Utiliser le calcul littéral
S’entraîner
15
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Amérique du Nord • Juin 2022
Avec des nombres entiers
exercice 5
On considère le programme de calcul suivant, appliqué à des nombres entiers :
Partie A
▶ 1. Vérifier que si le nombre de départ est 15, alors le nombre obtenu à l’arrivée est 240.
▶ 2. Voici un tableau de valeurs réalisé à l’aide d’un tableur :
Il donne les résultats obtenus par le programme de calcul en fonction de quelques valeurs du nombre choisi au départ. Quelle formule a pu être saisie dans la cellule B2 avant d’être étirée vers le bas ?
Aucune justification n’est attendue.
▶ 3. On note x le nombre de départ. Écrire, en fonction de x, une expression du résultat obtenu avec ce programme de calcul.
Partie B
On considère l’affirmation suivante : « Pour obtenir le résultat du programme de calcul, il suffit de multiplier le nombre de départ par le nombre entier qui suit. »
▶ 1. Vérifier que cette affirmation est vraie lorsque le nombre entier choisi au départ est 9.
▶ 2. Démontrer que cette affirmation est vraie quel que soit le nombre entier choisi au départ.
▶ 3. Démontrer que le nombre obtenu à l’arrivée par le programme est un nombre pair quel que soit le nombre entier choisi au départ.
Les clés du sujet
L’intérêt du sujet
Cet exercice sur les programmes de calcul te permet de vérifier que tu maîtrises le calcul littéral et l’utilisation d’un tableur.
Nos coups de pouce, question par question
Partie A
▶ 1. On choisit 15.
152 = 225
225 + 15 = 240
Avec 15 comme nombre de départ, on trouve 240.
▶ 2. Dans B2, on a saisi : = A2*A2 + A2 ou = A2^2 + A2.
▶ 3. Soit x le nombre de départ.
Le carré de x est x2 auquel on ajoute x, on obtient x2 + x.
Donc l’expression obtenue est x2 + x.
Partie B
▶ 1.
Donc cette affirmation est vraie lorsque le nombre de départ est 9.
remarque
Le nombre entier suivant x s’obtient en lui ajoutant 1.
▶ 2. On note x le nombre de départ.
Avec le programme initial, d’après la question 3. de la partie A, on obtient x2 + x.
Avec l’affirmation proposée, on a x(x + 1).
Or x(x + 1) = x2 + x. Donc l’affirmation est vraie quel que soit le nombre entier choisi au départ.
▶ 3. • Supposons que x soit un nombre pair.
Alors x s’écrit sous la forme x = 2k (k entier quelconque).
remarque
Pour démontrer qu’un nombre est pair, il suffit de montrer que c’est un multiple de 2.
Et x2 + x = (2k)2 + 2k = 4k2 + 2k = 2(2k2 + k).
Donc x2 + x est pair.
Supposons que x soit un nombre impair.
Alors x s’écrit sous la forme x = 2k + 1 (k entier quelconque).
attention !
N’oublie pas que (a + b)2 = a2 + 2ab + b2.
Alors :
Donc x2 + x est encore pair.
Conclusion : x2 + x est toujours pair quel que soit le nombre entier choisi au départ.