Partie A

▶ 1. Construire l'intersection d'une droite et d'un plan

Dans le carré ADHE :

I est le milieu de [AD]. Les droites (AD) et (IJ) sont donc sécantes en I.

Les droites (AD) et (EH) sont parallèles.

Or, dans un plan de l'espace, si deux droites sont parallèles, alors toute droite sécante à l'une est sécante à l'autre. Des deux points précédents, nous en déduisons que les droites (EH) et (IJ), toutes deux incluses dans le plan (ADH), sont sécantes en un point que nous nommerons P. Il reste à constater que :

le point P qui appartient à la droite (IJ) appartient de fait au plan (IJK) ;

le point P appartient à la droite (EH).

Il en résulte que le point P, intersection de la droite (EH) et du plan (IJK), est en fait l'intersection des droites (IJ) et (EH).

▶ 2. Déterminer l'intersection d'une droite et d'un plan

$\text{P}\in (\text{EH})\subset (\text{EFG})\text{ et K}\in (\text{EFG})$ donc $(\text{PK})\subset (\text{EFG})$.

$\text{P}\in (\text{IJ})\subset (\text{IJK})\text{ et K}\in (\text{IJK})$ donc $(\text{PK})\subset (\text{IJK})$.

Par les deux points ci-dessus, nous déduisons que l'intersection des plans (EFG) et (IJK) est la droite (PK).

Partie B

▶ 1. a) Déterminer les coordonnées de points dans un repère

Le point I est le milieu de $[\text{AD}]$ donc $\overrightarrow{\text{AI}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\text{AD}}=0\overrightarrow{\text{AB}}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\text{AD}}+0\overrightarrow{\text{AE}}$. Le point I a donc pour coordonnées $\text{I}(\text{0 };\text{ 0,5 };\text{ 0})$.

Le point J est tel que $\overrightarrow{\text{AJ}}=\frac{3}{4}\overrightarrow{\text{AE}}=0\overrightarrow{\text{AB}}+0\overrightarrow{\text{AD}}+\frac{3}{4}\overrightarrow{\text{AE}}$. Le point J a donc pour coordonnées $\text{J}(\text{0 };\text{ 0 };\text{ 0,75})$.

Le point K est le milieu de $[\text{FG}]$ donc $\overrightarrow{\text{FK}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\text{FG}}$. Ainsi $\overrightarrow{\text{AK}}=\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{BF}}+\overrightarrow{\text{FK}}=\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{AE}}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\text{FG}}=1\overrightarrow{\text{AB}}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\text{AD}}+1\overrightarrow{\text{AE}}.$ Le point K a donc pour coordonnées $\text{K}(\text{1 };\text{ 0,5 };\text{ 1})$.

b) Déterminer les coordonnées d'un vecteur sous contraintes

Nous avons $\overrightarrow{\text{IJ}}\left|\begin{array}{l}{x}_{\text{J}}-x_{\text{I}}=0-0=0\\ y_{\text{J}}-y_{\text{I}}=0-\mathrm{0,5}=-\mathrm{0,5}\\ z_{\text{J}}-z_{\text{I}}=\mathrm{0,75}-0=\mathrm{0,75}\end{array}\right.$ et $\overrightarrow{\text{IK}}\left|\begin{array}{l}{x}_{\text{K}}-x_{\text{I}}=1-0=1\\ y_{\text{K}}-y_{\text{I}}=\mathrm{0,5}-\mathrm{0,5}=0\\ z_{\text{K}}-z_{\text{I}}=1-0=1\end{array}\right.$.

$\begin{array}{l}\overrightarrow{n}\perp \overrightarrow{\text{IJ}}\iff \overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{\text{IJ}}=0\iff 4\times 0+a\times (-\mathrm{0,5})+b\times \mathrm{0,75}=0\\ \iff -\mathrm{0,5}a+\mathrm{0,75}b=0\iff a=\mathrm{1,5}b.\end{array}$

$\overrightarrow{n}\perp \overrightarrow{\text{IK}}\iff \overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{\text{IK}}=0\iff 4\times 1+a\times 0+b\times 1=0\iff b=-\text{4 }.$

Nous déduisons des deux points précédents que b = - 4 et a = 1,5b = - 6.

Les réels a et b tels que le vecteur $\overrightarrow{n}(\text{4 }; a ; b)$ soit orthogonal aux vecteurs $\overrightarrow{\text{IJ}}$ et $\overrightarrow{\text{IK}}$ sont $a=-6$ et $b=-4$.

c) Déterminer une équation cartésienne de plan

D'après les résultats de la question 1. b), nous constatons que les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{\text{IJ}}$ et $\overrightarrow{\text{IK}}$ ne sont pas proportionnelles donc ces vecteurs ne sont pas colinéaires.

D'après la question 1. b), nous savons que le vecteur $\overrightarrow{n}(\text{4 }; -\text{6 }; -4)$ est orthogonal aux vecteurs $\overrightarrow{\text{IJ}}$ et $\overrightarrow{\text{IK}}$, deux vecteurs non colinéaires du plan (IJK). Il en découle que le vecteur $\overrightarrow{n}$ est un vecteur normal au plan (IJK).

Une équation cartésienne du plan (IJK) est donc 4x - 6y - 4z + d = 0 où d est un réel à déterminer.

Le point I appartient au plan (IJK) donc 4x_I - 6y_I - 4z_I + d = 0.

Cela donne 4 × 0 - 6 × 0,5 - 4 × 0 + d = 0 et d = 3.

Une équation cartésienne du plan (IJK) est donc $4x-6y-4z+3=0$.

▶ 2. a) Déterminer une représentation paramétrique de droite

Nous avons $\overrightarrow{\text{AC}}=\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{BC}}=\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{AD}}=1\overrightarrow{\text{AB}}+1\overrightarrow{\text{AD}}+0\overrightarrow{\text{AE}}.$

Le point C a donc pour coordonnées C(1 ; 1 ; 0).

Ensuite $\overrightarrow{\text{AG}}=\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{BC}}+\overrightarrow{\text{CG}}=\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{AD}}+\overrightarrow{\text{AE}}=1\overrightarrow{\text{AB}}+1\overrightarrow{\text{AD}}+1\overrightarrow{\text{AE}}.$

Le point G a donc pour coordonnées G(1 ; 1 ; 1).

Enfin $\overrightarrow{\text{CG}}\left|\begin{array}{l}{x}_{\text{G}}-x_{\text{C}}=1-1=0\\ y_{\text{G}}-y_{\text{C}}=1-1=0\\ z_{\text{G}}-z_{\text{C}}=1-0=1\end{array}\right.$.

Puisque le point C appartient à la droite (CG) et que le vecteur $\overrightarrow{\text{CG}}$ est un vecteur directeur de la droite (CG), nous déduisons des points précédents une représentation paramétrique de la droite (CG) :

$(\text{CG}):\left\{\begin{array}{l}x=x_{\text{C}}+x_{\overrightarrow{\text{CG}}}\times t=1+0\times t=1\\ y=y_{\text{C}}+y_{\overrightarrow{\text{CG}}}\times t=1+0\times t=1\\ z=z_{\text{C}}+z_{\overrightarrow{\text{CG}}}\times t=0+1\times t=t\end{array}\right.,t\in \text{ℝ}.$

Une représentation paramétrique de la droite (CG) est $\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=1\\ z=t\end{array}\right.,t\in \text{ℝ}$.

b) Déterminer les coordonnées d'un point d'intersection

$\begin{array}{l}\text{N}\in (\text{CG})\cap (\text{IJK})\iff \left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=1\\ z=t\\ 4x-6y-4z+3=0\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=1\\ z=t\\ 4\times 1-6\times 1-4\times t+3=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=1\\ z=\mathrm{0,25}\\ t=\mathrm{0,25}\end{array}\right..\end{array}$

Le point N a pour coordonnées (1 ; 1 ; 0,25).

c) Positionner un point et construire la section d'un cube par un plan

D'après la question 2. de la partie A, la droite (PK) est l'intersection des plans (IJK) et (EFG). Elle coupe le segment [EF] en un point que nous appellerons V.

Les plans (EFG) et (ABC) sont parallèles. Le plan (IJK) qui est sécant à (EFG) est donc sécant à (ABC) suivant une droite parallèle à (VK) passant par I $(\text{I}\in (\text{ABC}))$. Cette droite coupe le segment [CD] en un point que nous appellerons O.

La section du cube ABCDEFGH par le plan (IJK) est finalement la zone délimitée par l'hexagone IJVKNO.

Partie C

Déterminer les coordonnées de points dans un repère

Nous avons $\overrightarrow{\text{AF}}=\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{BF}}=\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{AE}}=1\overrightarrow{\text{AB}}+0\overrightarrow{\text{AD}}+1\overrightarrow{\text{AE}}.$

Le point F a donc pour coordonnées F(1 ; 0 ; 1).

Le point R est le projeté orthogonal de F sur le plan (IJK) : la droite (RF) est donc orthogonale au plan (IJK). Un vecteur directeur de (RF) n'est autre que le vecteur $\overrightarrow{n}(\text{4 }; -\text{6 }; -4)$ qui est normal au plan (IJK) d'après la question 1. b) de la partie B. Puisque F ∈(RF), nous pouvons déterminer une représentation paramétrique de la droite (RF) :

$(\text{RF}):\left\{\begin{array}{l}x=x_{\text{F}}+x_{\overrightarrow{n}}\times t=1+4\times t=1+4t\\ y=y_{\text{F}}+y_{\overrightarrow{n}}\times t=0+(-6)\times t=-6t\\ z=z_{\text{F}}+z_{\overrightarrow{n}}\times t=1+(-4)\times t=1-4t\end{array}\right.,t\in \text{ℝ}.$

Une représentation paramétrique de la droite (RF) est :

$(\text{RF}):\left\{\begin{array}{l}x=1+4t\\ y=-6t\\ z=1-4t\end{array}\right.,t\in \text{ℝ}.$

Déterminons enfin les coordonnées du point R :

$\begin{array}{l}\text{R}\in (\text{RF})\cap (\text{IJK})\iff \left\{\begin{array}{l}x=1+4t\\ y=-6t\\ z=1-4t\\ 4x-6y-4z+3=0\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=1+4t\\ y=-6t\\ z=1-4t\\ 4\times (1+4t)-6\times (-6t)-4\times (1-4t)+3=0\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=1+4t\\ y=-6t\\ z=1-4t\\ 68t=-3\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=\frac{14}{17}\\ y=\frac{9}{34}\\ z=\frac{20}{17}\\ t=-\frac{3}{68}\end{array}\right..\end{array}$

Le point R a pour coordonnées $\left(\frac{14}{17} ; \frac{9}{34} ; \frac{20}{17}\right)$. Nous constatons ainsi que la cote du point R, qui est égale à $\frac{20}{17}$, est strictement supérieure à 1. En conclusion, nous pouvons dire que le point R n'est pas à l'intérieur du cube.