Arcs de chaînette

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle Générale | Thème(s) : Fonctions de référence
Type : Exercice | Année : 2020 | Académie : Inédit


Fonctions de référence

Arcs de chaînette

1 h 15

6 points

Intérêt du sujet  Afin de résoudre un problème géométrique, on est amené à étudier une fonction utilisant les fonctions exponentielle et logarithme népérien. Après avoir démontré l’existence d’une solution, on l’approche à l’aide d’un algorithme.

 

Dans cet exercice, on munit le plan d’un repère orthonormé.

On a représenté ci-dessous la courbe d’équation :

y=12(ex+ex2).

Cette courbe est appelée une « chaînette ».

On s’intéresse ici aux « arcs de chaînette » délimités par deux points de cette courbe symétriques par rapport à l’axe des ordonnées.

Un tel arc est représenté sur le graphique ci-dessous en trait plein.

On définit la « largeur » et la « hauteur » de l’arc de chaînette délimité par les points M et M′ comme indiqué sur le graphique.

matT_1806_07_01C_01

Le but de l’exercice est d’étudier les positions possibles sur la courbe du point M d’abscisse x strictement positive afin que la largeur de l’arc de chaînette soit égale à sa hauteur.

1. Justifier que le problème étudié se ramène à la recherche des solutions strictement positives de l’équation (E) : ex + ex - 4x - 2 = 0.

2. On note f la fonction définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par :

f(x) = ex + ex - 4x - 2.

a) Vérifier que pour tout x>0,f(x)=xexx4+ex2.

b) Déterminer limx+fx.

3. a) On note f′ la fonction dérivée de la fonction f. Calculer f′(x), où x appartient à l’intervalle [0 ; +∞[.

b) Montrer que l’équation f′(x) = 0 équivaut à l’équation :

(ex)2 - 4ex - 1 = 0.

c) En posant X = ex, montrer que l’équation f′(x) = 0 admet pour unique solution réelle le nombre ln2+5.

4. On donne ci-dessous le tableau de signes de la fonction dérivée f′ de f :

Tableau de 2 lignes, 4 colonnes ;Corps du tableau de 2 lignes ;Ligne 1 : x; 0; ln2+5; +∞; Ligne 2 : f′(x); –; 0; +;

a) Dresser le tableau de variations de la fonction f.

b) Démontrer que l’équation f(x) = 0 admet une unique solution strictement positive que l’on notera α.

5. On considère l’algorithme suivant où les variables a, b et m sont des nombres réels :

S01_algo_001

a) Avant l’exécution de cet algorithme, les variables a et b contiennent respectivement les valeurs 2 et 3.

Que contiennent-elles à la fin de l’exécution de l’algorithme ?

On justifiera la réponse en reproduisant et en complétant le tableau ci-dessous avec les différentes valeurs prises par les variables, à chaque étape de l’algorithme.

S01_algo_001b

b) Comment peut-on utiliser les valeurs obtenues en fin d’algorithme à la question précédente ?

6. La Gateway Arch, édifiée dans la ville de Saint-Louis aux États-Unis, a l’allure ci-dessous.

matT_1806_07_01C_02

Son profil peut être approché par un arc de chaînette renversé dont la largeur est égale à la hauteur.

La largeur de cet arc, exprimée en mètres, est égale au double de la solution strictement positive de l’équation :

E:et39+et394t392=0.

Donner un encadrement de la hauteur de la Gateway Arch.

Les clés du sujet

3. b) Multipliez chaque membre de l’égalité fx=0 par ex. Concluez à l’aide de certaines propriétés de la fonction exponentielle.

c) Résolvez l’équation du second degré induite par le changement de variable puis revenez ensuite à l’équation initiale. À chaque étape, soyez attentif au signe des solutions avant de passer à l’étape suivante.

6. Justifiez que l’équation E admet une unique solution strictement positive à l’aide de la question 4. b). Puis, proposez-en un encadrement au dixième en utilisant la question 5. Enfin, concluez en rappelant le lien entre la largeur de l’arc étudié, sa hauteur et la solution strictement positive de E.