Billard américain : durée d’entraînement, qualité des boules, organisation des tournois

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Notion de loi à densité
Type : Exercice | Année : 2014 | Académie : France métropolitaine
Corpus Corpus 1
Billard américain : durée d’entraînement, qualité des boules, organisation des tournois

Notion de loi à densité

matT_1406_07_10C

Ens. spécifique

28

CORRIGE

France métropolitaine • Juin 2014

Exercice 3 • 5 points

Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.

partie a

Chaque jour, Antoine s’entraîne au billard américain pendant une durée comprise entre 20 minutes et une heure. On modélise la durée de son entraînement, en minutes, par une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l’intervalle [20 ; 60].

>1. Calculer la probabilité pour que l’entraînement dure plus de 30 minutes. (0,75 point)

>2. Calculer l’espérance de . Interpréter ce résultat. (1 point)

partie b

Dans cette partie, les probabilités seront, si besoin, arrondies au millième.

Les boules de billard américain avec lesquelles Antoine s’entraîne sont dites de premier choix si leur diamètre est compris entre 56,75 mm et 57,25 mm ; sinon elles sont dites de second choix.

On note la variable aléatoire qui, à chaque boule prélevée au hasard dans la production de l’entreprise, associe son diamètre, en millimètres.

On suppose que suit la loi normale d’espérance 57 et d’écart-type 0,11.

>1. Déterminer la probabilité que la boule prélevée ait un diamètre inférieur à 57 mm. (0,5 point)

>2. Déterminer la probabilité que la boule prélevée soit une boule de premier choix. (0,75 point)

>3. En déduire la probabilité que la boule prélevée soit une boule de second choix. (0,5 point)

partie c

Le président de la Fédération française de billard (FFB) souhaite estimer le niveau de satisfaction de ses 14 000 licenciés quant à l’organisation des tournois.

Antoine estime que les 80 adhérents de son club constituent un échantillon représentatif des licenciés de la FFB. Il est chargé de faire une étude au sein de son club : les 80 adhérents ont répondu, et 66 ont déclaré qu’ils étaient satisfaits.

>1. Quelle est, sur cet échantillon, la fréquence observée de personnes satisfaites de la FFB ? (0,5 point)

>2. Déterminer un intervalle de confiance au niveau de confiance 0,95 de la proportion de licenciés satisfaits de la FFB. Les bornes seront arrondies au millième. (1 point)

Les clés du sujet

Les thèmes en jeu

Variable aléatoire • Loi à densité, loi normale • Intervalle de confiance.

Les conseils du correcteur

Partie B

>1. 57 est l’espérance de la variable aléatoire .

>2. Utilisez la calculatrice.

>3. Utilisez le résultat sur les probabilités de deux événements contraires.

Partie C

>1. La fréquence de personnes satisfaites est égale au quotient du nombre de personnes satisfaites par le nombre de personnes interrogées ; cette fréquence est un nombre compris entre 0 et 1.

Corrigé
Corrigé

partie a

>1. Calculer une probabilité associée à une variable aléatoire suivant une loi uniforme

La probabilité que l’entraînement dure plus de 30 minutes est :

.

Donc .

La probabilité que l’entraînement dure plus de 30 minutes est égale à 0,75.

>2. Calculer l’espérance d’une variable aléatoire et interpréter le résultat

L’espérance de est .

Cela signifie que la durée quotidienne moyenne d’entraînement d’Antoine est de 40 minutes.

partie b

>1. Donner une probabilité associée à une variable aléatoire suivant une loi normale

Notez bien

On rappelle que, si est une variable aléatoire suivant une loi normale d’espérance μ, alors et .

Ces résultats ne dépendent pas de l’écart-type de .

57 est l’espérance de la variable aléatoire D, d’où :

>2. Déterminer une probabilité associée à une variable aléatoire suivant une loi normale

Notez bien

Ce résultat signifie qu’environ 97,7 % des boules utilisées sont de premier choix.

La probabilité que la boule prélevée soit une boule de premier choix est :


D’après la calculatrice, en arrondissant au millième :

>3. Déterminer une probabilité associée à une variable aléatoire suivant une loi normale

Les événements « la boule prélevée est une boule de premier choix » et « la boule prélevée est une boule de second choix » sont deux événements contraires, donc la probabilité que la boule prélevée soit une boule de second choix est soit, en arrondissant au millième :

partie c

>1. Calculer une fréquence

Notez bien

Cela signifie que, sur l’échantillon considéré, 82,5 % des personnes sont satisfaites de la FFB.

Sur l’échantillon considéré, la fréquence de personnes satisfaites de la FFB est :

>2. Déterminer un intervalle de confiance

Notez bien

Lors des calculs, on arrondit toujours par défaut la borne inférieure, par excès la borne supérieure, de façon à obtenir un intervalle (« arrondi ») contenant l’intervalle exact.

Si est la fréquence de personnes satisfaites sur un échantillon de taille , et si les conditions , , sont remplies, alors un intervalle de confiance au niveau de confiance 0,95 de la proportion de licenciés satisfaits de la FFB est :

.


Ici et , donc , , , donc :

.

En effectuant les calculs et en arrondissant au millième par défaut la borne inférieure, par excès la borne supérieure, un intervalle de confiance au niveau de confiance 0,95 de la proportion de licenciés satisfaits de la FFB est :