▶ 1. a) Connaître la grandeur physique exprimée en becquerels

Le becquerel est l’unité internationale d’activité radioactive.

b) Connaître la définition du becquerel

Un becquerel est une désintégration radioactive par seconde.

▶ 2. a) Établir la composition d’un noyau à partir de son écriture conventionnelle

Le noyau de radium ${}_{88}{}^{226}\text{R}\text{a}$ est constitué de Z = 88 protons et de A – Z = 226 – 88 = 138 neutrons.

b) Utiliser les lois de conservation pour écrire l’équation d’une réaction nucléaire et identifier le type de radioactivité

L’équation de la réaction de désintégration du radium 226 en radon 222 prend la forme :

${}_{88}{}^{226}\text{R}\text{a}\to {}_{86}{}^{222}\text{R}\text{n}+{}_Z{}^A\text{Q}$.

La conservation du nombre de nucléons s’écrit :

226 = 222 + A soit A = 4.

La conservation du nombre de charges s’écrit : 88 = 86 + Z soit Z = 2.

La particule ${}_Z{}^A\text{Q}$ est donc un noyau d’hélium ${}_2{}^4\text{H}\text{e}$, c’est-à-dire une particule α. Le radium 226 subit donc une désintégration radioactive α :

${}_{88}{}^{226}\text{R}\text{a}\to {}_{86}{}^{222}\text{R}\text{n}+{}_2{}^4\text{H}\text{e}$.

c) Expliquer l’origine du rayonnement γ

Lors de la désintégration α du noyau de radium 226, le noyau de radon 222 formé est dans un état excité, noté ${}_{86}{}^{222}\text{R}{\text{n}}^{\text{*}}$. Il se désexcite en émettant un photon γ selon l’équation :

${}_{86}{}^{222}\text{R}{\text{n}}^{\text{*}}$ → ${}_{86}{}^{222}\text{R}\text{n}$ + γ.

d) Utiliser l’expression donnant l’énergie d’un photon

L’énergie d’un photon constituant un rayonnement de fréquence $\text{ν}$ s’exprime par la relation$E_{\text{γ}}=h\text{ν}$. La fréquence ν d’une onde électromagnétique et sa longueur d’onde λ dans le vide sont liées par la relation $\text{ν}=\frac{\text{c}}{\text{λ}}$ avec c la célérité de la lumière dans le vide. Par conséquent l’énergie du photon s’exprime : $E_{\text{γ}}=\frac{h\text{c}}{\text{λ}}$.

Le calcul du quotient de l’énergie E_γ du photon γ par l’énergie E_visible d’un photon de lumière visible va permettre de comparer les ordres de grandeur de ces deux énergies :

$\frac{E_{\text{γ}}}{E_{visible}}=\frac{h\text{c}}{\text{λ}}\times \frac{{\text{λ}}_{visible}}{h\text{c}}$ = $\frac{{\text{λ}}_{visible}}{{\text{λ}}_{\text{γ}}}$.

Sachant que λ_γ = 6,54 × 10⁻¹² m et que la longueur d’onde d’une lumière visible est comprise entre 400 nm = 4,0 × 10⁻⁷ m et 800 nm = 8,0 × 10⁻⁷ m, on peut en conclure que :

$\frac{\mathrm{4,0}\times {10}^{-7}}{\mathrm{6,54}\times {10}^{-12}}$ < $\frac{E_{\text{γ}}}{E_{visible}}=\frac{{\text{λ}}_{visible}}{{\text{λ}}_{\text{γ}}}$ < $\frac{\mathrm{8,0}\times {10}^{-7}}{\mathrm{6,54}\times {10}^{-12}}$

soit : 6,1 × 10⁴ < $\frac{E_{\text{γ}}}{E_{visible}}$ < 1,2 × 10⁵.

L’ordre de grandeur de ce quotient est donc 10⁵. L’énergie d’un photon γ est environ 100 000 fois supérieure à celle d’un photon visible.

3. a) Déterminer le nombre d’entités dans une masse d’échantillon

La quantité de matière n de radium 226 contenue dans une masse m = 1,00 g est obtenue en divisant m par la masse molaire M du radium 226 : $n=\frac{m}{M}$.

Le nombre N de noyaux dans une masse m = 1,00 g de radium 226 est :

N = nN_A = $\frac{m}{M}{N}_{\text{A}}$ soit : N = $\frac{\mathrm{1,00}}{\mathrm{226,0}}\times \mathrm{6,02}\times {10}^{23}$ = 2,66 × 10²¹.

b) Utiliser la relation entre l’activité et le nombre de noyaux

Sachant que l’activité radioactive s’exprime : A = λ_RaN, on en déduit la valeur de la constante radioactive :

${\text{λ}}_{\text{Ra}}=\frac{A}{N}$ = $\frac{\mathrm{3,70}\times {10}^{10}}{\mathrm{2,66}\times {10}^{21}}$ = 1,39 × 10^–11 s^–1.

c) Utiliser la relation entre la demi-vie et la constante radioactive

La demi-vie se calcule à l’aide de la relation : $t_{1/2}=\frac{ln2}{{\text{λ}}_{\text{Ra}}}=\frac{ln2}{\mathrm{1,39}\times {10}^{-11}}$ soit

t_1/2 = 4,99 × 10¹⁰ s donc

$t_{1/2}=\frac{\mathrm{4,99}\times {10}^{10}}{\mathrm{365,25}\times 24\times 3600}$ = 1,58 × 10³ années.

4. a) Exploiter la définition de la demi-vie

La demi-vie calculée à la question précédente est d’environ 1 600 ans, soit 16 siècles. Elle correspond au temps nécessaire pour que l’activité radioactive soit divisée par deux. La phrase du dictionnaire est donc valide.

b) Connaître l’expression de la loi de décroissance radioactive

La loi de décroissance du nombre N(t) de noyaux de radium 226 s’exprime par la relation : $N(t)=N_0{e}^{-{\text{λ}}_{\text{Ra}}t}$.

c) Utiliser la loi de décroissance radioactive

Au bout de t = 100 ans = 100 × 365,25 × 24 × 3 600 s = 3,16 × 10⁹ s, le nombre de noyaux de radium 226 restant est :

$N(\mathrm{3,16}\times {10}^{9}s)=N_0{e}^{-\mathrm{1,39}\times {10}^{-11}\times \mathrm{3,16}\times {10}^9}$ = 0,957 N₀.

Le nombre de noyaux restants N au bout d’un siècle est 95,7 % du nombre initial N₀. L’activité étant proportionnelle au nombre de noyaux, elle vaut donc encore 95,7 % de sa valeur initiale au bout d’un siècle. On peut donc affirmer que l’activité de la crème reste pratiquement inchangée pendant toute cette durée.