Aux alentours d'un cube

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle Générale | Thème(s) : Orthogonalité et distances dans l’espace
Type : Exercice | Année : 2020 | Académie : Inédit


Orthogonalité et distances dans l’espace

Aux alentours d’un cube

1 heure

5 points

Intérêt du sujet  Dans un cube, dessinez son intersection par un plan en utilisant des équations de plans et de droites, puis déterminez la projection d’un sommet du cube sur ce plan.

 

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La figure ci-dessous représente un cube ABCDEFGH.

Les trois points I, J et K sont définis par les conditions suivantes :

I est le milieu du segment [AD] ;

J est tel que AJ=34AE ;

K est le milieu du segment [FG].

Partie A

1. Sur la figure ci-dessus, construire sans justifier le point d’intersection P du plan (IJK) et de la droite (EH). On laissera les traits de construction sur la figure.

2. En déduire, en justifiant, l’intersection du plan (IJK) et du plan (EFG).

Partie B

On se place désormais dans le repère orthonormé (A ; AB, AD, AE).

1. a) Donner sans justification les coordonnées des points I, J et K.

b) Déterminer les réels a et b tels que le vecteur n(4 ; a ; b) soit orthogonal aux vecteurs IJ et IK.

c) En déduire qu’une équation cartésienne du plan (IJK) est : 4x - 6y - 4z + 3 = 0.

2. a) Donner une représentation paramétrique de la droite (CG).

b) Calculer les coordonnées du point N, intersection du plan (IJK) et de la droite (CG).

c) Placer le point N sur la figure et construire en couleur la section du cube par le plan (IJK).

Partie C

On note R le projeté orthogonal du point F sur le plan (IJK). Le point R est donc l’unique point du plan (IJK) tel que la droite (FR) est orthogonale au plan (IJK).

On définit l’intérieur du cube comme l’ensemble des points M(x ; y ; z) tels que 0<x<10<y<10<z<1.

Le point R est-il à l’intérieur du cube ?

Les clés du sujet

Partie B

2. b) Résolvez un système d’équations avec une équation cartésienne du plan (IJK) et une représentation paramétrique de la droite (CG).

Partie C

Déterminez une représentation paramétrique de la droite (FR) à l’aide du point F et du vecteur n. Déterminez ensuite les coordonnées de R en résolvant un système d’équations avec une équation cartésienne du plan (IJK) et une représentation paramétrique de la droite (FR). Concluez en examinant la cote du point R.