Intervalles de fluctuation et de confiance

ENS. SPÉCIFIQUE

matT_1709_07_01C

France métropolitaine • Septembre 2017

Exercice 3 • 5 points • ⏱ 1 h

Attention au cholestérol

Les thèmes clés

Loi normale • Arbre pondéré • Fluctuation et estimation

Tous les résultats demandés seront arrondis au millième.

▶ 1. Une étude effectuée sur une population d'hommes âgés de 35 à 40 ans a montré que le taux de cholestérol total dans le sang, exprimé en grammes par litre, peut être modélisé par une variable aléatoire T qui suit une loi normale d'espérance µ = 1,84 et d'écart type σ = 0,4.

a) Déterminer selon cette modélisation la probabilité qu'un sujet tiré au hasard dans cette population ait un taux de cholestérol compris entre 1,04 g/L et 2,64 g/L.

b) Déterminer selon cette modélisation la probabilité qu'un sujet tiré au hasard dans cette population ait un taux de cholestérol supérieur à 1,2 g/L.

▶ 2. Afin de tester l'efficacité d'un médicament contre le cholestérol, des patients nécessitant d'être traités ont accepté de participer à un essai clinique organisé par un laboratoire.

Dans cet essai, 60 % des patients ont pris le médicament pendant un mois, les autres ayant pris un placebo (comprimé neutre).

On étudie la baisse du taux de cholestérol après l'expérimentation.

On constate une baisse de ce taux chez 80 % des patients ayant pris le médicament.

On ne constate aucune baisse pour 90 % des personnes ayant pris le placebo.

On choisit au hasard un patient ayant participé à l'expérimentation et on note :

M l'événement « le patient a pris le médicament »

B l'événement « le taux de cholestérol a baissé chez le patient ».

a) Traduire les données de l'énoncé à l'aide d'un arbre pondéré.

b) Calculer la probabilité de l'événement B.

c) Calculer la probabilité qu'un patient ait pris le médicament sachant que son taux de cholestérol a baissé.

▶ 3. Le laboratoire qui produit ce médicament annonce que 30 % des patients qui l'utilisent présentent des effets secondaires.

Afin de tester cette hypothèse, un cardiologue sélectionne de manière aléatoire 100 patients traités avec ce médicament.

a) Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la proportion de patients suivant ce traitement et présentant des effets secondaires.

b) L'étude réalisée auprès des 100 patients a dénombré 37 personnes présentant des effets secondaires.

Que peut-on en conclure ?

c) Pour estimer la proportion d'utilisateurs de ce médicament présentant des effets secondaires, un organisme indépendant réalise une étude basée sur un intervalle de confiance au niveau de confiance 0,95.

Cette étude aboutit à une fréquence observée de 37 % de patients présentant des effets secondaires, et à un intervalle de confiance qui ne contient pas la fréquence 30 %.

Quel est l'effectif minimal de l'échantillon de cette étude ?

Les clés du sujet

▶ 1. a) Pensez à une des trois propriétés fondamentales associées à une loi normale.

▶ 2. c) Remarquez que la probabilité à déterminer est une probabilité conditionnelle.

▶ 3. b) Précisez la fréquence de patients présentant des effets secondaires dans l'échantillon. Confirmez ou infirmez l'appartenance de cette fréquence à l'intervalle de fluctuation asymptotique déterminé à la question précédente. Concluez.

c) Traduisez la condition imposée sur l'amplitude de l'intervalle de confiance à l'aide d'une inéquation dont l'inconnue est $n,$ $n$ désignant le nombre de patients interrogés.

Corrigé

▶ 1. a) Préciser une probabilité dans le cadre d'une loi normale E40e

Selon cette modélisation, la probabilité qu'un sujet tiré au hasard dans cette population ait un taux de cholestérol compris entre 1,04 g/L et 2,64 g/L se traduit alors à l'aide de la variable aléatoire T par $P (1,04 \leq T \leq 2,64) .$ Or, nous constatons que :

rappel

$X \sim$ $N$ $(μ σ^{2}) .$

$P (μ - σ \leq X \leq μ + σ) \approx 0,682$

$P (μ - 2 σ \leq X \leq μ + 2 σ) \approx 0,954$

$P (μ - 3 σ \leq X \leq μ + 3 σ) \approx 0,997$

$\begin{array}{l} P (1,04 \leq T \leq 2,64) = P (1,84 - 2 \times 0,4 \leq T \leq 1,84 + 2 \times 0,4) \\ = P (μ - 2 \times σ \leq T \leq μ + 2 \times σ) \\ \approx 0,954 . \end{array}$

La probabilité qu'un sujet tiré au hasard dans cette population ait un taux de cholestérol compris entre 1,04 g/L et 2,64 g/L est environ 0,954.

b) Calculer une probabilité dans le cadre d'une loi normale E40a • E40e • C3

Selon cette modélisation, la probabilité qu'un sujet tiré au hasard dans cette population ait un taux de cholestérol supérieur à 1,2 g/L se traduit alors à l'aide de la variable aléatoire T par $P (T > 1,2) .$ Comme T suit la loi normale d'espérance 1,84 et que, dans un repère orthogonal du plan, la courbe représentative de la densité associée à cette loi normale est symétrique par rapport à la droite d'équation $x = 1,84$ nous avons :

$\begin{array}{l} P (T > 1,2) = P (1,2 \leq T \leq 1,84) + P (1,84 \leq T) \\ = P (1,2 \leq T \leq 1,84) + 0,5 . \end{array}$

Or, à l'aide de la calculatrice,

rappel

Calcul de $P (a \leq X \leq b)$

avec $X \sim$ $N$ $(μ σ^{2}) .$

Syntaxe pour la TI 83 + :

NormalFrép $(a, b, μ, σ) .$

Syntaxe pour la Casio Graph 75 :

NormCD $(a, b, σ, μ) .$

TI 83 +	Casio Graph 75

Ainsi, la probabilité qu'un sujet tiré au hasard dans cette population ait un taux de cholestérol supérieur à 1,2 g/L est environ 0,945.

▶ 2. a) Traduire une situation à l'aide d'un arbre pondéré E37

à noter

L'événement contraire de l'événement M est $\bar{M}$ : « le patient a pris un placebo ».

L'événement contraire de l'événement B est $\bar{B}$ : « le taux de cholestérol n'a pas baissé chez le patient ».

« 60 % des patients ont pris le médicament pendant un mois » se traduit par $P (M) = 0,6 .$

Par suite, $P (\bar{M}) = 1 - P (M) = 1 - 0,6 = 0,4 .$

« On constate une baisse du taux de cholestérol chez 80 % des patients ayant pris le médicament » se traduit par $P_{M} (B) = 0,8 .$ Ainsi, $P_{M} (\bar{B}) = 1 - P_{M} (B) = 1 - 0,8 = 0,2 .$

« On ne constate aucune baisse pour 90 % des personnes ayant pris le placebo » se traduit par : $P_{\bar{M}} (\bar{B}) = 0,9 .$

Ainsi, $P_{\bar{M}} (B) = 1 - P_{\bar{M}} (\bar{B}) = 1 - 0,9 = 0,1 .$

La situation peut alors se résumer à l'aide de l'arbre pondéré suivant :

matT_1709_07_01C_03

b) Calculer une probabilité à l'aide d'un arbre E37

Par la formule des probabilités totales, nous avons :

$\begin{array}{l} P (B) = P (M \cap B) + P (\bar{M} \cap B) \\ = P (M) \times P_{M} (B) + P (\bar{M}) \times P_{\bar{M}} (B) \\ = 0,6 \times 0,8 + 0,4 \times 0,1 \\ = 0,52 . \end{array}$

La probabilité de l'événement $B$ est 0,52.

c) Calculer une probabilité conditionnelle E35 • E37

La probabilité demandée est la probabilité conditionnelle : $P_{B} (M) .$ Par définition, nous avons : $P_{B} (M) = \frac{P (M \cap B)}{P (B)} = \frac{0,6 \times 0,8}{0,52} = \frac{48}{52} = \frac{12}{13} \approx 0,923 .$

La probabilité qu'un patient ait pris le médicament sachant que son taux de cholestérol a baissé est environ $0,923 .$

▶ 3. a) Déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique E43

Le caractère étudié est « la présence d'effets secondaires produits par le médicament ». Le laboratoire annonce que 30 % des patients qui utilisent ce médicament présentent des effets secondaires : la proportion $p$ du caractère dans la population est donc supposée être égale à 0,30 : $p = 0,30 .$

Le cardiologue a sélectionné aléatoirement 100 patients traités avec ce médicament : la taille de l'échantillon considéré est ainsi $n = 100 .$

Comme $n = 100 \geq 30,$ $n \times p = 100 \times 0,30 = 30 \geq 5$ et $n \times (1 - p) = 100 \times 0,70 = 70 \geq 5$ , l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la proportion de patients suivant ce traitement et présentant des effets secondaires est ainsi défini et donné par :

$\begin{array}{l} I = [p - 1,96 \sqrt{\frac{p \times (1 - p)}{n}} p + 1,96 \sqrt{\frac{p \times (1 - p)}{n}}] \\ = [0,30 - 1,96 \sqrt{\frac{0,30 \times 0,70}{100}} 0,30 + 1,96 \sqrt{\frac{0,30 \times 0,70}{100}}] \\ \approx [0,210 0,390] . \end{array}$

L'intervalle de fluctuation asymptotique demandé est donc $I \approx [0,21 0,39]$ .

b) Prendre une décision E43

La fréquence $f$ de patients présentant des effets secondaires dans l'échantillon considéré est : $f = \frac{37}{100} = 0,37 .$ Comme cette fréquence $f$ appartient à l'intervalle de fluctuation asymptotique I déterminé à la question précédente $(0,21 f=0,370,39)$ , on peut dire que l'échantillon étudié ne remet pas en cause la proportion $p$ de patients présentant des effets secondaires dans la population qui est supposée être égale à 30 %.

c) Déterminer la taille d'un échantillon sous contrainte E44

Notons $n$ le nombre de patients interrogés par l'organisme indépendant. D'après l'étude menée par cet organisme, 37 % des patients interrogés présentent des effets secondaires : la fréquence observée est donc $f = 0,37 .$ De plus, comme cette étude est basée sur un intervalle de confiance au niveau de confiance 0,95, les conditions sur $n$ et $f$ sont supposées implicitement vérifiées et l'intervalle de confiance bien défini par :

$[f - \frac{1}{\sqrt{n}} f + \frac{1}{\sqrt{n}}] = [0,37 - \frac{1}{\sqrt{n}} 0,37 + \frac{1}{\sqrt{n}}] .$

La contrainte « l'intervalle de confiance ne contient pas la fréquence de 30 % » se traduit alors par l'inéquation suivante : $0,30 0,37-\frac{1}{\sqrt{n}},$ , la fréquence 0,30 ne pouvant pas être strictement supérieure à $0,37 + \frac{1}{\sqrt{n}} .$

Or, par équivalence, nous avons :

$\begin{array}{l} 0,30 0,37-\frac{1}{\sqrt{n}}\Leftrightarrow\frac{1}{\sqrt{n}}0,07 \\ \Leftrightarrow \frac{1}{n} {0,07}^{2}\Leftrightarrown>\frac{1}{{0,07}^{2}} \\ \Leftrightarrow n > \frac{1}{0,0049} \underset{n est un entier}{\Leftrightarrow} n \geq 205 . \end{array}$

L'effectif minimal de l'échantillon de cette étude est donc 205.

Attention au cholestérol

▶ 1. a) Préciser une probabilité dans le cadre d'une loi normale E40e

b) Calculer une probabilité dans le cadre d'une loi normale E40a • E40e • C3

▶ 2. a) Traduire une situation à l'aide d'un arbre pondéré E37

b) Calculer une probabilité à l'aide d'un arbre E37

c) Calculer une probabilité conditionnelle E35 • E37

▶ 3. a) Déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique E43

b) Prendre une décision E43

c) Déterminer la taille d'un échantillon sous contrainte E44

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