Corpus Corpus 1

C’est dur d’être une peluche

Probabilités conditionnelles

matT_1409_04_01C

Ens. spécifique

Antilles, Guyane • Septembre 2014

Exercice 1 • 6 points

Une entreprise de jouets en peluche souhaite commercialiser un nouveau produit et, à cette fin, effectue divers tests permettant de rejeter les peluches ne répondant pas aux normes en vigueur. D’expérience, le concepteur sait que 9  % des nouveaux jouets ne répondent pas aux normes.

&Agrave l’issue des tests, il est noté que  :

96  % des peluches répondant aux normes sont acceptées par les tests 
97  % des peluches ne répondant pas aux normes ne sont pas acceptées à l’issue des tests.

On prélève une peluche au hasard dans la production de l’entreprise.

On note  :

N l’événement  : «  la peluche répond aux normes en vigueur  » 

A l’événement  : «  la peluche est acceptée à l’issue des tests  ».

Partie A

>1. Construire un arbre pondéré représentant la situation exposée précédemment.

>2. Démontrer que la probabilité qu’une peluche soit acceptée à l’issue des tests est 0,8763.

>3. Calculer la probabilité qu’une peluche qui a été acceptée à l’issue des tests soit véritablement aux normes en vigueur. Arrondir le résultat au dix-millième.

Partie B

On considère que la vie d’une peluche se termine lorsqu’elle subit un dommage majeur (déchirure, arrachage…). On admet que la durée de vie en années d’une peluche, notée D, suit une loi exponentielle de paramètre &lambda .

>1. On sait que P(D &le 4) = 0,5. Interpréter ce résultat dans le contexte de cet exercice. Calculer la valeur exacte de &lambda .

>2. On prendra ici &lambda   = 0,1733.

Le jour de ses trois ans, un enfant qui joue avec cette peluche depuis sa naissance décide, voyant qu’elle est encore en parfait état, de la donner à sa sœur qui vient de naître.

Calculer la probabilité pour que sa sœur la garde sans dommage majeur au moins cinq années supplémentaires. Arrondir le résultat au dix-millième.

Partie C

Un cabinet de sondages et d’expertise souhaite savoir quel est le réel intérêt des enfants pour ce jouet. &Agrave la suite d’une étude, il apparaît que pour un enfant de quatre ans, le nombre de jours, noté J, où la peluche est son jouet préféré suit une loi normale de paramètres &micro et &sigma ². Il apparaît que &micro   = 358  jours.

>1. Soit . Quelle est la loi suivie par X  ?

>2. On sait que P(J &le   385) = 0,975. Déterminer la valeur de &sigma arrondie à l’entier le plus proche.

Les clés du sujet

Durée conseillée  : 60 min.

Les thèmes clés

Arbre pondéré • Loi exponentielle • Loi normale.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

Calculs de probabilités   E34 • E35 • E37 • E40a  → Partie A, 1. à 3.  partie B, 1.
Propriétés associées à une variable aléatoire suivant une loi exponentielle   E40c• E42  → Partie B, 1. et 2.
Intégrales et équations liées aux fonctions exponentielles   E9a• E11d•  E13  → Partie B, 1.
Propriétés associées à une variable aléatoire suivant une loi normale   E40d• E40e  → Partie C, 1. et 2.

Calculatrice

• Calcul d’une probabilité associée à une loi normale   C3  → Partie C, 2.

Nos coups de pouce

Partie B

>1. Traduisez, à l’aide d’une intégrale, la probabilité que la variable aléatoire prenne des valeurs inférieures ou égale à 4. Déduisez-en que l’affirmation est équivalente à . Déterminez le nombre réel qui vérifie cette égalité en utilisant la relation fonctionnelle liant logarithme népérien et exponentielle.