Géométrie dans l'espace
matT_1506_13_04C
Ens. spécifique
24
Polynésie française • Juin 2015
Exercice 1 • 3 points
Attention, ça va couper !
On considère le pavé droit ABCDEFGH ci-dessous, pour lequel AB = 6, AD = 4 et AE = 2.
I, J et K sont les points tels que 
, 
et 
.
On se place dans le repère orthonormé 
.
▶ 1. Vérifier que le vecteur 
de coordonnées 
est normal au plan (IJG).
▶ 2. Déterminer une équation du plan (IJG).
▶ 3. Déterminer les coordonnées du point d'intersection L du plan (IJG) et de la droite (BF).
▶ 4. Tracer la section du pavé ABCDEFGH par le plan (IJG). Ce tracé sera réalisé sur la figure ci-dessous. On ne demande pas de justification.
Les clés du sujet
Durée conseillée : 50 minutes.
Les thèmes clés
Géométrie dans l'espace.
Les outils dont vous avez besoin
Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d'ouvrage.
Propriétés et formules
Vecteur normal à un plan E33 → 1.
Produit scalaire E31c • E32 → 3.
Équation cartésienne d'un plan E33c → 2. et 3.
Représentation paramétrique d'une droite E30 → 3.
Positions relatives E24a • E24c → 3. et 4.
Décomposition d'un vecteur et repérage E29 → 1. et 3.
Nos coups de pouce
▶ 3. Déterminez les coordonnées des points B et F dans le repère proposé pour en déduire une représentation paramétrique de la droite (BF). Résolvez enfin un système d'équations pour déterminer les coordonnées du point L.
Corrigé
▶ 1. Démontrer qu'un vecteur est normal à un plan
Nous avons, dans le repère 
:
donc I a pour coordonnées (1 0 0).
donc J a pour coordonnées (0 1 0).
donc G a pour coordonnées (6 4 2).
Ensuite :
et 
.
Les coordonnées des vecteurs 
et 
n'étant pas proportionnelles, les vecteurs 
et 
ne sont pas colinéaires.
Enfin :
et 
est orthogonal à 
.
et 
est orthogonal à 
.
Le vecteur 
est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (IJG) donc le vecteur 
est normal au plan (IJG).
▶ 2. Déterminer une équation cartésienne d'un plan
est un vecteur normal au plan (IJG) donc une équation cartésienne de (IJG) est 
où 
est un réel à déterminer.
Or 
appartient au plan (IJG) donc :
.
Une équation cartésienne du plan (IJG) est donc 
.
▶ 3. Déterminer les coordonnées d'un point d'intersection
Déterminons tout d'abord les coordonnées des points B et F.
Nous avons, dans le repère 
:
donc B a pour coordonnées (6 0 0).
donc F a pour coordonnées (6 0 2).
Déterminons ensuite une représentation paramétrique de la droite (BF).
Nous avons 
donc une représentation paramétrique de la droite (BF) est donnée par :
ce qui nous donne 
.
Une représentation paramétrique de la droite (BF) est donc :
.
Nous avons 
, 
et 
.
Par conséquent, les vecteurs 
et 
ne sont pas orthogonaux la droite (BF) et le plan (IJG) ne sont donc pas parallèles et par suite sont sécants en le point L.
Déterminons maintenant les coordonnées du point L, intersection du plan (IJG) et de la droite (BF).
Le point L a donc pour coordonnées 
.
▶ 4. Construire la section d'un pavé par un plan
Expliquons la construction de la section du pavé ABCDEFGH par le plan (IJG).
Notez bien
L'intersection de deux plans sécants est une droite.
donc la droite (IJ) est l'intersection des plans (IJG) et (ABC).
Notez bien
Dans un plan, si deux droites sont parallèles, toute sécante à l'une est sécante à l'autre.
Dans le plan (ABC), (IJ) coupe (AD) en J et les droites (AD) et (BC) sont parallèles donc les droites (IJ) et (BC) sont sécantes en un point que nous appellerons M.
Nous avons :
.
Ensuite, 
donc la droite (GM) est l'intersection des plans (IJG) et (BFG). Or 
donc 
: L est l'intersection de la droite (GM) et du segment [BF].
donc la droite (IL) est l'intersection des plans (IJG) et (ABF).
Les plans (ADE) et (BFG) sont parallèles. Le plan (IJG) coupe le plan (BFG) suivant la droite (GL).
Notez bien
Si deux plans sont parallèles, tout plan qui coupe l'un coupe l'autre et les droites d'intersection sont parallèles.
Par conséquent, le plan (IJG) coupe le plan (ADE) suivant une droite qui est parallèle à la droite (GL). Cette droite passe par J car J appartient aux plans (ADE) et (IJG). L'intersection du plan (IJG) et du plan (ADE) est donc la parallèle à la droite (GL) passant par J.
Cette droite coupe le segment [DH] en un point que nous noterons N.
donc la droite (NG) est l'intersection des plans (IJG) et (DCH).
En conclusion, la section du pavé ABCDEFGH par le plan (IJG) est le pentagone IJNGL.