Arbres pondérés. Loi binomiale

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Probabilités conditionnelles
Type : Exercice | Année : 2012 | Académie : Inédit
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Arbres pondérés. Loi binomiale

Probabilités conditionnelles

Corrigé

32

Ens. spécifique

matT_1200_00_61C

Sujet inédit

Exercice • 4 points

Les parties A et B sont indépendantes.

Une épidémie touche la population française. 5 % des Français sont affectés.

PARTIE A

Fiabilité d’un test de dépistage

La probabilité que le test de dépistage soit positif sachant que la personne est affectée est 0,9. La probabilité que le test de dépistage soit négatif sachant que la personne n’est pas affectée est 0,8.

On choisit un Français au hasard et on lui fait faire le test.

On note :

l’événement : « La personne est affectée ».

l’événement : « Le test est positif ».

>1. Représenter les données de l’énoncé à l’aide d’un arbre pondéré. (0,75 point)

>2.a) Démontrer que . (0,5 point)

b) Quelle est la probabilité que le test donne un résultat erroné ? (0,5 point)

>3. Quelle est la probabilité que la personne soit affectée sachant que le test est positif ? (Arrondir au centième.) (0,5 point)

PARTIE B

Utilisation de la loi binomiale

Dans cette partie, on choisit au hasard et de façon indépendante 20 personnes de la population française. On note la variable aléatoire qui à un tel groupe de 20 personnes associe le nombre de personnes affectées par cette épidémie.

>1. Montrer que suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres. (0,5 point)

>2. Calculer la probabilité que 5 personnes soient affectées. (Arrondir au millième.) (0,75 point)

>3. Calculer l’espérance de . Interpréter ce résultat. (0,5 point)

Durée conseillée : 40 min.

Les thèmes en jeu

Probabilités conditionnelles • Loi binomiale.

Les conseils du correcteur

Partie A

>  1. L’énoncé donne les probabilités conditionnelles et  : commencez l’arbre par les événements et .

>  2. a) Appliquez la formule des probabilités totales. → fiche  C47 C 

b) Identifiez les événements correspondants à un résultat erroné.

>  3. Utilisez la formule des probabilités conditionnelles . → fiche  C48 

Partie B

>  1. Identifiez l’expérience qui est répétée et définissez la loi binomiale sous-jacente. → fiche  C51 

>  2. et >  3. Il s’agira ensuite d’appliquer les formules associées à une loi binomiale. → fiche  C51 

Corrigé

PARTIE A

>1. Construire un arbre de probabilités


L’épidémie touche 5 % des Français, donc :

.

Si la personne est affectée la probabilité que le test soit positif est 0,9, donc :

.

Si la personne n’est pas affectée, la probabilité que le test soit négatif est 0,8, donc : .

On complète l’arbre en utilisant les propriétés d’un arbre de probabilités.

>2. Calculer à l’aide d’un arbre de probabilités

a) D’après la formule des probabilités totales et en suivant les chemins et sur l’arbre de probabilités :

b) Le résultat du test est erroné lorsque la personne est affectée et que son test est négatif ou lorsque la personne n’est pas affectée et que son test est positif, c’est-à-dire lorsque les événements et  sont réalisés. Ces événements étant incompatibles :

La probabilité que le test donne un résultat erroné est .

>3. Calculer une probabilité conditionnelle

La probabilité que la personne soit affectée sachant que le test est positif est le nombre , P(T) = 0,235 ≠ 0. On calcule :

.

La probabilité que la personne soit affectée sachant que le test est positif est environ 0,19 au centième près.

PARTIE B

>1. Montrer qu’une variable aléatoire suit la loi binomiale

On effectue épreuves identiques et indépendantes : choisir une personne et regarder si elle est affectée. La probabilité qu’une personne soit affectée est , donc suit la loi binomiale de paramètres et .

>2. Calculer une probabilité à l’aide de la loi binomiale

suit la loi binomiale de paramètres et , donc :

Souvenez-vous : .

>3. Calculer l’espérance d’une loi binomiale

suit la loi binomiale de paramètres et , donc :

.

Si on répète un grand nombre de fois le choix de personnes, on aura, en moyenne, 1 personne affectée par groupe de 20 personnes.