Intégration
Corrigé
19
Ens. spécifique
matT_1306_13_08C
Polynésie française • Juin 2013
Exercice 1 • 6 points
On considère la fonction f définie sur
> 1. Étude de la fonction f
> 2. Calcul d'une valeur approchée de l'aire sous une courbe
On note
- sur l'intervalle
, on construit un rectangle de hauteur f (0)
- sur l'intervalle
, on construit un rectangle de hauteur
- sur l'intervalle
, on construit un rectangle de hauteur
- sur l'intervalle
, on construit un rectangle de hauteur
.
Cette construction est illustrée ci-après.

L'algorithme ci-dessous permet d'obtenir une valeur approchée de l'aire du domaine
Donner une valeur approchée à 10−3 près du résultat affiché par cet algorithme.
Modifier l'algorithme précédent afin qu'il affiche en sortie la somme des aires des N rectangles ainsi construits.
> 3. Calcul de la valeur exacte de l'aire sous une courbe
Soit g la fonction définie sur
On admet que g est une primitive de la fonction f sur
Durée conseillée : 60 min.
Les thèmes clés
Fonction exponentielle • Algorithmique • Calcul intégral.
Les outils dont vous avez besoin
Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d'ouvrage.
- Limites
E5 a • E5 d • E8 → 1. b) - Dérivation
E6 c • E6 e • E6 f → 1. c) - Intégration
E13 • E14 → 3. a)
Nos coups de pouce
. Pour déterminer l'intersection de
.
Tout point de l'axe des ordonnées a pour abscisse 0 : M(x y) appartient à (Oy) si et seulement si . Pour déterminer l'intersection de
.
le contenu de la variable
. Calculez finalement l'expression de
obtenue pour
en respectant la précision demandée.
la largeur et la hauteur de chacun des rectangles. Corrigez alors la formule permettant le calcul de
dans l'algorithme.
S et respectez la précision demandée.
> 1. a) Déterminer les points d'intersection d'une courbe avec les axes du repère
- Intersection de la courbe
C avec l'axe des ordonnées :
Le point d'intersection a une abscisse nulle. Son ordonnée est donnée par .
Le point d'intersection de la courbe
- Intersection(s) éventuelle(s) de la courbe
C avec l'axe des abscisses :
Les points d'intersection ont une ordonnée nulle. Leurs abscisses sont donc solutions de l'équation .
Le point d'intersection de la courbe
b) Déterminer les limites d'une fonction aux bornes de son ensemble de définition
Pour tout nombre réel x, on a : .
Cette dernière limite nous permet de dire que une asymptote horizontale d'équation
: c'est l'axe des abscisses.
c) Étudier les variations d'une fonction
La fonction f est dérivable sur comme produit de fonctions dérivables sur
.
Pour tout nombre réel x :
Pour tout nombre réel x, donc le signe de f′(x) est celui de
:
On obtient donc le tableau de variations suivant :

> 2. a) Faire fonctionner un algorithme
b) Modifier un algorithme pour résoudre un problème donné
L'intervalle [0 1] n'est plus découpé en 4 mais en N intervalles de même longueur. La nouvelle longueur de chacun de ces intervalles est donc .
Dans l'algorithme :
On déclarera au préalable N comme entier naturel supérieur ou égal à 1 au niveau des variables.
On demandera à l'utilisateur d'entrer en rajoutant au début du traitement l'instruction « Entrer une valeur de N ».
On remplacera l'élément par l'élément
, l'élément
par l'élément
et, désormais, k varie entre 0 et N – 1.
> 3. a) Calculer une aire
La fonction f est continue sur [0 1] car elle est dérivable sur cet intervalle.
Pour tout réel x de l'intervalle [0 1] :
La fonction f est donc strictement positive sur [0 1].
L'aire