Bénéfice réalisable pour la vente d’un produit

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle L - Tle ES | Thème(s) : Fonctions exponentielles
Type : Exercice | Année : 2012 | Académie : Inédit
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
&nbsp
B&eacute n&eacute fice r&eacute alisable pour la vente d&rsquo un  produit

Analyse &bull Fonctions exponentielles

Corrig&eacute

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Ens. sp&eacute cifique

matT_1200_00_03C

Sujet in&eacute dit

Exercice &bull 5 points

Le but de cet exercice est de d&eacute terminer le b&eacute n&eacute fice maximum r&eacute alisable pour la vente d&rsquo un produit &laquo     &raquo fabriqu&eacute par une entreprise. Toute l&rsquo &eacute tude porte sur un mois complet de production.

Le co&ucirc t marginal de fabrication du produit &laquo     &raquo par l&rsquo entreprise est mod&eacute lis&eacute par la fonction d&eacute finie sur l&rsquo intervalle [1  20] par  :

q &eacute tant la quantit&eacute exprim&eacute e en tonnes et son co&ucirc t marginal exprim&eacute en milliers d&rsquo euros.

&gt 1.  La fonction co&ucirc t total est mod&eacute lis&eacute e par la fonction d&eacute finie sur l&rsquo intervalle [1  20] par

V&eacute rifier que cette fonction est une primitive de la fonction sur l&rsquo intervalle [1  20]. (1 point)

&gt 2.  La fonction co&ucirc t moyen, not&eacute e est la fonction d&eacute finie sur l&rsquo intervalle [1  20] par  :

a)  V&eacute rifier que (0,5 point)

b)  D&eacute terminer la fonction d&eacute riv&eacute e de la fonction &middot (1 point)

c)  Pour quelle production mensuelle (exprim&eacute e en tonnes) l&rsquo entreprise a-t-elle un co&ucirc t moyen minimal  ? Quel est ce co&ucirc t  ? Pour cette production , quelle est la valeur du co&ucirc t marginal  ? (1,5 point)

&gt 3.  On suppose que l&rsquo entreprise vend toute sa production mensuelle.

Chaque tonne du produit &laquo     &raquo est vendue 4  000  &euro .

On d&eacute signe par la recette mensuelle obtenue pour la vente de q tonnes du produit &laquo     &raquo et par le b&eacute n&eacute fice mensuel en milliers d&rsquo euros ainsi r&eacute alis&eacute .

Les repr&eacute sentations graphiques des fonctions &laquo   recette  &raquo et &laquo   co&ucirc t total  &raquo sont donn&eacute es dans l&rsquo annexe &agrave rendre avec la copie.

Estimer graphiquement, en pr&eacute cisant votre d&eacute marche, le b&eacute n&eacute fice maximal que l&rsquo on peut esp&eacute rer sur le mois &eacute tudi&eacute . (1 point)

Toute trace de recherche, m&ecirc me incompl&egrave te, d&rsquo initiative, m&ecirc me non fructueuse, sera prise en compte dans l&rsquo &eacute valuation.

Annexe


Dur&eacute e conseill&eacute e  : 45  min.

Les th&egrave mes en jeu

Sens de variation &bull Fonction exponentielle &bull Primitives usuelles.

Les conseils du correcteur

&gt     1.  Calculer la d&eacute riv&eacute e de la fonction .

&gt     3.  Le b&eacute n&eacute fice est la diff&eacute rence de la recette et du co&ucirc t total. Il est maximal lorsque l&rsquo &eacute cart entre les deux courbes donn&eacute es est le plus grand.