Attention, ça va couper !

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Vecteurs dans l'espace et produit scalaire
Type : Exercice | Année : 2015 | Académie : Polynésie française


Polynésie française • Juin 2015

Exercice 1 • 3 points

Attention, ça va couper !

On considère le pavé droit ABCDEFGH ci-dessous, pour lequel AB = 6, AD = 4 et AE = 2.

I, J et K sont les points tels que 2045389-Eqn1, 2045389-Eqn2 et 2045389-Eqn3.

matT_1506_13_00C_01

On se place dans le repère orthonormé 2045389-Eqn4.

1. Vérifier que le vecteur 2045389-Eqn5 de coordonnées 2045389-Eqn6 est normal au plan (IJG).

2. Déterminer une équation du plan (IJG).

3. Déterminer les coordonnées du point d’intersection L du plan (IJG) et de la droite (BF).

4. Tracer la section du pavé ABCDEFGH par le plan (IJG). Ce tracé sera réalisé sur la figure ci-dessous. On ne demande pas de justification.

matT_1506_13_00C_02

Les clés du sujet

Durée conseillée : 50 minutes.

Les thèmes clés

Géométrie dans l’espace.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

Vecteur normal à un plan  E33 1.

Produit scalaire  E31c • E32 3.

Équation cartésienne d’un plan  E33c 2. et 3.

Représentation paramétrique d’une droite  E30 3.

Positions relatives  E24a • E24c 3. et 4.

Décomposition d’un vecteur et repérage  E29 1. et 3.

Nos coups de pouce

3. Déterminez les coordonnées des points B et F dans le repère proposé pour en déduire une représentation paramétrique de la droite (BF). Résolvez enfin un système d’équations pour déterminer les coordonnées du point L.

Corrigé

Corrigé

1. Démontrer qu’un vecteur est normal à un plan

Nous avons, dans le repère 2045389-Eqn34 :

2045389-Eqn35 donc I a pour coordonnées (1 ; 0 ; 0).

2045389-Eqn36 donc J a pour coordonnées (0 ; 1 ; 0).

2045389-Eqn37 donc G a pour coordonnées (6 ; 4 ; 2).

Ensuite :

2045389-Eqn38 et 2045389-Eqn39.

Les coordonnées des vecteurs 2045389-Eqn40 et 2045389-Eqn41 n’étant pas proportionnelles, les vecteurs 2045389-Eqn42 et 2045389-Eqn43 ne sont pas colinéaires.

Enfin :

2045389-Eqn44 et 2045389-Eqn45 est orthogonal à 2045389-Eqn46.

2045389-Eqn47 et 2045389-Eqn48 est orthogonal à 2045389-Eqn49.

Le vecteur 2045389-Eqn50 est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (IJG) donc le vecteur 2045389-Eqn51est normal au plan (IJG).

2. Déterminer une équation cartésienne d’un plan

2045389-Eqn52 est un vecteur normal au plan (IJG) donc une équation cartésienne de (IJG) est 2045389-Eqn532045389-Eqn54 est un réel à déterminer.

Or 2045389-Eqn55 appartient au plan (IJG) donc :

2045389-Eqn56.

Une équation cartésienne du plan (IJG) est donc 2045389-Eqn57.

3. Déterminer les coordonnées d’un point d’intersection

Déterminons tout d’abord les coordonnées des points B et F.

Nous avons, dans le repère 2045389-Eqn58 :

2045389-Eqn59 donc B a pour coordonnées (6 ; 0 ; 0).

2045389-Eqn60 donc F a pour coordonnées (6 ; 0 ; 2).

Déterminons ensuite une représentation paramétrique de la droite (BF).

Nous avons 2045389-Eqn61 donc une représentation paramétrique de la droite (BF) est donnée par :

2045389-Eqn62 ce qui nous donne 2045389-Eqn63.

Une représentation paramétrique de la droite (BF) est donc :

2045389-Eqn64.

Nous avons 2045389-Eqn65, 2045389-Eqn66 et 2045389-Eqn67.

Par conséquent, les vecteurs 2045389-Eqn68 et 2045389-Eqn69 ne sont pas orthogonaux ; la droite (BF) et le plan (IJG) ne sont donc pas parallèles et par suite sont sécants en le point L.

Déterminons maintenant les coordonnées du point L, intersection du plan (IJG) et de la droite (BF).

2045389-Eqn70

Le point L a donc pour coordonnées 2045389-Eqn71.

4. Construire la section d’un pavé par un plan

matT_1506_13_00C_06

Expliquons la construction de la section du pavé ABCDEFGH par le plan (IJG).

Notez bien

L’intersection de deux plans sécants est une droite.

2045389-Eqn72 donc la droite (IJ) est l’intersection des plans (IJG) et (ABC).

Notez bien

Dans un plan, si deux droites sont parallèles, toute sécante à l’une est sécante à l’autre.

Dans le plan (ABC), (IJ) coupe (AD) en J et les droites (AD) et (BC) sont parallèles donc les droites (IJ) et (BC) sont sécantes en un point que nous appellerons M.

Nous avons :

2045389-Eqn73.

Ensuite, 2045389-Eqn74 donc la droite (GM) est l’intersection des plans (IJG) et (BFG). Or 2045389-Eqn75 donc 2045389-Eqn76 : L est l’intersection de la droite (GM) et du segment [BF].

2045389-Eqn77 donc la droite (IL) est l’intersection des plans (IJG) et (ABF).

Les plans (ADE) et (BFG) sont parallèles. Le plan (IJG) coupe le plan (BFG) suivant la droite (GL).

Notez bien

Si deux plans sont parallèles, tout plan qui coupe l’un coupe l’autre et les droites d’intersection sont parallèles.

Par conséquent, le plan (IJG) coupe le plan (ADE) suivant une droite qui est parallèle à la droite (GL). Cette droite passe par J car J appartient aux plans (ADE) et (IJG). L’intersection du plan (IJG) et du plan (ADE) est donc la parallèle à la droite (GL) passant par J.

Cette droite coupe le segment [DH] en un point que nous noterons N.

2045389-Eqn78 donc la droite (NG) est l’intersection des plans (IJG) et (DCH).

En conclusion, la section du pavé ABCDEFGH par le plan (IJG) est le pentagone IJNGL.