Bicoin dans une sphère

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle Générale | Thème(s) : Orthogonalité et distances dans l’espace
Type : Exercice | Année : 2020 | Académie : Inédit


Sujet complet • Exercice 1

Bicoin dans une sphère

1 h 15

6 points

Intérêt du sujet  Un bicoin est un tétraèdre dont toutes les faces sont des triangles rectangles. On montre dans cet exercice de géométrie dans l’espace et de géométrie plane qu’il est inscrit dans une sphère.

 

Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.

Partie A

Dans un plan P, on considère un triangle ABC rectangle en A.

Soit d la droite orthogonale au plan P et passant par le point B. On considère un point D de cette droite distinct du point B.

matT_1905_09_01C_02

1. Montrer que la droite (AC) est orthogonale au plan (BAD).

On appelle bicoin un tétraèdre dont les quatre faces sont des triangles rectangles.

2. Montrer que le tétraèdre ABCD est un bicoin.

3. a) Justifier que l’arête [CD] est la plus longue arête du bicoin ABCD.

b) On note I le milieu de l’arête [CD]. Montrer que le point I est équidistant des 4 sommets du bicoin ABCD.

Partie B

Dans un repère orthonormé de l’espace, on considère le point A(3 ; 1 ; - 5) et la droite d de représentation paramétrique x=2t+1y=2t+9z=t3t ∈ ℝ.

1. Déterminer une équation cartésienne du plan P orthogonal à la droite d et passant par le point A.

2. Montrer que le point d’intersection du plan P et de la droite d est le point B(5 ; 5 ; - 1).

3. Justifier que le point C(7 ; 3 ; - 9) appartient au plan P puis montrer que le triangle ABC est un triangle rectangle isocèle en A.

4. Soit t un réel différent de 2 et M le point de paramètre t appartenant à la droite d.

a) Justifier que le triangle ABM est rectangle.

b) Montrer que le triangle ABM est isocèle en B si et seulement si le réel t vérifie l’équation t2 - 4t = 0.

c) En déduire les coordonnées des points M1 et M2 de la droite d tels que les triangles rectangles ABM1 et ABM2 soient isocèles en B.

Partie C

On donne le point D(9 ; 1 ; 1) qui est un des deux points solutions de la question 4. c) de la partie B.

Les quatre sommets du tétraèdre ABCD sont situés sur une sphère.

En utilisant les résultats des questions des parties A et B précédentes, déterminer les coordonnées du centre de cette sphère et calculer son rayon.

Les clés du sujet

Partie A

3. b) N’oubliez pas que, dans un triangle rectangle, le milieu de l’hypoténuse est le centre du cercle circonscrit au triangle.

Partie C

Assurez-vous que toutes les hypothèses initiales de la partie A sont vérifiées avant d’appliquer le résultat de la question 3. b) de cette partie.