Analyse
Fonctions de référence
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matT_2000_00_24C
Fonctions de référence
Arcs de chaînette
Intérêt du sujet • Afin de résoudre un problème géométrique, on est amené à étudier une fonction utilisant les fonctions exponentielle et logarithme népérien. Après avoir démontré l’existence d’une solution, on l’approche à l’aide d’un algorithme.
Dans cet exercice, on munit le plan d’un repère orthonormé.
On a représenté ci-dessous la courbe d’équation :
.
Cette courbe est appelée une « chaînette ».
On s’intéresse ici aux « arcs de chaînette » délimités par deux points de cette courbe symétriques par rapport à l’axe des ordonnées.
Un tel arc est représenté sur le graphique ci-dessous en trait plein.
On définit la « largeur » et la « hauteur » de l’arc de chaînette délimité par les points M et M′ comme indiqué sur le graphique.
Le but de l’exercice est d’étudier les positions possibles sur la courbe du point M d’abscisse x strictement positive afin que la largeur de l’arc de chaînette soit égale à sa hauteur.
▶ 1. Justifier que le problème étudié se ramène à la recherche des solutions strictement positives de l’équation (E) : ex + e–x - 4x - 2 = 0.
▶ 2. On note f la fonction définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par :
f(x) = ex + e–x - 4x - 2.
a) Vérifier que pour tout .
b) Déterminer .
▶ 3. a) On note f′ la fonction dérivée de la fonction f. Calculer f′(x), où x appartient à l’intervalle [0 ; +∞[.
b) Montrer que l’équation f′(x) = 0 équivaut à l’équation :
(ex)2 - 4ex - 1 = 0.
c) En posant X = ex, montrer que l’équation f′(x) = 0 admet pour unique solution réelle le nombre .
▶ 4. On donne ci-dessous le tableau de signes de la fonction dérivée f′ de f :

a) Dresser le tableau de variations de la fonction f.
b) Démontrer que l’équation f(x) = 0 admet une unique solution strictement positive que l’on notera α.
▶ 5. On considère l’algorithme suivant où les variables a, b et m sont des nombres réels :
a) Avant l’exécution de cet algorithme, les variables a et b contiennent respectivement les valeurs 2 et 3.
Que contiennent-elles à la fin de l’exécution de l’algorithme ?
On justifiera la réponse en reproduisant et en complétant le tableau ci-dessous avec les différentes valeurs prises par les variables, à chaque étape de l’algorithme.
b) Comment peut-on utiliser les valeurs obtenues en fin d’algorithme à la question précédente ?
▶ 6. La Gateway Arch, édifiée dans la ville de Saint-Louis aux États-Unis, a l’allure ci-dessous.
Son profil peut être approché par un arc de chaînette renversé dont la largeur est égale à la hauteur.
La largeur de cet arc, exprimée en mètres, est égale au double de la solution strictement positive de l’équation :
Donner un encadrement de la hauteur de la Gateway Arch.
Les clés du sujet
▶ 3. b) Multipliez chaque membre de l’égalité par . Concluez à l’aide de certaines propriétés de la fonction exponentielle.
c) Résolvez l’équation du second degré induite par le changement de variable puis revenez ensuite à l’équation initiale. À chaque étape, soyez attentif au signe des solutions avant de passer à l’étape suivante.
▶ 6. Justifiez que l’équation admet une unique solution strictement positive à l’aide de la question 4. b). Puis, proposez-en un encadrement au dixième en utilisant la question 5. Enfin, concluez en rappelant le lien entre la largeur de l’arc étudié, sa hauteur et la solution strictement positive de .