Partie A

▶ 1. Montrer qu'une droite est orthogonale à un plan

ABC est un triangle rectangle en A donc $(\text{AB})\perp (\text{AC}).$

La droite d passe par les points B et D donc n'est autre que la droite (BD). Par hypothèse, (BD) est orthogonale au plan P qui contient le triangle ABC. Par définition, (BD) est orthogonale à toute droite incluse dans le plan P ; en particulier $(\text{BD})\perp (\text{AC})$.

La droite $(\text{AC})$ est ainsi orthogonale à deux droites sécantes du plan $(\text{BAD})$, par conséquent la droite $(\text{AC})$ est orthogonale au plan $(\text{BAD})$.

▶ 2. Montrer qu'un tétraèdre est un bicoin

ABC est un triangle rectangle en A par hypothèse.

$(\text{AC})$ est orthogonale au plan $(\text{BAD})$ donc $(\text{AC})$ est orthogonale à toute droite du plan $(\text{BAD})$ ; en particulier $(\text{AC})\perp (\text{AD})$ et ACD est un triangle rectangle en A.

(BD) est orthogonale au plan $\mathcal{P}$ qui contient le triangle ABC. Par définition, (BD) est orthogonale à toute droite incluse dans le plan $\mathcal{P}$ ; en particulier :

$(\text{BD})\perp (\text{AB})$ et ABD est un triangle rectangle en B ;

$(\text{BD})\perp (\text{BC})$ et BDC est un triangle rectangle en B.

Les quatre triangles rectangles identifiés permettent donc d'affirmer que le tétraèdre $\text{ABCD}$ est un bicoin.

▶ 3. a) Identifier l'arête la plus longue d'un tétraèdre

Dans le bicoin ABCD :

le triangle ABD est rectangle en B, [AD] est l'hypoténuse donc AD > AB et AD > BD ;

le triangle ADC est rectangle en A, [DC] est l'hypoténuse donc DC > AC et DC > AD ;

le triangle BDC est rectangle en B, [DC] est l'hypoténuse donc DC > BC et DC > BD.

En résumé, nous avons : DC > AD > AB, DC > AC, DC > BC et DC > BD.

Par conséquent, l'arête $[\text{DC}]$ est la plus longue arête du bicoin $\text{ABCD}$.

b) Montrer qu'un point est équidistant des sommets d'un bicoin

Dans le bicoin ABCD :

le triangle ADC est rectangle en A, [DC] est l'hypoténuse et I est le milieu de [DC]. I est donc le centre du cercle circonscrit au triangle ADC et nous avons donc IA = ID = IC ;

le triangle BDC est rectangle en B, [DC] est l'hypoténuse et I est le milieu de [DC]. I est donc le centre du cercle circonscrit au triangle BDC et nous avons donc IB = ID = IC.

En résumé, IA = IB = ID = IC donc le point $\text{I}$ est équidistant des 4 sommets du bicoin $\text{ABCD}$.

Partie B

▶ 1. Déterminer une équation cartésienne d'un plan

Un vecteur directeur de la droite d de représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l}x=2t+1\\ y=-2t+9\\ z=t-3\end{array}\right., t\in \text{ℝ}$ est $\overrightarrow{u}\left|\begin{array}{l}2\\ -2\\ 1\end{array}\right.$. Puisque la droite d est orthogonale au plan P, $\overrightarrow{u}$ est également un vecteur normal au plan P.

Par conséquent, une équation cartésienne de P est 2x - 2y + z + d = 0 où d est un réel à déterminer. Puisque le point A appartient au plan P, il vient :

$2x_{\text{A}}-2y_{\text{A}}+z_{\text{A}}+d=0\iff 2\times 3-2\times 1+(-5)+d=0\iff d=1.$

Une équation cartésienne de P est donc $2x-2y+z+1=0.$

▶ 2. Déterminer les coordonnées du point d'intersection d'une droite et d'un plan

$\begin{array}{l}\text{B}(x;y;z)\in d\cap \mathcal{P}\iff \left\{\begin{array}{l}2x-2y+z+1=0\\ x=2t+1\\ y=-2t+9\\ z=t-3\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{l}2(2t+1)-2(-2t+9)+(t-3)+1=0\\ x=2t+1\\ y=-2t+9\\ z=t-3\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{l}9t-18=0\\ x=2t+1\\ y=-2t+9\\ z=t-3\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}t=2\\ x=2\times 2+1=5\\ y=-2\times 2+9=5\\ z=2-3=-1\end{array}\right.\end{array}$

Le point d'intersection du plan P et de la droite d est B(5 ; 5 ; - 1).

▶ 3. Justifier qu'un point est dans un plan et qu'un triangle est isocèle rectangle

Nous avons tout d'abord $\text{2}{x}_{\text{C}}-2y_{\text{C}}+z_{\text{C}}+1=2\times 7-2\times 3+(-9)+1=0$ donc $\text{C}(\text{7 };\text{ 3 }; -9)$ appartient au plan P.

Ensuite, nous avons : $\overrightarrow{\text{AB}}\left|\begin{array}{l}{x}_{\text{B}}-x_{\text{A}}=5-3=2\\ y_{\text{B}}-y_{\text{A}}=5-1=4\\ z_{\text{B}}-z_{\text{A}}=-1-(-5)=4\end{array}\right.$ et

$\overrightarrow{\text{AC}}\left|\begin{array}{l}{x}_{\text{C}}-x_{\text{A}}=7-3=4\\ y_{\text{C}}-y_{\text{A}}=3-1=2\\ z_{\text{C}}-z_{\text{A}}=-9-(-5)=-4\end{array}\right..$

Ainsi, $\begin{array}{c}\overrightarrow{\text{AB}}\cdot \overrightarrow{\text{AC}}=x_{\overrightarrow{\text{AB}}}\times x_{\overrightarrow{\text{AC}}}+y_{\overrightarrow{\text{AB}}}\times y_{\overrightarrow{\text{AC}}}+z_{\overrightarrow{\text{AB}}}\times z_{\overrightarrow{\text{AC}}}\\ =2\times 4+4\times 2+4\times (-4)=0.\end{array}$

Les vecteurs $\overrightarrow{\text{AB}}$ et $\overrightarrow{\text{AC}}$ sont donc orthogonaux et le triangle $\text{ABC}$ est rectangle en $\text{A}$.

Enfin, $\text{AB}=‖\overrightarrow{\text{AB}}‖=\sqrt[]{2^2+4^2+4^2}=\sqrt[]{36}=6$ et $\text{AC}=‖\overrightarrow{\text{AC}}‖=\sqrt[]{4^2+2^2+{(-4)}^2}=\sqrt[]{36}=6$ donc AB = AC et le triangle $\text{ABC}$ est isocèle en $\text{A}$.

▶ 4. a) Justifier qu'un triangle est rectangle

Puisque t ≠ 2, alors, d'après la question 2 de la partie B, le point M est distinct de B. La droite d est orthogonale au plan P qui contient les points A et B. Par définition, la droite d est donc orthogonale à toutes les droites du plan P et, en particulier, la droite d est orthogonale à la droite (AB). Puisque l'on sait d'après la question 2 de la partie B que la droite d coupe le plan P en B, la droite d et la droite (AB) sont sécantes en B. Les droites d et (AB) sont donc perpendiculaires en B et le triangle $\text{ABM}$ est rectangle en $\text{B}$.

b) Établir une condition nécessaire et suffisante pour qu'un triangle soit isocèle

ABM est isocèle en B si et seulement si AB = BM.

Les coordonnées de M sont (2t + 1 ; - 2t + 9 ; t - 3). Ainsi :

$\overrightarrow{\text{BM}}\left|\begin{array}{l}{x}_{\text{M}}-x_{\text{B}}=2t+1-5=2t-4\\ y_{\text{M}}-y_{\text{B}}=-2t+9-5=-2t+4\\ z_{\text{M}}-z_{\text{B}}=t-3-(-1)=t-2\end{array}\right..$

D'après la question 3 de la partie B, nous avons également AB = 6.

$\begin{array}{l}\text{AB}=\text{BM}\iff {\text{AB}}^2={\text{BM}}^2\iff 36={\text{BM}}^2\iff 36={‖\overrightarrow{\text{BM}}‖}^2\\ \iff 36={(2t-4)}^2+{(-2t+4)}^2+{(t-2)}^2\\ \iff 36=4t^2-16t+16+4t^2-16t+16+t^2-4t+4\\ \iff 36=9t^2-36t+36\\ \iff t^2-4t=0\end{array}$

En conclusion, $\text{ABM}$ est isocèle en $\text{B}$ si et seulement $t^2-4t=0$.

c) Déterminer des coordonnées de points pour qu'un triangle soit isocèle

D'après la question précédente, ABM est isocèle en B si et seulement si $t^2-4t=0$.

Or : $t^2-4t=0\iff t(t-4)=0\iff t=\text{0 ou }t=4.$

Ainsi, ABM est isocèle en B si et seulement t = 0 ou t = 4.

En reportant ces valeurs dans la représentation paramétrique de la droite d, on trouve :

pour t = 0 : $\left\{\begin{array}{l}x=2\times 0+1=1\\ y=-2\times 0+9=9\\ z=0-3=-3\end{array}\right.$

pour t = 4 : $\left\{\begin{array}{l}x=2\times 4+1=9\\ y=-2\times 4+9=1\\ z=4-3=1\end{array}\right.$

Les triangles rectangles ${\text{ABM}}_1$ et ${\text{ABM}}_2$ sont isocèles en $\text{B}$ pour ${\text{M}}_1(\text{1 };\text{ 9 };-3)$ et ${\text{M}}_2(\text{9 };\text{ 1 };\text{ 1})$.

Partie C

Identifier une sphère

Dans la partie B :

ABC est un triangle rectangle en A d'après la question 3 ;

Les points A, B, C sont trois points dans le plan P d'après respectivement les questions 1, 2 et 3. Le triangle ABC est donc inclus dans le plan P ;

La droite d est orthogonale au plan P et passe par le point B d'après la question 2. ;

Le point D(9 ; 1 ; 1) appartient à la droite d d'après la remarque initiale de la partie C et la question 4. c) de la partie B ;

D(9 ; 1 ; 1) est clairement distinct de $\text{B}(\text{5 };\text{ 5 };-1).$

Les cinq points ci-dessus montrent que toutes les hypothèses initiales de la partie A sont vérifiées. Les conclusions obtenues dans cette partie sont donc ici valables, en particulier celle de la question 3. b) de cette partie A : « le milieu I de l'arête [CD] est équidistant des quatre sommets du bicoin ABCD ».

Les points A, B, C et D sont donc sur la sphère de centre I, milieu de l'arête $[\text{CD}]$ :

$\text{I}\left(\frac{x_{\text{C}}+x_{\text{D}}}{2};\frac{y_{\text{C}}+y_{\text{D}}}{2};\frac{{\text{z}}_{\text{C}}+z_{\text{D}}}{2}\right)=\left(\frac{7+9}{2};\frac{3+1}{2};\frac{-9+1}{2}\right)=(\text{8\hspace{0.33em}};\text{\hspace{0.33em}2\hspace{0.33em}};-4).$

Le rayon de cette sphère est $r=\frac{1}{2}\text{CD}$ :

$r=\frac{1}{2}\sqrt[]{{(9-7)}^2+{(1-3)}^2+{(1-(-9\left)\right)}^2}=\frac{1}{2}\sqrt[]{108}=3\sqrt[]{3}.$