C’est dur d’être une peluche

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Probabilités conditionnelles
Type : Exercice | Année : 2014 | Académie : Antilles, Guyane
Corpus Corpus 1
C’est dur d’être une peluche

Probabilités conditionnelles

matT_1409_04_01C

Ens. spécifique

28

Antilles, Guyane • Septembre 2014

Exercice 1 • 6 points

Une entreprise de jouets en peluche souhaite commercialiser un nouveau produit et, à cette fin, effectue divers tests permettant de rejeter les peluches ne répondant pas aux normes en vigueur. D’expérience, le concepteur sait que 9 % des nouveaux jouets ne répondent pas aux normes.

À l’issue des tests, il est noté que :

  • 96 % des peluches répondant aux normes sont acceptées par les tests ;
  • 97 % des peluches ne répondant pas aux normes ne sont pas acceptées à l’issue des tests.

On prélève une peluche au hasard dans la production de l’entreprise.

On note :

N l’événement : « la peluche répond aux normes en vigueur » ;

A l’événement : « la peluche est acceptée à l’issue des tests ».

Partie A

>1. Construire un arbre pondéré représentant la situation exposée précédemment.

>2. Démontrer que la probabilité qu’une peluche soit acceptée à l’issue des tests est 0,8763.

>3. Calculer la probabilité qu’une peluche qui a été acceptée à l’issue des tests soit véritablement aux normes en vigueur. Arrondir le résultat au dix-millième.

Partie B

On considère que la vie d’une peluche se termine lorsqu’elle subit un dommage majeur (déchirure, arrachage…). On admet que la durée de vie en années d’une peluche, notée D, suit une loi exponentielle de paramètre λ.

>1. On sait que P(D 4) = 0,5. Interpréter ce résultat dans le contexte de cet exercice. Calculer la valeur exacte de λ.

>2. On prendra ici λ = 0,1733.

Le jour de ses trois ans, un enfant qui joue avec cette peluche depuis sa naissance décide, voyant qu’elle est encore en parfait état, de la donner à sa sœur qui vient de naître.

Calculer la probabilité pour que sa sœur la garde sans dommage majeur au moins cinq années supplémentaires. Arrondir le résultat au dix-millième.

Partie C

Un cabinet de sondages et d’expertise souhaite savoir quel est le réel intérêt des enfants pour ce jouet. À la suite d’une étude, il apparaît que pour un enfant de quatre ans, le nombre de jours, noté J, où la peluche est son jouet préféré suit une loi normale de paramètres µ et σ2. Il apparaît que µ = 358 jours.

>1. Soit . Quelle est la loi suivie par X ?

>2. On sait que P(J  385) = 0,975. Déterminer la valeur de σ arrondie à l’entier le plus proche.

Les clés du sujet

Durée conseillée : 60 min.

Les thèmes clés

Arbre pondéré • Loi exponentielle • Loi normale.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

  • Calculs de probabilités  E34 • E35 • E37 • E40a  → Partie A, 1. à 3. ; partie B, 1.
  • Propriétés associées à une variable aléatoire suivant une loi exponentielle  E40c• E42  → Partie B, 1. et 2.
  • Intégrales et équations liées aux fonctions exponentielles  E9a• E11d• E13  → Partie B, 1.
  • Propriétés associées à une variable aléatoire suivant une loi normale  E40d• E40e  → Partie C, 1. et 2.

Calculatrice

• Calcul d’une probabilité associée à une loi normale  C3  → Partie C, 2.

Nos coups de pouce

Partie B

>1. Traduisez, à l’aide d’une intégrale, la probabilité que la variable aléatoire prenne des valeurs inférieures ou égale à 4. Déduisez-en que l’affirmation est équivalente à . Déterminez le nombre réel qui vérifie cette égalité en utilisant la relation fonctionnelle liant logarithme népérien et exponentielle.

Partie C

>2. Justifiez que équivaut à

Puis, utilisez une calculatrice pour conclure en prenant bien en compte la précision demandée pour la valeur approchée de l’écart type.

Corrigé
Corrigé

Partie A

>1. Construire un arbre pondéré

  • Premier niveau de l’arbre : la peluche répond-elle aux normes ?

9 % des nouveaux jouets ne répondent pas aux normes. Par suite, la probabilité que l’événement , événement contraire de l’événement , se réalise est  et la probabilité de l’événement est .

  • Deuxième niveau de l’arbre : la peluche passe-t-elle les tests ?

96 % des peluches répondant aux normes sont acceptées par les tests. Par suite, la probabilité que l’événement se réalise sachant que l’événement est réalisé est : . Comme la somme des probabilités indiquées sur les branches issues d’un même nœud (ici, le nœud ) est égale à 1, .

97 % des peluches ne répondant pas aux normes ne sont pas acceptées à l’issue des tests. Par suite, la probabilité que l’événement se réalise sachant que l’événement est réalisé est : . Comme la somme des probabilités indiquées sur les branches issues d’un même nœud (ici, le nœud ) est égale à 1, .


>2. Calculer une probabilité à l’aide d’un arbre

La probabilité qu’une peluche soit acceptée à l’issue des tests est la probabilité de l’événement . L’événement est associé à deux feuilles : et . Par conséquent, la probabilité de l’événement est la somme des probabilités de ces feuilles :

La probabilité qu’une peluche soit acceptée à l’issue des tests est donc 0,8763.

>3. Calculer une probabilité conditionnelle

La probabilité à déterminer est une probabilité conditionnelle : c’est la probabilité qu’une peluche soit véritablement aux normes en vigueur sachant qu’elle a été acceptée à l’issue des tests. Cette probabilité conditionnelle se note et par définition :

Notez bien

Un dix-millième correspond à .

La probabilité devant être arrondie au dix-millième, nous avons

Partie B

>1. Déterminer le paramètre d’une loi exponentielle

  • La densité associée à une loi exponentielle étant nulle sur l’intervalle nous avons alors , égalité somme toute logique, la durée de vie d’une peluche ne pouvant pas être négative.
  • Par définition, est l’aire en unités d’aire du domaine délimité par la courbe représentative de la densité associée à la loi exponentielle de paramètre , l’axe des abscisses et les droites d’équation et

Cela se traduit à l’aide d’une intégrale par :

.

Une primitive de la fonction (sur donc sur ) étant nous en déduisons que :

.

Notez bien

Pour tout réel et tout réel , .

  • Comme (égalité précisée dans l’énoncé), nous avons :

La valeur exacte du paramètreest par conséquent

(valeur approchée au dix-millième).

>2. Calculer une probabilité dans le cadre d’une loi exponentielle

La probabilité à déterminer est une probabilité conditionnelle : probabilité que la sœur garde la peluche sans dommage majeur au moins cinq années supplémentaires sachant que le jeune propriétaire a déjà joué exactement trois ans avec cette peluche. Elle se note . Comme la variable aléatoire suit une loi exponentielle et comme une loi exponentielle vérifie la propriété de durée de vie sans vieillissement, nous avons .

Il s’ensuit que :

Notez bien

La probabilité pour que sa sœur garde la peluche sans dommage majeur au moins cinq années supplémentaires est 0,4204 (résultat arrondi au dix-millième).

Partie C

>1. Identifier la loi suivie par une variable aléatoire

Comme (espérance de la variable aléatoire ), la variable aléatoire s’écrit :

.

Notez bien

Pour la loi normale centrée réduite, et .

Comme suit la loi normale d’espérance et d’écart type alors, par définition, la variable aléatoiresuit la loi normale centrée réduite.

>2. Déterminer l’écart type d’une loi normale

On sait que

Déterminons une valeur approchée de l’écart type à l’aide d’une calculatrice.

Attention !

La lettre X sur la calculatrice remplace ici le paramètre de  l’énoncé.

Éditeur de fonctions


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Réglage de la table (début de table, pas de table)

Notez bien

Un écart type est un nombre réel strictement positif.


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Lecture de la table


CASIO Graph 75


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La valeur approchée à l’entier le plus proche de l’écart typede la variable aléatoireest.