1 h 15

6 points

Dans cet exercice, on munit le plan d’un repère orthonormé.

On a représenté ci-dessous la courbe d’équation :

$y=\frac{1}{2}({\text{e}}^x+{\text{e}}^{-x}-2)$.

Cette courbe est appelée une « chaînette ».

On s’intéresse ici aux « arcs de chaînette » délimités par deux points de cette courbe symétriques par rapport à l’axe des ordonnées.

Un tel arc est représenté sur le graphique ci-dessous en trait plein.

On définit la « largeur » et la « hauteur » de l’arc de chaînette délimité par les points M et M′ comme indiqué sur le graphique.

Le but de l’exercice est d’étudier les positions possibles sur la courbe du point M d’abscisse x strictement positive afin que la largeur de l’arc de chaînette soit égale à sa hauteur.

▶ 1. Justifier que le problème étudié se ramène à la recherche des solutions strictement positives de l’équation (E) : e^x + e^–x - 4x - 2 = 0.

▶ 2. On note f la fonction définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par :

f(x) = e^x + e^–x - 4x - 2.

a) Vérifier que pour tout $x>0,f(x)=x\left(\frac{{\text{e}}^x}{x}-4\right)+{\text{e}}^{-x}-2$.

b) Déterminer $\underset{x\to +\infty }{{\displaystyle \lim }}f\left(x\right)$.

▶ 3. a) On note f′ la fonction dérivée de la fonction f. Calculer f′(x), où x appartient à l’intervalle [0 ; +∞[.

b) Montrer que l’équation f′(x) = 0 équivaut à l’équation :

(e^x)² - 4e^x - 1 = 0.

c) En posant X = e^x, montrer que l’équation f′(x) = 0 admet pour unique solution réelle le nombre $\ln \left(2+\sqrt{5}\right)$.

▶ 4. On donne ci-dessous le tableau de signes de la fonction dérivée f′ de f :

a) Dresser le tableau de variations de la fonction f.

b) Démontrer que l’équation f(x) = 0 admet une unique solution strictement positive que l’on notera α.

▶ 5. On considère l’algorithme suivant où les variables a, b et m sont des nombres réels :

a) Avant l’exécution de cet algorithme, les variables a et b contiennent respectivement les valeurs 2 et 3.

Que contiennent-elles à la fin de l’exécution de l’algorithme ?

On justifiera la réponse en reproduisant et en complétant le tableau ci-dessous avec les différentes valeurs prises par les variables, à chaque étape de l’algorithme.

b) Comment peut-on utiliser les valeurs obtenues en fin d’algorithme à la question précédente ?

▶ 6. La Gateway Arch, édifiée dans la ville de Saint-Louis aux États-Unis, a l’allure ci-dessous.

Son profil peut être approché par un arc de chaînette renversé dont la largeur est égale à la hauteur.

La largeur de cet arc, exprimée en mètres, est égale au double de la solution strictement positive de l’équation :

$\left(E^{\prime }\right):{\text{e}}^{\frac{t}{39}}+{\text{e}}^{-\frac{t}{39}}-4\frac{t}{39}-2=0.$

Donner un encadrement de la hauteur de la Gateway Arch.