Partie A • Un cas particulier

▶ 1. Dénombrer et comparer des combinaisons

On a $\left(\begin{array}{l}6\\ 3\end{array}\right)=\frac{\text{6 }\times \text{ 5 }\times \text{ 4}}{\text{3 }\times \text{ 2 }\times \text{ 1}}$, donc $\left(\begin{array}{l}6\\ 3\end{array}\right)=20$.

D’autre part : $\left(\begin{array}{l}2\\ 2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}3\\ 2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}4\\ 2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}5\\ 2\end{array}\right)=1+3+\frac{\text{4 }\times \text{ 3}}{2}+\frac{\text{5 }\times \text{ 4}}{2}$.

Donc : $\left(\begin{array}{l}2\\ 2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}3\\ 2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}4\\ 2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}5\\ 2\end{array}\right)=20$.

On remarque que $\left(\begin{array}{l}6\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}2\\ 2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}3\\ 2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}4\\ 2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}5\\ 2\end{array}\right)$.

▶ 2. a) Distinguer des combinaisons particulières

Les combinaisons de trois éléments de E, qui contiennent a sont formées par a et par deux des cinq éléments de E distincts de a : il y en a $\left(\begin{array}{l}5\\ 2\end{array}\right)=10$.

b) Procéder par étape pour déterminer des combinaisons

Les combinaisons de 3 éléments de E qui contiennent b mais pas a sont formées par b et par deux des quatre éléments de E distincts de a et de b : il y en a $\left(\begin{array}{l}4\\ 2\end{array}\right)=6$.

Les combinaisons de 3 éléments de E, qui contiennent c mais ni a ni b sont formées par c et par deux des trois éléments de E distincts de a, b et c : il y en a $\left(\begin{array}{l}3\\ 2\end{array}\right)=3$.

Les combinaisons de 3 éléments de E, qui contiennent d mais ni a ni b ni c sont formées par d et par les deux éléments de E distincts de a, b, c et d : il y en a $\left(\begin{array}{l}2\\ 2\end{array}\right)=1$.

c) Déterminer des combinaisons par élimination

Une combinaison de 3 éléments de E contient forcément au moins un des quatre éléments a, b, c ou d : on a donc envisagé toutes les possibilités dans les deux questions précédentes, et il n’y a plus d’autres combinaisons possibles.

▶ 3. Utiliser le principe additif

On en déduit que le nombre des combinaisons de trois éléments de E est égal à la somme des nombres de combinaisons trouvés aux questions 2. a) et 2. b) d’où :

$\left(\begin{array}{l}6\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}2\\ 2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}3\\ 2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}4\\ 2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}5\\ 2\end{array}\right)$.

▶ 4. Itérer une relation

On a, d’après la relation de Pascal, $\left(\begin{array}{l}6\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}5\\ 2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}5\\ 3\end{array}\right)$ et $\left(\begin{array}{l}5\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}4\\ 2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}4\\ 3\end{array}\right)$. D’où $\left(\begin{array}{l}6\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}5\\ 2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}4\\ 2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}4\\ 3\end{array}\right)$.

On a de plus $\left(\begin{array}{l}4\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}3\\ 2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}3\\ 3\end{array}\right)$ et $\left(\begin{array}{l}3\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}2\\ 2\end{array}\right),$ donc $\left(\begin{array}{l}6\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}5\\ 2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}4\\ 2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}3\\ 2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}2\\ 2\end{array}\right)$.

Partie B • Relation itérée de Pascal

▶ 1. Calculer une somme

Pour m = 2 et n = 5, le membre de gauche de l’égalité (1) est :

${\displaystyle \sum }_{k=2}^5\left(\begin{array}{l}k\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}2\\ 2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}3\\ 2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}4\\ 2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}5\\ 2\end{array}\right)$

et le membre de droite est $\left(\begin{array}{l}6\\ 3\end{array}\right).$

Or, comme on l’a vu dans la partie A : ${\displaystyle \sum }_{k=2}^5\left(\begin{array}{l}k\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}6\\ 3\end{array}\right).$

L’égalité (1) est donc vraie pour $m=2$ et $n=5.$

▶ 2. Démontrer une égalité

Pour n = m, le membre de gauche de l’égalité (1) est :

${\displaystyle \sum }_{k=m}^m\left(\begin{array}{l}k\\ m\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}m\\ m\end{array}\right)$ et le membre de droite est $\left(\begin{array}{l}m+1\\ m+1\end{array}\right).$

Or $\left(\begin{array}{l}m\\ m\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}m+1\\ m+1\end{array}\right)=1$ : donc l’égalité (1) est vraie pour $n=m$.

▶ 3. Rédiger une démonstration par récurrence

Soit m un entier naturel. Démontrons par récurrence que pour tout entier naturel n tel que n ≥ m, on a :

${\displaystyle \sum }_{k=m}^n\left(\begin{array}{l}k\\ m\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}n+1\\ m+1\end{array}\right)$.

Initialisation : D’après la question précédente, l’égalité (1) est vraie pour n = m.

Hérédité : Soit n un entier naturel tel que n ≥ m pour lequel l’égalité (1) est vraie.

On a ${\displaystyle \sum }_{k=m}^{n+1}\left(\begin{array}{l}k\\ m\end{array}\right)={\displaystyle \sum }_{k=m}^n\left(\begin{array}{l}k\\ m\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}n+1\\ m\end{array}\right)$.

Donc, d’après l’hypothèse de récurrence ${\displaystyle \sum }_{k=m}^{n+1}\left(\begin{array}{l}k\\ m\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}n+1\\ m+1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}n+1\\ m\end{array}\right)$.

Et, d’après la relation de Pascal ${\displaystyle \sum }_{k=m}^{n+1}\left(\begin{array}{l}k\\ m\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}n+2\\ m+2\end{array}\right)$.

Le principe de récurrence permet de conclure que pour tout entier naturel n tel que n ≥ m, on a :

${\displaystyle \sum }_{k=m}^n\left(\begin{array}{l}k\\ m\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}n+1\\ m+1\end{array}\right)$.

Partie C • Identité de Vandermonde

▶ 1. Calculer une somme

Pour n = 2, p = 3 et q = 4 le membre de gauche de l’égalité (2) est :

${\displaystyle \sum }_{k=0}^2\left(\begin{array}{l}3\\ k\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}4\\ 2-k\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}3\\ 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}4\\ 2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}3\\ 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}4\\ 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}3\\ 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}4\\ 0\end{array}\right).$

Et le membre de droite est : $\left(\begin{array}{l}7\\ 2\end{array}\right)=\frac{7\times 6}{2}=21$.

Or, $\left(\begin{array}{l}3\\ 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}4\\ 2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}3\\ 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}4\\ 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}3\\ 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}4\\ 0\end{array}\right)=1\times 6+3\times 4+3\times 1=21$.

On a donc bien ${\displaystyle \sum }_{k=0}^2\left(\begin{array}{l}3\\ k\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}4\\ 2-k\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}7\\ 2\end{array}\right)$.

▶ 2. a) Compter un nombre d’éléments

L’ensemble C a $p+q$ éléments puisque A et B sont disjoints.

b) Dénombrer des combinaisons

Le nombre de combinaisons à n éléments d’un ensemble à p + q éléments est $\left(\begin{array}{l}p+q\\ n\end{array}\right)$.

c) Utiliser le produit de deux ensembles

Soit k un entier naturel tel que k ≤ n. Une combinaison de n éléments de C qui contient k éléments de A contient n - k éléments de B.

Il y a $\left(\begin{array}{l}p\\ k\end{array}\right)$ combinaisons de k éléments de A et $\left(\begin{array}{l}q\\ n-k\end{array}\right)$ combinaisons de n - k éléments de B, soit $\left(\begin{array}{l}p\\ k\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{l}q\\ n-k\end{array}\right)$ combinaisons de $n$ éléments de $\text{C}$ qui contiennent exactement $k$ éléments de $\text{A}$.

d) Manipuler une somme d’éléments

Les combinaisons de n éléments de C contiennent :

soit 0 élément de A, il y en a $\left(\begin{array}{l}p\\ 0\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{l}q\\ n\end{array}\right)$ ;

soit 1 élément de A, il y en a $\left(\begin{array}{l}p\\ 1\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{l}q\\ n-1\end{array}\right)$ ;

etc. jusqu’à n éléments de A, il y en a $\left(\begin{array}{l}p\\ n\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{l}q\\ 0\end{array}\right)$.

En sommant toutes ces combinaisons, on obtient donc toutes les combi­nai­sons possibles de n éléments de C.

Autrement dit, en utilisant 2. b) et 2. c), on obtient l’identité de Vandermonde (2) : ${\displaystyle \sum }_{k=0}^n\left(\begin{array}{l}p\\ k\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}q\\ n-k\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}p+q\\ n\end{array}\right)$.