Bénéfice réalisable pour la vente d’un produit

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle L - Tle ES | Thème(s) : Fonctions exponentielles
Type : Exercice | Année : 2012 | Académie : Inédit
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Bénéfice réalisable pour la vente d’un produit

Analyse • Fonctions exponentielles

Corrigé

15

Ens. spécifique

matT_1200_00_03C

Sujet inédit

Exercice • 5 points

Le but de cet exercice est de déterminer le bénéfice maximum réalisable pour la vente d’un produit «  » fabriqué par une entreprise. Toute l’étude porte sur un mois complet de production.

Le coût marginal de fabrication du produit «  » par l’entreprise est modélisé par la fonction définie sur l’intervalle [1 ; 20] par :

q étant la quantité exprimée en tonnes et son coût marginal exprimé en milliers d’euros.

>1. La fonction coût total est modélisée par la fonction définie sur l’intervalle [1 ; 20] par

Vérifier que cette fonction est une primitive de la fonction sur l’intervalle [1 ; 20]. (1 point)

>2. La fonction coût moyen, notée est la fonction définie sur l’intervalle [1 ; 20] par :

a) Vérifier que (0,5 point)

b) Déterminer la fonction dérivée de la fonction · (1 point)

c) Pour quelle production mensuelle (exprimée en tonnes) l’entreprise a-t-elle un coût moyen minimal ? Quel est ce coût ? Pour cette production , quelle est la valeur du coût marginal ? (1,5 point)

>3. On suppose que l’entreprise vend toute sa production mensuelle.

Chaque tonne du produit «  » est vendue 4 000 €.

On désigne par la recette mensuelle obtenue pour la vente de q tonnes du produit «  » et par le bénéfice mensuel en milliers d’euros ainsi réalisé.

Les représentations graphiques des fonctions « recette » et « coût total » sont données dans l’annexe à rendre avec la copie.

Estimer graphiquement, en précisant votre démarche, le bénéfice maximal que l’on peut espérer sur le mois étudié. (1 point)

Toute trace de recherche, même incomplète, d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Annexe


Durée conseillée : 45 min.

Les thèmes en jeu

Sens de variation • Fonction exponentielle • Primitives usuelles.

Les conseils du correcteur

>  1. Calculer la dérivée de la fonction .

>  3. Le bénéfice est la différence de la recette et du coût total. Il est maximal lorsque l’écart entre les deux courbes données est le plus grand.

Corrigé

>1. CT est une primitive de la fonction Cm sur l’intervalle [1 ; 20]

On vérifie que est la dérivée de la fonction sur [1 ; 20].

Attention

signifie que la production de l’entreprise est comprise entre 1 tonne et 20 tonnes.

Pour tout réel  :

.

Il en découle que la fonction est une primitive de la fonction sur l’intervalle [1 ; 20].

>2.a) Expression de CM(q)

Pour tout réel  :

b) Détermination de la fonction dérivée C′M

Pour tout réel ,

c) Production mensuelle pour un coût moyen minimal

Pour déterminer la production correspondant à un coût moyen minimal, on étudie les variations de la fonction à partir du signe de sa dérivée.

pour tout , donc est du signe de .

si et seulement si , si et seulement si .

Si , alors , donc et .

De même, si , alors et .

La fonction est donc strictement décroissante sur l’intervalle [1 ; 5], strictement croissante sur [5 ; 20].

Notez bien

On retrouve un résultat général : lorsque le coût moyen est minimal, le coût moyen est égal au coût marginal (mais cette valeur n’est pas le minimum du coût marginal).

Elle atteint son minimum en .

L’entreprise a un coût moyen minimal pour une production mensuelle de 5 tonnes. Ce coût moyen minimal est
(milliers d’euros).

Le coût marginal est alors :

>3. Estimation du bénéfice maximal

Pour tout réel , .

Puisque chaque tonne de produit est vendue 4 000 € :

(en milliers d’euros).

La fonction est linéaire, sa représentation graphique est contenue dans une droite passant par l’origine, elle est donc tracée en rouge sur le graphique.

On constate graphiquement que, pour tout , puisque la courbe représentant la recette est au-dessus de celle représentant le coût total (ce résultat peut aussi être vérifié algébriquement).

Le bénéfice maximal que l’entreprise peut espérer correspond à la valeur de pour laquelle l’écart entre les deux courbes est le plus grand.

Graphiquement, on constate que l’écart le plus important semble être obtenu pour et qu’il est approximativement égal à 14 (en milliers d’euros).


On peut interpréter ces résultats de la manière suivante : le bénéfice maximal que l’entreprise peut espérer est environ 14 000 € ; elle doit pour cela vendre environ 10 tonnes de produit.