Analyse • Fonctions exponentielles
Corrigé
15
Ens. spécifique
matT_1200_00_03C
Sujet inédit
Exercice • 5 points
Le but de cet exercice est de déterminer le bénéfice maximum réalisable pour la vente d'un produit « 
» fabriqué par une entreprise. Toute l'étude porte sur un mois complet de production.
Le coût marginal de fabrication du produit « 
» par l'entreprise est modélisé par la fonction 
définie sur l'intervalle [1 20] par :
q étant la quantité exprimée en tonnes et 
son coût marginal exprimé en milliers d'euros.
définie sur l'intervalle [1 20] par 
Vérifier que cette fonction 
est une primitive de la fonction 
sur l'intervalle [1 20]. (1 point)
est la fonction définie sur l'intervalle [1 20] par :
(0,5 point)
de la fonction 
· (1 point)
(exprimée en tonnes) l'entreprise a-t-elle un coût moyen minimal ? Quel est ce coût ? Pour cette production 
, quelle est la valeur du coût marginal ? (1,5 point)
Chaque tonne du produit « 
» est vendue 4 000 €.
On désigne par 
la recette mensuelle obtenue pour la vente de q tonnes du produit « 
» et par 
le bénéfice mensuel en milliers d'euros ainsi réalisé.
Les représentations graphiques des fonctions « recette » et « coût total » sont données dans l'annexe à rendre avec la copie.
Estimer graphiquement, en précisant votre démarche, le bénéfice maximal que l'on peut espérer sur le mois étudié. (1 point)
Annexe
Durée conseillée : 45 min.
Les thèmes en jeu
Sens de variation • Fonction exponentielle • Primitives usuelles.
Les conseils du correcteur
.
> 1. CT est une primitive de la fonction Cm sur l'intervalle [1 20]
On vérifie que 
est la dérivée de la fonction 
sur [1 20].
Attention
signifie que la production de l'entreprise est comprise entre 1 tonne et 20 tonnes.
Pour tout réel 
: 
.
Il en découle que 
est une primitive de la fonction 
sur l'intervalle [1 20]
> 2. a) Expression de CM(q)
Pour tout réel 
:
b) Détermination de la fonction dérivée C′M
Pour tout réel 
, 
c) Production mensuelle pour un coût moyen minimal
Pour déterminer la production correspondant à un coût moyen minimal, on étudie les variations de la fonction 
à partir du signe de sa dérivée.
pour tout 
, donc 
est du signe de 
.
si et seulement si 
, si et seulement si 
.
Si 
, alors 
, donc 
et 
.
De même, si 
, alors 
et 
.
La fonction 
est donc strictement décroissante sur l'intervalle [1 5], strictement croissante sur [5 20].
Notez bien
On retrouve un résultat général : lorsque le coût moyen est minimal, le coût moyen est égal au coût marginal (mais cette valeur n'est pas le minimum du coût marginal).
Elle atteint son minimum en 
.
(milliers d'euros).
Le coût marginal est alors :
> 3. Estimation du bénéfice maximal
Pour tout réel 
, 
.
Puisque chaque tonne de produit est vendue 4 000 € :
(en milliers d'euros).
La fonction 
est linéaire, sa représentation graphique est contenue dans une droite passant par l'origine, elle est donc tracée en rouge sur le graphique.
On constate graphiquement que, pour tout 
, 
puisque la courbe représentant la recette est au-dessus de celle représentant le coût total (ce résultat peut aussi être vérifié algébriquement).
Le bénéfice maximal que l'entreprise peut espérer correspond à la valeur de 
pour laquelle l'écart entre les deux courbes est le plus grand.
Graphiquement, on constate que l'écart le plus important semble être obtenu pour 
et qu'il est approximativement égal à 14 (en milliers d'euros).
On peut interpréter ces résultats de la manière suivante :
Toute trace de recherche, même incomplète, d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.