S’entraîner
Utiliser la géométrie plane pour démontrer
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France métropolitaine • Juin 2021
Au Futuroscope
Exercice 2
Le Futuroscope est un parc de loisirs situé dans la Vienne. L’année 2019 a enregistré 1,9 million de visiteurs.
▶ 1. Combien aurait-il fallu de visiteurs en plus en 2019 pour atteindre 2 millions de visiteurs ?
▶ 2. L’affirmation « Il y a eu environ 5 200 visiteurs par jour en 2019 » est-elle vraie ? Justifier la réponse.
▶ 3. Un professeur organise une sortie pédagogique au Futuroscope pour ses élèves de troisième. Il veut répartir les 126 garçons et les 90 filles par groupes. Il souhaite que chaque groupe comporte le même nombre de filles et le même nombre de garçons.
a) Décomposer en produit de facteurs premiers les nombres 126 et 90.
b) Trouver tous les entiers qui divisent à la fois les nombres 126 et 90.
c) En déduire le plus grand nombre de groupes que le professeur pourra constituer. Combien de filles et de garçons y aura-t-il alors dans chaque groupe ?
▶ 4. Deux élèves de troisième, Marie et Adrien, se souviennent avoir vu en mathématiques que les hauteurs inaccessibles pouvaient être déterminées avec l’ombre. Ils souhaitent calculer la hauteur de la Gyrotour du Futuroscope.
Marie se place comme indiquée sur la figure ci-après, de telle sorte que son ombre coïncide avec celle de la tour. Après avoir effectué plusieurs mesures, Adrien dessine le schéma ci-dessous (le schéma n’est pas à l’échelle), sur lequel les points A, E et B ainsi que les points A, D et C sont alignés.
Calculer la hauteur BC de la Gyrotour.
Les clés du sujet
L’intérêt du sujet
Tu vas découvrir quelques renseignements sur le Futuroscope et travailler le théorème de Thalès et l’arithmétique.
Nos coups de pouce, question par question
▶ 1. 2 – 1,9 = 0,1
Il aurait fallu 0,1 million de visiteurs en plus, soit 100 000 visiteurs.
▶ 2.
Il y a donc bien eu environ 5 200 visiteurs par jour en 2019. L’affirmation est vraie.
remarque
2019 n’est pas une année bissextile ; elle contient donc 365 jours.
▶ 3. a) 126 = 2 × 63 = 2 × 3 × 21 = 2 × 3 × 3 × 7
90 = 2 × 45 = 2 × 3 × 15 = 2 × 3 × 3 × 5
b) Les diviseurs communs à 126 et 90 sont des facteurs communs aux décompositions faites précédemment. Il y a donc :
1 ; 2 ; 3 ; 2 × 3 = 6 ; 3 × 3 = 9 et 2 × 3 × 3 = 18.
c) Le plus grand nombre de groupes que pourra faire le professeur est 18.
Il y aura alors, dans chaque groupe :
126 ÷ 18 = 7 garçons ;
90 ÷ 18 = 5 filles.
▶ 4. Les droites (DC) et (EB) sont sécantes en A.
Puisque (ED) et (BC) sont toutes deux perpendiculaires à la même droite (AC), alors (ED) et (BC) sont parallèles.
Donc d’après le théorème de Thalès, on a :
.
En remplaçant les longueurs connues, on obtient :
.
Donc : BC = = 45.
La Gyrotour mesure 45 m de hauteur.