Probabilités conditionnelles
matT_1409_04_01C
Ens. spécifique
28
Antilles, Guyane • Septembre 2014
Exercice 1 • 6 points
Une entreprise de jouets en peluche souhaite commercialiser un nouveau produit et, à cette fin, effectue divers tests permettant de rejeter les peluches ne répondant pas aux normes en vigueur. D’expérience, le concepteur sait que 9 % des nouveaux jouets ne répondent pas aux normes.
À l’issue des tests, il est noté que :
- 96 % des peluches répondant aux normes sont acceptées par les tests ;
- 97 % des peluches ne répondant pas aux normes ne sont pas acceptées à l’issue des tests.
On prélève une peluche au hasard dans la production de l’entreprise.
On note :
N l’événement : « la peluche répond aux normes en vigueur » ;
A l’événement : « la peluche est acceptée à l’issue des tests ».
Partie A
Partie B
On considère que la vie d’une peluche se termine lorsqu’elle subit un dommage majeur (déchirure, arrachage…). On admet que la durée de vie en années d’une peluche, notée D, suit une loi exponentielle de paramètre λ.
Le jour de ses trois ans, un enfant qui joue avec cette peluche depuis sa naissance décide, voyant qu’elle est encore en parfait état, de la donner à sa sœur qui vient de naître.
Calculer la probabilité pour que sa sœur la garde sans dommage majeur au moins cinq années supplémentaires. Arrondir le résultat au dix-millième.
Partie C
Un cabinet de sondages et d’expertise souhaite savoir quel est le réel intérêt des enfants pour ce jouet. À la suite d’une étude, il apparaît que pour un enfant de quatre ans, le nombre de jours, noté J, où la peluche est son jouet préféré suit une loi normale de paramètres µ et σ2. Il apparaît que µ
. Quelle est la loi suivie par X ?
Durée conseillée : 60 min.
Les thèmes clés
Arbre pondéré • Loi exponentielle • Loi normale.
Les outils dont vous avez besoin
Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.
Propriétés et formules
- Calculs de probabilités
E34 • E35 • E37 • E40 a - Propriétés associées à une variable aléatoire suivant une loi exponentielle
E40 c • E42 → Partie B, 1. et 2. - Intégrales et équations liées aux fonctions exponentielles
E9 a • E11 d • E13 → Partie B, 1. - Propriétés associées à une variable aléatoire suivant une loi normale
E40 d • E40 e
Calculatrice
• Calcul d’une probabilité associée à une loi normale
Nos coups de pouce
Partie B
prenne des valeurs inférieures ou égale à 4. Déduisez-en que l’affirmation 
est équivalente à 
. Déterminez le nombre réel 
qui vérifie cette égalité en utilisant la relation fonctionnelle liant logarithme népérien et exponentielle.
Partie C
équivaut à 
Puis, utilisez une calculatrice pour conclure en prenant bien en compte la précision demandée pour la valeur approchée de l’écart type.
Partie A
> 1. Construire un arbre pondéré
- Premier niveau de l’arbre : la peluche répond-elle aux normes ?
9 % des nouveaux jouets ne répondent pas aux normes. Par suite, la probabilité que l’événement 
, événement contraire de l’événement 
, se réalise est 
et la probabilité de l’événement 
est 
.
- Deuxième niveau de l’arbre : la peluche passe-t-elle les tests ?
96 % des peluches répondant aux normes sont acceptées par les tests. Par suite, la probabilité que l’événement 
se réalise sachant que l’événement 
est réalisé est : 
. Comme la somme des probabilités indiquées sur les branches issues d’un même nœud (ici, le nœud 
) est égale à 1, 
.
97 % des peluches ne répondant pas aux normes ne sont pas acceptées à l’issue des tests. Par suite, la probabilité que l’événement 
se réalise sachant que l’événement 
est réalisé est : 
. Comme la somme des probabilités indiquées sur les branches issues d’un même nœud (ici, le nœud 
) est égale à 1, 
.
> 2. Calculer une probabilité à l’aide d’un arbre
La probabilité qu’une peluche soit acceptée à l’issue des tests est la probabilité de l’événement 
. L’événement 
est associé à deux feuilles : 
et 
. Par conséquent, la probabilité de l’événement 
est la somme des probabilités de ces feuilles :
> 3. Calculer une probabilité conditionnelle
La probabilité à déterminer est une probabilité conditionnelle : c’est la probabilité qu’une peluche soit véritablement aux normes en vigueur sachant qu’elle a été acceptée à l’issue des tests. Cette probabilité conditionnelle se note 
et par définition :
Notez bien
Un dix-millième correspond à 
.
Partie B
> 1. Déterminer le paramètre d’une loi exponentielle
- La densité associée à une loi exponentielle étant nulle sur l’intervalle
nous avons alors 
, égalité somme toute logique, la durée de vie d’une peluche ne pouvant pas être négative. - Par définition,
est l’aire en unités d’aire du domaine délimité par la courbe représentative de la densité associée à la loi exponentielle de paramètre 
, l’axe des abscisses et les droites d’équation 
et 
Cela se traduit à l’aide d’une intégrale par :
.
Une primitive de la fonction 
(sur 
) étant 
nous en déduisons que :
.
Notez bien
Pour tout réel 
et tout réel 
, 
.
- Comme
(égalité précisée dans l’énoncé), nous avons :
(valeur approchée au dix-millième).
> 2. Calculer une probabilité dans le cadre d’une loi exponentielle
La probabilité à déterminer est une probabilité conditionnelle : probabilité que la sœur garde la peluche sans dommage majeur au moins cinq années supplémentaires sachant que le jeune propriétaire a déjà joué exactement trois ans avec cette peluche. Elle se note 
. Comme la variable aléatoire 
suit une loi exponentielle et comme une loi exponentielle vérifie la propriété de durée de vie sans vieillissement, nous avons 
.
Il s’ensuit que :
Notez bien
Partie C
> 1. Identifier la loi suivie par une variable aléatoire
Comme 
(espérance de la variable aléatoire 
), la variable aléatoire 
s’écrit :
.
Notez bien
Pour la loi normale centrée réduite, 
et 
.
Comme 
suit la loi normale d’espérance 
et d’écart type 
alors, par définition, 
> 2. Déterminer l’écart type d’une loi normale
On sait que 
Déterminons une valeur approchée de l’écart type 
à l’aide d’une calculatrice.
Attention !
La lettre X sur la calculatrice remplace ici le paramètre 
de l’énoncé.
Éditeur de fonctions
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Réglage de la table (début de table, pas de table)
Notez bien
Un écart type est un nombre réel strictement positif.
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Lecture de la table
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