’est l’axe des abscisses.

c) Étudier les variations d’une fonction

La fonction f est dérivable sur comme produit de fonctions dérivables sur .

Pour tout nombre réel x :

.

Pour tout nombre réel x, donc le signe de f′(x) est celui de  :

.

On obtient donc le tableau de variations suivant :


 

> 2.a) Faire fonctionner un algorithme

Pour , on a .

Pour , on a .

Pour , on a .

Pour , on a .

À l’aide de cet algorithme, on obtient donc : , valeur arrondie à .

b) Modifier un algorithme pour résoudre un problème donné

L’intervalle [0 ; 1] n’est plus découpé en 4 mais en N intervalles de même longueur. La nouvelle longueur de chacun de ces intervalles est donc .

Dans l’algorithme :

On déclarera au préalable N comme entier naturel supérieur ou égal à 1 au niveau des variables.

On demandera à l’utilisateur d’entrer en rajoutant au début du traitement l’instruction « Entrer une valeur de N ».

On remplacera l’élément par l’élément , l’élément par l’élément et, désormais, k varie entre 0 et N – 1.

> 3.a) Calculer une aire

La fonction f est continue sur [0 ; 1] car elle est dérivable sur cet intervalle.

Pour tout réel x de l’intervalle [0 ; 1] :

.

La fonction f est donc strictement positive sur [0 ; 1].

L’aire A du domaine D est donc donnée, en unités d’aire, par :

b) Quantifier l’erreur de mesure entre valeur exacte et valeur approchée d’une aire

On calcule la différence entre S et A ; on obtient S – A, valeur arrondie à.