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Bicoin dans une sphère

Sujet complet • Exercice 1

Bicoin dans une sphère

1 h 15

6 points

Intérêt du sujet  Un bicoin est un tétraèdre dont toutes les faces sont des triangles rectangles. On montre dans cet exercice de géométrie dans l'espace et de géométrie plane qu'il est inscrit dans une sphère.

 

Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.

Partie A

Dans un plan P, on considère un triangle ABC rectangle en A.

Soit d la droite orthogonale au plan P et passant par le point B. On considère un point D de cette droite distinct du point B.

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1. Montrer que la droite (AC) est orthogonale au plan (BAD).

On appelle bicoin un tétraèdre dont les quatre faces sont des triangles rectangles.

2. Montrer que le tétraèdre ABCD est un bicoin.

3. a) Justifier que l'arête [CD] est la plus longue arête du bicoin ABCD.

b) On note I le milieu de l'arête [CD]. Montrer que le point I est équidistant des 4 sommets du bicoin ABCD.

Partie B

Dans un repère orthonormé de l'espace, on considère le point A(3 ; 1 ; - 5) et la droite d de représentation paramétrique x=2t+1y=2t+9z=t3t ∈ ℝ.

1. Déterminer une équation cartésienne du plan P orthogonal à la droite d et passant par le point A.

2. Montrer que le point d'intersection du plan P et de la droite d est le point B(5 ; 5 ; - 1).

3. Justifier que le point C(7 ; 3 ; - 9) appartient au plan P puis montrer que le triangle ABC est un triangle rectangle isocèle en A.

4. Soit t un réel différent de 2 et M le point de paramètre t appartenant à la droite d.

a) Justifier que le triangle ABM est rectangle.

b) Montrer que le triangle ABM est isocèle en B si et seulement si le réel t vérifie l'équation t2 - 4t = 0.

c) En déduire les coordonnées des points M1 et M2 de la droite d tels que les triangles rectangles ABM1 et ABM2 soient isocèles en B.

Partie C

On donne le point D(9 ; 1 ; 1) qui est un des deux points solutions de la question 4. c) de la partie B.

Les quatre sommets du tétraèdre ABCD sont situés sur une sphère.

En utilisant les résultats des questions des parties A et B précédentes, déterminer les coordonnées du centre de cette sphère et calculer son rayon.

Les clés du sujet

Partie A

3. b) N'oubliez pas que, dans un triangle rectangle, le milieu de l'hypoténuse est le centre du cercle circonscrit au triangle.

Partie C

Assurez-vous que toutes les hypothèses initiales de la partie A sont vérifiées avant d'appliquer le résultat de la question 3. b) de cette partie.

Partie A

1. Montrer qu'une droite est orthogonale à un plan

ABC est un triangle rectangle en A donc (AB)(AC).

La droite d passe par les points B et D donc n'est autre que la droite (BD). Par hypothèse, (BD) est orthogonale au plan P qui contient le triangle ABC. Par définition, (BD) est orthogonale à toute droite incluse dans le plan P ; en particulier (BD)(AC).

La droite (AC) est ainsi orthogonale à deux droites sécantes du plan (BAD), par conséquent la droite (AC) est orthogonale au plan (BAD).

2. Montrer qu'un tétraèdre est un bicoin

ABC est un triangle rectangle en A par hypothèse.

(AC) est orthogonale au plan (BAD) donc (AC) est orthogonale à toute droite du plan (BAD) ; en particulier (AC)(AD) et ACD est un triangle rectangle en A.

(BD) est orthogonale au plan P qui contient le triangle ABC. Par définition, (BD) est orthogonale à toute droite incluse dans le plan P ; en particulier :

(BD)(AB) et ABD est un triangle rectangle en B ;

(BD)(BC) et BDC est un triangle rectangle en B.

Les quatre triangles rectangles identifiés permettent donc d'affirmer que le tétraèdre ABCD est un bicoin.

3. a) Identifier l'arête la plus longue d'un tétraèdre

Dans le bicoin ABCD :

le triangle ABD est rectangle en B, [AD] est l'hypoténuse donc AD > AB et AD > BD ;

le triangle ADC est rectangle en A, [DC] est l'hypoténuse donc DC > AC et DC > AD ;

le triangle BDC est rectangle en B, [DC] est l'hypoténuse donc DC > BC et DC > BD.

En résumé, nous avons : DC > AD > AB, DC > AC, DC > BC et DC > BD.

Par conséquent, l'arête [DC] est la plus longue arête du bicoin ABCD.

b) Montrer qu'un point est équidistant des sommets d'un bicoin

Dans le bicoin ABCD :

le triangle ADC est rectangle en A, [DC] est l'hypoténuse et I est le milieu de [DC]. I est donc le centre du cercle circonscrit au triangle ADC et nous avons donc IA = ID = IC ;

le triangle BDC est rectangle en B, [DC] est l'hypoténuse et I est le milieu de [DC]. I est donc le centre du cercle circonscrit au triangle BDC et nous avons donc IB = ID = IC.

En résumé, IA = IB = ID = IC donc le point I est équidistant des 4 sommets du bicoin ABCD.

Partie B

1. Déterminer une équation cartésienne d'un plan

Un vecteur directeur de la droite d de représentation paramétrique x=2t+1y=2t+9z=t3, t est u221. Puisque la droite d est orthogonale au plan P, u est également un vecteur normal au plan P.

Par conséquent, une équation cartésienne de P est 2x - 2yzd = 0 où d est un réel à déterminer. Puisque le point A appartient au plan P, il vient :

2xA2yA+zA+d=02×32×1+(5)+d=0d=1.

Une équation cartésienne de P est donc 2x2y+z+1=0.

2. Déterminer les coordonnées du point d'intersection d'une droite et d'un plan

B(x;y;z)dP2x2y+z+1=0x=2t+1y=2t+9z=t32(2t+1)2(2t+9)+(t3)+1=0x=2t+1y=2t+9z=t39t18=0x=2t+1y=2t+9z=t3t=2x=2×2+1=5y=2×2+9=5z=23=1

Le point d'intersection du plan P et de la droite d est B(5 ; 5 ; - 1).

3. Justifier qu'un point est dans un plan et qu'un triangle est isocèle rectangle

Nous avons tout d'abord 2xC2yC+zC+1=2×72×3+(9)+1=0 donc C(; 3 ; 9) appartient au plan P.

Ensuite, nous avons : ABxBxA=53=2yByA=51=4zBzA=1(5)=4 et

ACxCxA=73=4yCyA=31=2zCzA=9(5)=4.

Ainsi, ABAC=xAB×xAC+yAB×yAC+zAB×zAC=2×4+4×2+4×(4)=0.

Les vecteurs AB et AC sont donc orthogonaux et le triangle ABC est rectangle en A.

Enfin, AB=AB=22+42+42=36=6 et AC=AC=42+22+(4)2=36=6 donc AB = AC et le triangle ABC est isocèle en A.

4. a) Justifier qu'un triangle est rectangle

Puisque t ≠ 2, alors, d'après la question 2 de la partie B, le point M est distinct de B. La droite d est orthogonale au plan P qui contient les points A et B. Par définition, la droite d est donc orthogonale à toutes les droites du plan P et, en particulier, la droite d est orthogonale à la droite (AB). Puisque l'on sait d'après la question 2 de la partie B que la droite d coupe le plan P en B, la droite d et la droite (AB) sont sécantes en B. Les droites d et (AB) sont donc perpendiculaires en B et le triangle ABM est rectangle en B.

b) Établir une condition nécessaire et suffisante pour qu'un triangle soit isocèle

ABM est isocèle en B si et seulement si AB = BM.

Les coordonnées de M sont (2t + 1 ; - 2t + 9 ; t - 3). Ainsi :

BMxMxB=2t+15=2t4yMyB=2t+95=2t+4zMzB=t3(1)=t2.

D'après la question 3 de la partie B, nous avons également AB = 6.

AB=BMAB2=BM236=BM236=BM236=(2t4)2+(2t+4)2+(t2)236=4t216t+16+4t216t+16+t24t+436=9t236t+36t24t=0

En conclusion, ABM est isocèle en B si et seulement t24t=0.

c) Déterminer des coordonnées de points pour qu'un triangle soit isocèle

D'après la question précédente, ABM est isocèle en B si et seulement si t24t=0.

Or : t24t=0t(t4)=0t=0 ou t=4.

Ainsi, ABM est isocèle en B si et seulement t = 0 ou t = 4.

En reportant ces valeurs dans la représentation paramétrique de la droite d, on trouve :

pour t = 0 : x=2×0+1=1y=2×0+9=9z=03=3

pour t = 4 : x=2×4+1=9y=2×4+9=1z=43=1

Les triangles rectangles ABM1 et ABM2 sont isocèles en B pour M1(; 9 ; 3) et M2(; 1 ; 1).

Partie C

Identifier une sphère

Dans la partie B :

ABC est un triangle rectangle en A d'après la question 3 ;

Les points A, B, C sont trois points dans le plan P d'après respectivement les questions 1, 2 et 3. Le triangle ABC est donc inclus dans le plan P ;

La droite d est orthogonale au plan P et passe par le point B d'après la question 2. ;

Le point D(9 ; 1 ; 1) appartient à la droite d d'après la remarque initiale de la partie C et la question 4. c) de la partie B ;

D(9 ; 1 ; 1) est clairement distinct de B(; 5 ; 1).

Les cinq points ci-dessus montrent que toutes les hypothèses initiales de la partie A sont vérifiées. Les conclusions obtenues dans cette partie sont donc ici valables, en particulier celle de la question 3. b) de cette partie A : « le milieu I de l'arête [CD] est équidistant des quatre sommets du bicoin ABCD ».

Les points A, B, C et D sont donc sur la sphère de centre I, milieu de l'arête [CD] :

IxC+xD2;yC+yD2;zC+zD2=7+92;3+12;9+12=(8 ; 2 ;4).

Le rayon de cette sphère est r=12CD :

r=12(97)2+(13)2+(1(9))2=12108=33.

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