Le but de cet exercice est de déterminer le bénéfice maximum réalisable pour la vente d’un produit «    » fabriqué par une entreprise. Toute l’étude porte sur un mois complet de production.

Le coût marginal de fabrication du produit «    » par l’entreprise est modélisé par la fonction définie sur l’intervalle [1  20] par  :

q étant la quantité exprimée en tonnes et son coût marginal exprimé en milliers d’euros.

>  1.  La fonction coût total est modélisée par la fonction définie sur l’intervalle [1  20] par

Vérifier que cette fonction est une primitive de la fonction sur l’intervalle [1  20]. (1 point)

>  2.  La fonction coût moyen, notée est la fonction définie sur l’intervalle [1  20] par  :

a)  Vérifier que (0,5 point)

b)  Déterminer la fonction dérivée de la fonction · (1 point)

c)  Pour quelle production mensuelle (exprimée en tonnes) l’entreprise a-t-elle un coût moyen minimal  ? Quel est ce coût  ? Pour cette production , quelle est la valeur du coût marginal  ? (1,5 point)

>  3.  On suppose que l’entreprise vend toute sa production mensuelle.

Chaque tonne du produit «    » est vendue 4  000  €.

On désigne par la recette mensuelle obtenue pour la vente de q tonnes du produit «    » et par le bénéfice mensuel en milliers d’euros ainsi réalisé.

Les représentations graphiques des fonctions «  recette  » et «  coût total  » sont données dans l’annexe à rendre avec la copie.

Estimer graphiquement, en précisant votre démarche, le bénéfice maximal que l’on peut espérer sur le mois étudié. (1 point)