▶ 1. Mettre un problème en équation

La largeur de l'arc de chaînette est égale au double de l'abscisse du point M, soit 2x. La hauteur de cet arc est égale à l'ordonnée du point M, soit $\frac{1}{2}\left({\text{e}}^x+{\text{e}}^{-x}-2\right)$. Par suite, la largeur de l'arc de chaînette est égale à sa hauteur si et seulement si :

$2x=\frac{1}{2}\left({\text{e}}^x+{\text{e}}^{-x}-2\right)\iff 4x={\text{e}}^x+{\text{e}}^{-x}-2\iff 0={\text{e}}^x+{\text{e}}^{-x}-4x-2$.

L'abscisse x du point M étant strictement positive, le problème étudié se ramène ainsi à la recherche des solutions strictement positives de l'équation (E) : e^x + e^–x – 4x – 2 = 0.

▶ 2. a) Vérifier une égalité

Pour tout x > 0, on a :

f(x) = e^x + e^–x – 4x – 2

$\begin{array}{l}={\text{e}}^x-4x+{\text{e}}^{-x}-2\\ =x\times \frac{{\text{e}}^x}{x}-x\times 4+{\text{e}}^{-x}-2\\ =x\times \left(\frac{{\text{e}}^x}{x}-4\right)+{\text{e}}^{-x}-2.\end{array}$

b) Déterminer une limite

Par croissances comparées, on a $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{{\text{e}}^x}{x}=+\infty$. Par différence et par produit, il vient : $\underset{x\to +\infty }{\lim }x\times \left(\frac{{\text{e}}^x}{x}-4\right)=+\infty$.

Comme $\underset{x\to +\infty }{\lim }-x=-\infty$ et que $\underset{X\to -\infty }{\lim }{\text{e}}^X=0$, il vient, par composée, $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\text{e}}^{-x}=0$ et par différence $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\text{e}}^{-x}-2=-2$.

On en conclut, par somme, que $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty$.

▶ 3. a) Dériver une fonction

Pour tout x appartenant à l'intervalle $\left[\text{0 }; +\infty \right[$, on a : $f^{\prime }(x)={\text{e}}^x-{\text{e}}^{-x}-4$.

b) Démontrer une équivalence

On a :

$\begin{array}{l}{f}^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff {\text{e}}^x-{\text{e}}^{-x}-4=0\\ \iff {\text{e}}^x\times ({\text{e}}^x-{\text{e}}^{-x}-4)={\text{e}}^x\times 0\\ \iff {\left({\text{e}}^x\right)}^2-{\text{e}}^x\times {\text{e}}^{-x}-{\text{e}}^x\times 4=0\\ \iff {\left({\text{e}}^x\right)}^2-{\text{e}}^0-4{\text{e}}^x=0\\ \iff {\left({\text{e}}^x\right)}^2-4{\text{e}}^x-1=0.\end{array}$

c) Résoudre une équation

En posant X = e^x on se ramène à l'équation du second degré suivante : X² – 4X – 1 = 0. Quelle que soit la valeur de x, e^x est positif et, par suite, X doit l'être également. Cette équation est alors à résoudre dans ]0 ; +∞[. Son discriminant ∆ vaut : (– 4)² – 4 × 1 × (– 1) = 20. Comme ∆ est strictement positif, l'équation admet deux solutions réelles : $\frac{-(-4)-\sqrt{20}}{2\times 1}=\frac{4-2\sqrt{5}}{2}=2-\sqrt{5}$ et $\frac{4+\sqrt{20}}{2}=2+\sqrt{5}$.

Comme $2-\sqrt{5}\approx -\mathrm{0,236}<mn>0</mn>$ et que $2+\sqrt{5}>0$, l'équation $X^2-4X-1=0$ admet une unique solution dans ]0 ; +∞[ qui est $2+\sqrt{5}$.

Pour déterminer les éventuelles solutions de l'équation ${({\text{e}}^x)}^2-4{\text{e}}^x-1=0$ dans l'intervalle $\left[\text{0 }; +\infty \right[$, on doit ainsi résoudre $2+\sqrt{5}={\text{e}}^x$.

Or, on a :

$\begin{array}{l}2+\sqrt{5}={\text{e}}^x\iff \ln (2+\sqrt{5})=\ln ({\text{e}}^x)\\ \iff \ln (2+\sqrt{5})=x.\end{array}$

Comme $2+\sqrt{5}>1$, alors $\ln (2+\sqrt{5})>0$.

L'équation $f^{\prime }(x)=0$ admet donc pour unique solution réelle le nombre $\ln (2+\sqrt{5})$.

▶ 4. a) Dresser un tableau de variations

Pour tout réel x de l'intervalle $[0;\ln (2+\sqrt{5})[$, on a $f^{\prime }(x)<mn>0</mn>$. La fonction f est alors strictement décroissante sur l'intervalle $[0;\ln (2+\sqrt{5})]$.

Pour tout réel x de l'intervalle $]\ln (2+\sqrt{5});+\infty [$, on a $f^{\prime }(x)>0$. La fonction f est alors strictement croissante sur l'intervalle $[\ln (2+\sqrt{5});+\infty [$.

On a : $f(0)={\text{e}}^0+{\text{e}}^{-0}-4\times 0-2=0$ et

$\begin{array}{c}f(\ln (2+\sqrt{5}))={\text{e}}^{\ln (2+\sqrt{5})}+{\text{e}}^{-\ln (2+\sqrt{5})}-4\ln (2+\sqrt{5})-2\\ =2+\sqrt{5}+{\text{e}}^{\ln \left(\frac{1}{2+\sqrt{5}}\right)}-4\ln (2+\sqrt{5})-2\\ =2+\sqrt{5}+\frac{1}{2+\sqrt{5}}-4\ln (2+\sqrt{5})-2.\end{array}$

En rappelant que $\underset{x\to +\infty }{{\displaystyle \lim }}f\left(x\right)=+\infty$ (question 2. b)), le tableau de variations de la fonction $f$ est ainsi :

b) Justifier l'unicité de la solution d'une équation

Comme la fonction f est strictement décroissante sur l'intervalle $\left[\text{0 }; \text{ln}\left(2+\sqrt[]{5}\right)\right]$ et que $f\left(0\right)=0$, la fonction f est négative sur cet intervalle et s'annule en zéro. L'équation $f\left(x\right)= 0$ n'admet donc pas de solution strictement positive sur cet intervalle.

Sur l'intervalle $\left[\ln \left(2+\sqrt[]{5}\right) ; +\infty \right[$, la fonction f est continue et strictement croissante. De plus, comme $f\left(\ln \left(2+\sqrt[]{5}\right)\right)\approx -\mathrm{3,30}<mn>0</mn>$ et que $\underset{x\to +\infty }{\text{lim}} f\left(x\right)=+\infty$, $0\in \left]f\left(\ln \left(2+\sqrt[]{5}\right)\right) ; +\infty \right[$. Par suite, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f\left(x\right)=0$ admet une unique solution strictement positive sur l'intervalle $\left[\ln \left(2+\sqrt[]{5}\right) ; +\infty \right[$.

L'équation $f\left(x\right)=0$ admet ainsi une unique solution strictement positive que l'on notera $\text{α}.$

▶ 5. a) Dérouler un algorithme

On remarque que la condition dans l'instruction conditionnelle Si est « $f\left(m\right)>0$ ». De ce fait, si une exécution de cette instruction doit avoir lieu, il faut calculer l'image de m par f (une valeur approchée à l'aide de la calculatrice) et identifier son signe.

1^re étape. La condition de la boucle « Tant que » étant vérifiée $\left(b-a=1>\mathrm{0,1}\right)$, m prend la valeur $\frac{2+3}{2}=\mathrm{2,5}$ (comme indiqué dans le tableau). Comme $f\left(\mathrm{2,5}\right)\approx \mathrm{0,26}>0$, alors b prend la valeur 2,5.

2^e étape. La condition de la boucle « Tant que » étant vérifiée $\left(b-a=\mathrm{0,5}>\mathrm{0,1}\right)$, m prend la valeur $\frac{2+\mathrm{2,5}}{2}=\mathrm{2,25}$. Comme $f\left(\mathrm{2,25}\right)\approx -\mathrm{1,41}<mn>0</mn>$, alors a prend la valeur 2,25.

3^e étape. La condition de la boucle « Tant que » étant vérifiée $\left(b-a=\mathrm{0,25}>\mathrm{0,1}\right)$, m prend la valeur $\frac{\mathrm{2,25}+\mathrm{2,5}}{2}=\mathrm{2,375}$. Comme $f\left(\mathrm{2,375}\right)\approx -\mathrm{0,656}<mn>0</mn>$, alors a prend la valeur 2,375.

4^e étape. La condition de la boucle « Tant que » étant vérifiée $\left(b-a=\mathrm{0,125}>\mathrm{0,1}\right)$, m prend la valeur $\frac{\mathrm{2,375}+\mathrm{2,5}}{2}=\mathrm{2,4375}$. Comme $f\left(\mathrm{2,4375}\right)\approx -\mathrm{0,218}<mn>0</mn>$, alors a prend la valeur 2,4375.

5^e étape. Comme b - a = 0,0625 ≤ 0,1 alors la condition de la boucle « Tant que » n'est plus vérifiée. L'algorithme s'arrête.

Ces différentes étapes sont résumées dans le tableau suivant :

À la fin de l'exécution de cet algorithme, les variables $a$ et $b$ contiennent respectivement les valeurs $\mathrm{2,4375}$ et $\mathrm{2,5}$.

b) Interpréter des valeurs obtenues en fin d'algorithme

Les valeurs obtenues à la question précédente permettent d'obtenir un encadrement de l'unique solution strictement positive α de l'équation $f\left(x\right)=0,$ encadrement dont l'amplitude n'excède pas 0,1. Autrement dit, on a : .

> 6. Donner un encadrement d'une hauteur

En posant x $=\frac{t}{39}$, on se ramène à l'équation $f\left(x\right)=0$ à résoudre dans $\left[\text{0 }; +\infty \right[.$Or, d'après la question 4. b), cette équation admet une unique solution strictement positive α. Il en découle que l'équation $\left(E^{\prime }\right)$ admet une unique solution t_α égale à 39α et qui, par conséquent, est strictement positive. D'après la question 5. b), on a :

2,4375 α α

⇔ 95,0625 t_α

Or, d'après l'énoncé, la hauteur de l'arc étudié est égale à sa largeur qui est le double de t_α. On en conclut que la hauteur de la Gateway Arch est comprise entre 190,125 mètres et 195 mètres.