Annale corrigée Exercice

Aux alentours d'un cube

Orthogonalité et distances dans l'espace

Aux alentours d'un cube

1 heure

5 points

Intérêt du sujet  Dans un cube, dessinez son intersection par un plan en utilisant des équations de plans et de droites, puis déterminez la projection d'un sommet du cube sur ce plan.

 

matT_1806_01_00C_02

La figure ci-dessous représente un cube ABCDEFGH.

Les trois points I, J et K sont définis par les conditions suivantes :

I est le milieu du segment [AD] ;

J est tel que AJ=34AE ;

K est le milieu du segment [FG].

Partie A

1. Sur la figure ci-dessus, construire sans justifier le point d'intersection P du plan (IJK) et de la droite (EH). On laissera les traits de construction sur la figure.

2. En déduire, en justifiant, l'intersection du plan (IJK) et du plan (EFG).

Partie B

On se place désormais dans le repère orthonormé (A ; AB, AD, AE).

1. a) Donner sans justification les coordonnées des points I, J et K.

b) Déterminer les réels a et b tels que le vecteur n(4 ; a ; b) soit orthogonal aux vecteurs IJ et IK.

c) En déduire qu'une équation cartésienne du plan (IJK) est : 4x - 6y - 4z + 3 = 0.

2. a) Donner une représentation paramétrique de la droite (CG).

b) Calculer les coordonnées du point N, intersection du plan (IJK) et de la droite (CG).

c) Placer le point N sur la figure et construire en couleur la section du cube par le plan (IJK).

Partie C

On note R le projeté orthogonal du point F sur le plan (IJK). Le point R est donc l'unique point du plan (IJK) tel que la droite (FR) est orthogonale au plan (IJK).

On définit l'intérieur du cube comme l'ensemble des points M(x ; y ; z) tels que 0x10y10z1.

Le point R est-il à l'intérieur du cube ?

Les clés du sujet

Partie B

2. b) Résolvez un système d'équations avec une équation cartésienne du plan (IJK) et une représentation paramétrique de la droite (CG).

Partie C

Déterminez une représentation paramétrique de la droite (FR) à l'aide du point F et du vecteur n. Déterminez ensuite les coordonnées de R en résolvant un système d'équations avec une équation cartésienne du plan (IJK) et une représentation paramétrique de la droite (FR). Concluez en examinant la cote du point R.

Partie A

1. Construire l'intersection d'une droite et d'un plan

Dans le carré ADHE :

I est le milieu de [AD]. Les droites (AD) et (IJ) sont donc sécantes en I.

Les droites (AD) et (EH) sont parallèles.

Or, dans un plan de l'espace, si deux droites sont parallèles, alors toute droite sécante à l'une est sécante à l'autre. Des deux points précédents, nous en déduisons que les droites (EH) et (IJ), toutes deux incluses dans le plan (ADH), sont sécantes en un point que nous nommerons P. Il reste à constater que :

le point P qui appartient à la droite (IJ) appartient de fait au plan (IJK) ;

le point P appartient à la droite (EH).

Il en résulte que le point P, intersection de la droite (EH) et du plan (IJK), est en fait l'intersection des droites (IJ) et (EH).

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2. Déterminer l'intersection d'une droite et d'un plan

rappel

L'intersection de deux plans sécants est une droite.

P(EH)(EFG) et K(EFG) donc (PK)(EFG).

P(IJ)(IJK) et K(IJK) donc (PK)(IJK).

Par les deux points ci-dessus, nous déduisons que l'intersection des plans (EFG) et (IJK) est la droite (PK).

Partie B

1. a) Déterminer les coordonnées de points dans un repère

Le point I est le milieu de [AD] donc AI=12AD=0AB+12AD+0AE. Le point I a donc pour coordonnées I(; 0,5 ; 0).

Le point J est tel que AJ=34AE=0AB+0AD+34AE. Le point J a donc pour coordonnées J(; 0 ; 0,75).

Le point K est le milieu de [FG] donc FK=12FG. Ainsi AK=AB+BF+FK=AB+AE+12FG=1AB+12AD+1AE. Le point K a donc pour coordonnées K(; 0,5 ; 1).

b) Déterminer les coordonnées d'un vecteur sous contraintes

Nous avons IJxJxI=00=0yJyI=00,5=0,5zJzI=0,750=0,75 et IKxKxI=10=1yKyI=0,50,5=0zKzI=10=1.

nIJnIJ=04×0+a×(0,5)+b×0,75=00,5a+0,75b=0a=1,5b.

nIKnIK=04×1+a×0+b×1=0b=.

Nous déduisons des deux points précédents que b = - 4 et a = 1,5b = - 6.

Les réels a et b tels que le vecteur n(; a ; b) soit orthogonal aux vecteurs IJ et IK sont a=6 et b=4.

c) Déterminer une équation cartésienne de plan

D'après les résultats de la question 1. b), nous constatons que les coordonnées des vecteurs IJ et IK ne sont pas proportionnelles donc ces vecteurs ne sont pas colinéaires.

D'après la question 1. b), nous savons que le vecteur n(; ; 4) est orthogonal aux vecteurs IJ et IK, deux vecteurs non colinéaires du plan (IJK). Il en découle que le vecteur n est un vecteur normal au plan (IJK).

Une équation cartésienne du plan (IJK) est donc 4x - 6y - 4zd = 0 où d est un réel à déterminer.

Le point I appartient au plan (IJK) donc 4xI - 6yI - 4zId = 0.

Cela donne 4 × 0 - 6 × 0,5 - 4 × 0 + d = 0 et d = 3.

Une équation cartésienne du plan (IJK) est donc 4x6y4z+3=0.

2. a) Déterminer une représentation paramétrique de droite

Nous avons AC=AB+BC=AB+AD=1AB+1AD+0AE.

Le point C a donc pour coordonnées C(1 ; 1 ; 0).

Ensuite AG=AB+BC+CG=AB+AD+AE=1AB+1AD+1AE.

Le point G a donc pour coordonnées G(1 ; 1 ; 1).

Enfin CGxGxC=11=0yGyC=11=0zGzC=10=1.

Puisque le point C appartient à la droite (CG) et que le vecteur CG est un vecteur directeur de la droite (CG), nous déduisons des points précédents une représentation paramétrique de la droite (CG) :

(CG):x=xC+xCG×t=1+0×t=1y=yC+yCG×t=1+0×t=1z=zC+zCG×t=0+1×t=t,t.

Une représentation paramétrique de la droite (CG) est x=1y=1z=t,t.

b) Déterminer les coordonnées d'un point d'intersection

N(CG)(IJK)x=1y=1z=t4x6y4z+3=0x=1y=1z=t4×16×14×t+3=0x=1y=1z=0,25t=0,25.

Le point N a pour coordonnées (1 ; 1 ; 0,25).

c) Positionner un point et construire la section d'un cube par un plan

D'après la question 2. de la partie A, la droite (PK) est l'intersection des plans (IJK) et (EFG). Elle coupe le segment [EF] en un point que nous appellerons V.

rappel

Si deux plans sont parallèles, tout plan sécant à l'un est sécant à l'autre et les droites d'intersection sont parallèles.

Les plans (EFG) et (ABC) sont parallèles. Le plan (IJK) qui est sécant à (EFG) est donc sécant à (ABC) suivant une droite parallèle à (VK) passant par I (I(ABC)). Cette droite coupe le segment [CD] en un point que nous appellerons O.

La section du cube ABCDEFGH par le plan (IJK) est finalement la zone délimitée par l'hexagone IJVKNO.

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Partie C

Déterminer les coordonnées de points dans un repère

Nous avons AF=AB+BF=AB+AE=1AB+0AD+1AE.

Le point F a donc pour coordonnées F(1 ; 0 ; 1).

Le point R est le projeté orthogonal de F sur le plan (IJK) : la droite (RF) est donc orthogonale au plan (IJK). Un vecteur directeur de (RF) n'est autre que le vecteur n(; ; 4) qui est normal au plan (IJK) d'après la question 1. b) de la partie B. Puisque F ∈(RF), nous pouvons déterminer une représentation paramétrique de la droite (RF) :

(RF):x=xF+xn×t=1+4×t=1+4ty=yF+yn×t=0+(6)×t=6tz=zF+zn×t=1+(4)×t=14t,t. 

Une représentation paramétrique de la droite (RF) est :

(RF):x=1+4ty=6tz=14t, t.

Déterminons enfin les coordonnées du point R :

R(RF)(IJK)x=1+4ty=6tz=14t4x6y4z+3=0x=1+4ty=6tz=14t4×(1+4t)6×(6t)4×(14t)+3=0x=1+4ty=6tz=14t68t=3x=1417y=934z=2017t=368.

Le point R a pour coordonnées 1417 ; 934 ; 2017. Nous constatons ainsi que la cote du point R, qui est égale à 2017, est strictement supérieure à 1. En conclusion, nous pouvons dire que le point R n'est pas à l'intérieur du cube.

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