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Arcs de chaînette

Fonctions de référence

Arcs de chaînette

1 h 15

6 points

Intérêt du sujet  Afin de résoudre un problème géométrique, on est amené à étudier une fonction utilisant les fonctions exponentielle et logarithme népérien. Après avoir démontré l'existence d'une solution, on l'approche à l'aide d'un algorithme.

 

Dans cet exercice, on munit le plan d'un repère orthonormé.

On a représenté ci-dessous la courbe d'équation :

y=12(ex+ex2).

Cette courbe est appelée une « chaînette ».

On s'intéresse ici aux « arcs de chaînette » délimités par deux points de cette courbe symétriques par rapport à l'axe des ordonnées.

Un tel arc est représenté sur le graphique ci-dessous en trait plein.

On définit la « largeur » et la « hauteur » de l'arc de chaînette délimité par les points M et M′ comme indiqué sur le graphique.

matT_1806_07_01C_01

Le but de l'exercice est d'étudier les positions possibles sur la courbe du point M d'abscisse x strictement positive afin que la largeur de l'arc de chaînette soit égale à sa hauteur.

1. Justifier que le problème étudié se ramène à la recherche des solutions strictement positives de l'équation (E) : ex + ex - 4x - 2 = 0.

2. On note f la fonction définie sur l'intervalle [0 ; +∞[ par :

f(x) = ex + ex - 4x - 2.

a) Vérifier que pour tout x>0,f(x)=xexx4+ex2.

b) Déterminer limx+fx.

3. a) On note f′ la fonction dérivée de la fonction f. Calculer f′(x), où x appartient à l'intervalle [0 ; +∞[.

b) Montrer que l'équation f′(x) = 0 équivaut à l'équation :

(ex)2 - 4ex - 1 = 0.

c) En posant X = ex, montrer que l'équation f′(x) = 0 admet pour unique solution réelle le nombre ln2+5.

4. On donne ci-dessous le tableau de signes de la fonction dérivée f′ de f :

Tableau de 2 lignes, 4 colonnes ;Corps du tableau de 2 lignes ;Ligne 1 : x; 0; ln2+5; +∞; Ligne 2 : f′(x); –; 0; +;

a) Dresser le tableau de variations de la fonction f.

b) Démontrer que l'équation f(x) = 0 admet une unique solution strictement positive que l'on notera α.

5. On considère l'algorithme suivant où les variables a, b et m sont des nombres réels :

S01_algo_001

a) Avant l'exécution de cet algorithme, les variables a et b contiennent respectivement les valeurs 2 et 3.

Que contiennent-elles à la fin de l'exécution de l'algorithme ?

On justifiera la réponse en reproduisant et en complétant le tableau ci-dessous avec les différentes valeurs prises par les variables, à chaque étape de l'algorithme.

S01_algo_001b

b) Comment peut-on utiliser les valeurs obtenues en fin d'algorithme à la question précédente ?

6. La Gateway Arch, édifiée dans la ville de Saint-Louis aux États-Unis, a l'allure ci-dessous.

matT_1806_07_01C_02

Son profil peut être approché par un arc de chaînette renversé dont la largeur est égale à la hauteur.

La largeur de cet arc, exprimée en mètres, est égale au double de la solution strictement positive de l'équation :

E:et39+et394t392=0.

Donner un encadrement de la hauteur de la Gateway Arch.

Les clés du sujet

3. b) Multipliez chaque membre de l'égalité fx=0 par ex. Concluez à l'aide de certaines propriétés de la fonction exponentielle.

c) Résolvez l'équation du second degré induite par le changement de variable puis revenez ensuite à l'équation initiale. À chaque étape, soyez attentif au signe des solutions avant de passer à l'étape suivante.

6. Justifiez que l'équation E admet une unique solution strictement positive à l'aide de la question 4. b). Puis, proposez-en un encadrement au dixième en utilisant la question 5. Enfin, concluez en rappelant le lien entre la largeur de l'arc étudié, sa hauteur et la solution strictement positive de E.

1. Mettre un problème en équation

La largeur de l'arc de chaînette est égale au double de l'abscisse du point M, soit 2x. La hauteur de cet arc est égale à l'ordonnée du point M, soit 12ex+ex2. Par suite, la largeur de l'arc de chaînette est égale à sa hauteur si et seulement si :

2x=12ex+ex24x=ex+ex20=ex+ex4x2.

L'abscisse x du point M étant strictement positive, le problème étudié se ramène ainsi à la recherche des solutions strictement positives de l'équation (E) : ex + ex – 4x – 2 = 0.

2. a) Vérifier une égalité

Pour tout x > 0, on a :

f(x) = ex + e–x – 4x – 2

=ex4x+ex2=x×exxx×4+ex2=x×exx4+ex2.

b) Déterminer une limite

Par croissances comparées, on a limx+exx=+. Par différence et par produit, il vient : limx+x×exx4=+.

Comme limx+x= et que limXeX=0, il vient, par composée, limx+ex=0 et par différence limx+ex2=2.

On en conclut, par somme, que limx+f(x)=+.

3. a) Dériver une fonction

rappel

Si w est dérivable sur I, alors ew est dérivable sur I et (ew)′ = w′ × ew.

Pour tout x appartenant à l'intervalle ; +, on a : f(x)=exex4.

b) Démontrer une équivalence

rappel

e0 = 1 et pour tous réels a et b, ea × eb = ea+b.

On a :

f'(x)=0exex4=0ex×(exex4)=ex×0(ex)2ex×exex×4=0(ex)2e04ex=0(ex)24ex1=0.

c) Résoudre une équation

En posant X = ex on se ramène à l'équation du second degré suivante : X2 – 4X – 1 = 0. Quelle que soit la valeur de x, ex est positif et, par suite, X doit l'être également. Cette équation est alors à résoudre dans ]0 ; +∞[. Son discriminant ∆ vaut : (– 4)2 – 4 × 1 × (– 1) = 20. Comme ∆ est strictement positif, l'équation admet deux solutions réelles : (4)202×1=4252=25 et 4+202=2+5.

Comme 250,2360 et que 2+5>0, l'équation X24X1=0 admet une unique solution dans ]0 ; +∞[ qui est 2+5.

Pour déterminer les éventuelles solutions de l'équation (ex)24ex1=0 dans l'intervalle ; +, on doit ainsi résoudre 2+5=ex.

rappel

Pour tous réels a et b strictement positifs : a=bln(a)=ln(b).

Or, on a :

2+5=exln(2+5)=ln(ex)ln(2+5)=x.

Comme 2+5>1, alors ln(2+5)>0.

L'équation f(x)=0 admet donc pour unique solution réelle le nombre ln(2+5).

4. a) Dresser un tableau de variations

Pour tout réel x de l'intervalle [0;ln(2+5)[, on a f(x)0. La fonction f est alors strictement décroissante sur l'intervalle [0;ln(2+5)].

Pour tout réel x de l'intervalle ]ln(2+5);+[, on a f(x)>0. La fonction f est alors strictement croissante sur l'intervalle [ln(2+5);+[.

rappel

Pour tout réel a strictement positif, eln(a)=a.

On a : f(0)=e0+e04×02=0 et

f(ln(2+5))=eln(2+5)+eln(2+5)4ln(2+5)2=2+5+eln12+54ln(2+5)2=2+5+12+54ln(2+5)2.

attention !

12+5=1×252+5×25=252252=25.

En rappelant que limx+fx=+ (question 2. b)), le tableau de variations de la fonction f est ainsi :

001_matT_1806_07_01C_tab01

b) Justifier l'unicité de la solution d'une équation

Comme la fonction f est strictement décroissante sur l'intervalle ; ln2+5 et que f0=0, la fonction f est négative sur cet intervalle et s'annule en zéro. L'équation fx= 0 n'admet donc pas de solution strictement positive sur cet intervalle.

Sur l'intervalle ln2+5 ; +, la fonction f est continue et strictement croissante. De plus, comme fln2+53,300 et que limx+ fx=+, 0fln2+5 ; +. Par suite, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation fx=0 admet une unique solution strictement positive sur l'intervalle ln2+5 ; +.

L'équation fx=0 admet ainsi une unique solution strictement positive que l'on notera α.

5. a) Dérouler un algorithme

On remarque que la condition dans l'instruction conditionnelle Si est « fm>0 ». De ce fait, si une exécution de cette instruction doit avoir lieu, il faut calculer l'image de m par f (une valeur approchée à l'aide de la calculatrice) et identifier son signe.

1re étape. La condition de la boucle « Tant que » étant vérifiée ba=1>0,1, m prend la valeur 2+32=2,5 (comme indiqué dans le tableau). Comme f2,50,26>0, alors b prend la valeur 2,5.

2e étape. La condition de la boucle « Tant que » étant vérifiée ba=0,5>0,1, m prend la valeur 2+2,52=2,25. Comme f2,251,410, alors a prend la valeur 2,25.

3e étape. La condition de la boucle « Tant que » étant vérifiée ba=0,25>0,1, m prend la valeur 2,25+2,52=2,375. Comme f2,3750,6560, alors a prend la valeur 2,375.

4e étape. La condition de la boucle « Tant que » étant vérifiée ba=0,125>0,1, m prend la valeur 2,375+2,52=2,4375. Comme f2,43750,2180, alors a prend la valeur 2,4375.

5e étape. Comme b - a = 0,0625 ≤ 0,1 alors la condition de la boucle « Tant que » n'est plus vérifiée. L'algorithme s'arrête.

Ces différentes étapes sont résumées dans le tableau suivant :

Tableau de 6 lignes, 4 colonnes ;Corps du tableau de 6 lignes ;Ligne 1 : m; a; b; b - a; Ligne 2 : ; 2; 3; 1; Ligne 3 : 2,5; 2; 2,5; 0,5; Ligne 4 : 2,25; 2,25; 2,5; 0,25; Ligne 5 : 2,375; 2,375; 2,5; 0,125; Ligne 6 : 2,4375; 2,4375; 2,5; 0,0625;

À la fin de l'exécution de cet algorithme, les variables a et b contiennent respectivement les valeurs 2,4375 et 2,5.

b) Interpréter des valeurs obtenues en fin d'algorithme

Les valeurs obtenues à la question précédente permettent d'obtenir un encadrement de l'unique solution strictement positive α de l'équation fx=0, encadrement dont l'amplitude n'excède pas 0,1. Autrement dit, on a : 2,4375α2,5.

> 6. Donner un encadrement d'une hauteur

En posant x =t39, on se ramène à l'équation fx=0 à résoudre dans ; +. Or, d'après la question 4. b), cette équation admet une unique solution strictement positive α. Il en découle que l'équation E admet une unique solution tα égale à 39α et qui, par conséquent, est strictement positive. D'après la question 5. b), on a :

2,4375 α α

⇔ 95,0625 tα

Or, d'après l'énoncé, la hauteur de l'arc étudié est égale à sa largeur qui est le double de tα. On en conclut que la hauteur de la Gateway Arch est comprise entre 190,125 mètres et 195 mètres.

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