S’entraîner
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exercice 4
M. et Mme Martin veulent construire une terrasse en béton dans leur jardin. Ils souhaitent que leur terrasse ait une hauteur de 15 cm.
Les représentations ci-dessous ne sont pas à l’échelle.
Rappel. Le volume d’un prisme est donné par la formule :
𝒱 = Airebase × Hauteur.
▶ 2. Afin de pouvoir couler le béton, M. et Mme Martin doivent délimiter la terrasse en installant des planches tout autour. Quelle longueur de planches doivent-ils acheter au minimum ?
▶ 3. M. et Mme Martin souhaitent réaliser 4 m3 de béton.
a) Montrer que le volume de la terrasse est bien inférieur à 4 m3.
b) Sachant que pour faire 1 m3 de béton, il faut 250 kg de ciment, quelle masse de ciment (en kg) doivent-ils acheter pour réaliser 4 m3 de béton ?
c) Pour faire du béton, on ajoute de l’eau à un mélange de ciment, de gravier et de sable. Dans ce mélange, les masses de ciment - gravier - sable sont dans le ratio 2 : 7 : 5. Déterminer (en kg) la masse de gravier et la masse de sable nécessaires pour réaliser les 4 m3 de béton.
▶ 4. M. et Mme Martin souhaitent peindre la surface supérieure de leur terrasse. À l’aide des documents 1, 2 et 3, déterminer le type et le nombre de pots nécessaires pour effectuer ces travaux avec un coût minimum.
Document 1Pots de peinture proposés
Pot A | Pot B | |
|---|---|---|
Contenance (en litres) | 5 | 10 |
Prix (en euros) | 79,90 | 129,90 |
Document 2L’offre du mois
Document 3
Deux couches de peinture sont nécessaires.
1 litre de peinture permet de réaliser une couche de 5 m2.
Les clés du sujet
L’intérêt du sujet
L’étude de ce cas concret met en évidence l’importance des mathématiques pour un projet : calcul de volume, prix minimal à payer…
Nos coups de pouce, question par question
▶ 1. Calculer des longueurs | Compare les longueurs HG et EF. |
▶ 2. Utiliser le théorème de Pythagore | La longueur de planches à acheter correspond au périmètre du polygone EJGH. |
▶ 3. Calculer certaines grandeurs d’un solide et utiliser des ratios | a) Pense à convertir toutes les longueurs en mètres. c) Mets en relation la masse de ciment calculée au b) avec le nombre 2 du ratio des masses pour faire le mélange de béton. |
▶ 4. Résoudre un problème concret | Calcule le nombre de pots nécessaires pour peindre la terrasse en double couche, puis n’oublie pas d’utiliser la promo du mois. |
▶ 1. EFGH est un rectangle donc EF = HG = 6 m et EH = GF = 3 m. Comme le point F appartient à [EJ], on en déduit que :
FJ = EJ − EF = 10 − 6 = 4 m.
▶ 2. Il faut calculer le périmètre du quadrilatère EJGH :
Périmètre(EJGH) = EJ + JG + GH + HE = 10 + JG + 6 + 3 = 19 + JG.
Calcul de JG :
GFJ est un triangle rectangle en F, on peut utiliser le théorème de Pythagore : JG2 = JF2 + FG2 = 42 + 32 = 25.
Comme JG est une longueur, JG est positive. On obtient
JG = m.
Périmètre(EJGH) = 19 + JG = 19 + 5 = 24 m.
Ils doivent acheter au moins 24 mètres de planches.
attention !
Pour calculer un périmètre, une aire ou un volume, toutes les longueurs doivent avoir la même unité !
▶ 3. a) La terrasse est un prisme dont l’aire de la base est égale à la somme des aires de EFGH et de GFJ.
Aire(EFGH) = Longueur × largeur = 3 × 6 = 18 m2.
Aire(GFJ) = m2.
Donc Aire(base du prisme) = 18 + 6 = 24 m2.
L’épaisseur de la terrasse est de 15 cm, c’est-à-dire 0,15 m.
Volume(terrasse) = 24 × 0,15 = 3,6 m3, et 3,6 < 4.
Le volume de la terrasse est bien inférieur à 4 m3.
b) Pour faire 1 m3 de béton, il faut 250 kg de ciment. Donc, pour faire 4 m3, il faudra 4 fois plus de ciment, c’est-à-dire 4 × 250 = 1 000 kg.
c) Pour faire du béton, il faut mélanger 2 masses m de ciment avec 7 masses m de graviers et 5 masses m de sable.
Pour faire 4 m3 de béton, M. et Mme Martin ont besoin de 1 000 kg de ciment. Donc m = 1 000 ÷ 2 = 500 kg.
On en déduit que :
la masse de graviers vaut 7 × 500 kg = 3 500 kg ;
la masse de sable est de 5 × 500 kg = 2 500 kg.
▶ 4. D’après la question 3. a), la surface à peindre de la terrasse mesure 24 m2. Comme deux couches de peinture sont nécessaires, Mme et M. Martin vont peindre au total 48 m2.
D’après le document 3, 1 L de peinture permet de peindre 5 m2, on calcule donc . Il faut donc 9,6 L de peinture précisément.
Comme les pots ont une contenance de 5 L ou 10 L, il faut acheter 10 L de peinture. Deux possibilités s’offrent à Mme et M. Martin : 1 pot B de 10 L à 129,90 € ou 2 pots A de 5 L à 79,90 € l’unité.
D’après le document 2, le deuxième pot est à moitié prix.
Prix de 2 pots A avec l’offre du mois : , et 119,85 < 129,90.
Mme et M. Martin doivent acheter 2 pots A de 5 L pour effectuer ces travaux avec un coût minimum. Cela leur coûtera 119,85 €.