Analyse
Fonctions de référence
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matT_2000_00_24C
Fonctions de référence
Arcs de chaînette
Intérêt du sujet • Afin de résoudre un problème géométrique, on est amené à étudier une fonction utilisant les fonctions exponentielle et logarithme népérien. Après avoir démontré l'existence d'une solution, on l'approche à l'aide d'un algorithme.
Dans cet exercice, on munit le plan d'un repère orthonormé.
On a représenté ci-dessous la courbe d'équation :
.
Cette courbe est appelée une « chaînette ».
On s'intéresse ici aux « arcs de chaînette » délimités par deux points de cette courbe symétriques par rapport à l'axe des ordonnées.
Un tel arc est représenté sur le graphique ci-dessous en trait plein.
On définit la « largeur » et la « hauteur » de l'arc de chaînette délimité par les points M et M′ comme indiqué sur le graphique.
Le but de l'exercice est d'étudier les positions possibles sur la courbe du point M d'abscisse x strictement positive afin que la largeur de l'arc de chaînette soit égale à sa hauteur.
▶ 1. Justifier que le problème étudié se ramène à la recherche des solutions strictement positives de l'équation (E) : ex + e–x - 4x - 2 = 0.
▶ 2. On note f la fonction définie sur l'intervalle [0 ; +∞[ par :
f(x) = ex + e–x - 4x - 2.
a) Vérifier que pour tout .
b) Déterminer .
▶ 3. a) On note f′ la fonction dérivée de la fonction f. Calculer f′(x), où x appartient à l'intervalle [0 ; +∞[.
b) Montrer que l'équation f′(x) = 0 équivaut à l'équation :
(ex)2 - 4ex - 1 = 0.
c) En posant X = ex, montrer que l'équation f′(x) = 0 admet pour unique solution réelle le nombre .
▶ 4. On donne ci-dessous le tableau de signes de la fonction dérivée f′ de f :
a) Dresser le tableau de variations de la fonction f.
b) Démontrer que l'équation f(x) = 0 admet une unique solution strictement positive que l'on notera α.
▶ 5. On considère l'algorithme suivant où les variables a, b et m sont des nombres réels :
a) Avant l'exécution de cet algorithme, les variables a et b contiennent respectivement les valeurs 2 et 3.
Que contiennent-elles à la fin de l'exécution de l'algorithme ?
On justifiera la réponse en reproduisant et en complétant le tableau ci-dessous avec les différentes valeurs prises par les variables, à chaque étape de l'algorithme.
b) Comment peut-on utiliser les valeurs obtenues en fin d'algorithme à la question précédente ?
▶ 6. La Gateway Arch, édifiée dans la ville de Saint-Louis aux États-Unis, a l'allure ci-dessous.
Son profil peut être approché par un arc de chaînette renversé dont la largeur est égale à la hauteur.
La largeur de cet arc, exprimée en mètres, est égale au double de la solution strictement positive de l'équation :
Donner un encadrement de la hauteur de la Gateway Arch.
Les clés du sujet
▶ 3. b) Multipliez chaque membre de l'égalité par . Concluez à l'aide de certaines propriétés de la fonction exponentielle.
c) Résolvez l'équation du second degré induite par le changement de variable puis revenez ensuite à l'équation initiale. À chaque étape, soyez attentif au signe des solutions avant de passer à l'étape suivante.
▶ 6. Justifiez que l'équation admet une unique solution strictement positive à l'aide de la question 4. b). Puis, proposez-en un encadrement au dixième en utilisant la question 5. Enfin, concluez en rappelant le lien entre la largeur de l'arc étudié, sa hauteur et la solution strictement positive de .
▶ 1. Mettre un problème en équation
La largeur de l'arc de chaînette est égale au double de l'abscisse du point M, soit 2x. La hauteur de cet arc est égale à l'ordonnée du point M, soit . Par suite, la largeur de l'arc de chaînette est égale à sa hauteur si et seulement si :
.
L'abscisse x du point M étant strictement positive, le problème étudié se ramène ainsi à la recherche des solutions strictement positives de l'équation (E) : ex + e–x – 4x – 2 = 0.
▶ 2. a) Vérifier une égalité
Pour tout x > 0, on a :
f(x) = ex + e–x – 4x – 2
b) Déterminer une limite
Par croissances comparées, on a . Par différence et par produit, il vient : .
Comme et que , il vient, par composée, et par différence .
On en conclut, par somme, que .
▶ 3. a) Dériver une fonction
rappel
Si w est dérivable sur I, alors ew est dérivable sur I et (ew)′ = w′ × ew.
Pour tout x appartenant à l'intervalle , on a : .
b) Démontrer une équivalence
rappel
e0 = 1 et pour tous réels a et b, ea × eb = ea+b.
On a :
c) Résoudre une équation
En posant X = ex on se ramène à l'équation du second degré suivante : X2 – 4X – 1 = 0. Quelle que soit la valeur de x, ex est positif et, par suite, X doit l'être également. Cette équation est alors à résoudre dans ]0 ; +∞[. Son discriminant ∆ vaut : (– 4)2 – 4 × 1 × (– 1) = 20. Comme ∆ est strictement positif, l'équation admet deux solutions réelles : et .
Comme et que , l'équation admet une unique solution dans ]0 ; +∞[ qui est .
Pour déterminer les éventuelles solutions de l'équation dans l'intervalle , on doit ainsi résoudre .
rappel
Pour tous réels a et b strictement positifs : .
Or, on a :
Comme , alors .
L'équation admet donc pour unique solution réelle le nombre .
▶ 4. a) Dresser un tableau de variations
Pour tout réel x de l'intervalle , on a . La fonction f est alors strictement décroissante sur l'intervalle .
Pour tout réel x de l'intervalle , on a . La fonction f est alors strictement croissante sur l'intervalle .
rappel
Pour tout réel a strictement positif, .
On a : et
attention !
En rappelant que (question 2. b)), le tableau de variations de la fonction est ainsi :
b) Justifier l'unicité de la solution d'une équation
Comme la fonction f est strictement décroissante sur l'intervalle et que , la fonction f est négative sur cet intervalle et s'annule en zéro. L'équation n'admet donc pas de solution strictement positive sur cet intervalle.
Sur l'intervalle , la fonction f est continue et strictement croissante. De plus, comme et que , . Par suite, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation admet une unique solution strictement positive sur l'intervalle .
L'équation admet ainsi une unique solution strictement positive que l'on notera
▶ 5. a) Dérouler un algorithme
On remarque que la condition dans l'instruction conditionnelle Si est « ». De ce fait, si une exécution de cette instruction doit avoir lieu, il faut calculer l'image de m par f (une valeur approchée à l'aide de la calculatrice) et identifier son signe.
1re étape. La condition de la boucle « Tant que » étant vérifiée , m prend la valeur (comme indiqué dans le tableau). Comme , alors b prend la valeur 2,5.
2e étape. La condition de la boucle « Tant que » étant vérifiée , m prend la valeur . Comme , alors a prend la valeur 2,25.
3e étape. La condition de la boucle « Tant que » étant vérifiée , m prend la valeur . Comme , alors a prend la valeur 2,375.
4e étape. La condition de la boucle « Tant que » étant vérifiée , m prend la valeur . Comme , alors a prend la valeur 2,4375.
5e étape. Comme b - a = 0,0625 ≤ 0,1 alors la condition de la boucle « Tant que » n'est plus vérifiée. L'algorithme s'arrête.
Ces différentes étapes sont résumées dans le tableau suivant :
À la fin de l'exécution de cet algorithme, les variables et contiennent respectivement les valeurs et .
b) Interpréter des valeurs obtenues en fin d'algorithme
Les valeurs obtenues à la question précédente permettent d'obtenir un encadrement de l'unique solution strictement positive α de l'équation encadrement dont l'amplitude n'excède pas 0,1. Autrement dit, on a : .
> 6. Donner un encadrement d'une hauteur
En posant x , on se ramène à l'équation à résoudre dans Or, d'après la question 4. b), cette équation admet une unique solution strictement positive α. Il en découle que l'équation admet une unique solution tα égale à 39α et qui, par conséquent, est strictement positive. D'après la question 5. b), on a :
2,4375 α α
⇔ 95,0625 tα
Or, d'après l'énoncé, la hauteur de l'arc étudié est égale à sa largeur qui est le double de tα. On en conclut que la hauteur de la Gateway Arch est comprise entre 190,125 mètres et 195 mètres.