Ça pousse, ça pousse !

Merci !

Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Suites numériques
Type : Exercice | Année : 2015 | Académie : Pondichéry


Pondichéry • Avril 2015

Exercice 2 • 5 points

Ça pousse, ça pousse !

Partie A

Soit (un) la suite définie par son premier terme u0 et, pour tout entier naturel n, par la relation un+1 = aun + b (a et b réels non nuls tels que a ≠ 1).

On pose, pour tout entier naturel n, 239002-Eqn7

 1. Démontrer que la suite (vn) est géométrique de raison a.

 2. En déduire que si a appartient à l’intervalle ]−1 ; 1[, alors la suite (un) a pour limite 239002-Eqn8

Partie B

En mars 2015, Max achète une plante verte mesurant 80 cm. On lui conseille de la tailler tous les ans, au mois de mars, en coupant un quart de sa hauteur. La plante poussera alors de 30 cm au cours des douze mois suivants.

Dès qu’il rentre chez lui, Max taille sa plante.

 1. Quelle sera la hauteur de la plante en mars 2016 avant que Max ne la taille ?

 2. Pour tout entier naturel n, on note hn la hauteur de la plante, avant sa taille, en mars de l’année (2015 + n).

a) Justifier que, pour tout entier naturel n, hn+1 = 0,75 hn + 30.

b) Conjecturer à l’aide de la calculatrice le sens de variations de la suite (hn).

Démontrer cette conjecture (on pourra utiliser un raisonnement par récurrence).

c) La suite (hn) est-elle convergente ? Justifier la réponse.

Les clés du sujet

Durée conseillée : 60 minutes.

Les thèmes clés

Suites géométriques • Limite d’une suite géométrique.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Suite géométrique E4a • E4b Partie A, 1. et 2.

Limite d’une suite géométrique E4d Partie A, 2.

Raisonnement par récurrence E1 Partie B, 2. b)

Variations d’une suite E2 Partie B, 2. b)

Nos coups de pouce

Partie A

 2. Pensez à donner l’expression de 239002-Eqn23 en fonction de 239002-Eqn24 (formule explicite) avant de passer au calcul de limite.

Partie B

 2. c) Évitez ici d’utiliser le théorème de la limite monotone : il faudrait pour cela disposer d’un majorant de la suite. Faites plutôt le lien avec les résultats de la question 2. de la partie A.

Corrigé

Corrigé

Partie A

 1. Démontrer qu’une suite est géométrique

Pour tout entier naturel 239002-Eqn137 :

239002-Eqn138

Par conséquent, la suite 239002-Eqn139 est géométrique de raison 239002-Eqn140.

 2. Déterminer la limite d’une suite

Comme la suite 239002-Eqn141 est géométrique de raison 239002-Eqn142, nous pouvons écrire, pour tout entier naturel 239002-Eqn143 : 239002-Eqn144.

Si 239002-Eqn145, alors 239002-Eqn146 et, par produit, 239002-Eqn147.

Comme, pour tout entier naturel 239002-Eqn148, 239002-Eqn149, nous en déduisons que 239002-Eqn150 et, par somme de limites, nous avons : 239002-Eqn151.

Finalement, si 239002-Eqn152, alors la suite 239002-Eqn153 a pour limite 239002-Eqn154.

Partie B

 1. Extraire de l’information pour calculer une valeur

La plante verte mesurant 80 cm en mars 2015, si Max la taille en coupant un quart de sa hauteur, il restera les trois-quarts de ladite hauteur, soit 239002-Eqn155 cm. Si la plante repousse de 30 cm les douze mois suivants, la hauteur de la plante verte en mars 2016 sera égale à 239002-Eqn156 cm.

La hauteur de la plante en mars 2016 est donc 90 cm.

 2. a) Justifier une formule de récurrence

Soit 239002-Eqn157 un entier naturel.

239002-Eqn158 est la hauteur de la plante (en cm) en mars de l’année (2015 + n) avant sa taille.

Elle perdra un quart de sa hauteur après la taille et repoussera de 30 cm les douze mois suivants.

En mars (2015 + (n+1)), la hauteur 239002-Eqn159de la plante sera donc égale à :

239002-Eqn160.

b) Émettre une conjecture à l’aide de la calculatrice et la démontrer

TI 83 Plus.fr

CASIO GRAPH 75

matT_1504_12_01C_11

matT_1504_12_01C_12

Nous pouvons conjecturer que la suite 239002-Eqn161 est croissante.

Démontrons cette conjecture par récurrence.

Soit P(n) la propriété : 239002-Eqn162.

Initialisation

239002-Eqn163 et 239002-Eqn164 (question B 1.) donc 239002-Eqn165. La propriété P(0) est vérifiée.

La propriété P(n) est donc initialisée.

Hérédité

Supposons que la propriété P(k) soit vraie pour un entier naturel 239002-Eqn166donné :

239002-Eqn167 (hypothèse de récurrence).

Démontrons alors que P(239002-Eqn168) est vérifiée.

239002-Eqn169

P(239002-Eqn170) est vérifiée.

La propriété P(n) est donc héréditaire.

Comme la propriété P(n) est initialisée et héréditaire, nous pouvons en conclure qu’elle est vraie pour tout entier naturel 239002-Eqn171. Par conséquent, pour tout entier naturel 239002-Eqn172, 239002-Eqn173.

Cela signifie que la suite 239002-Eqn174est croissante.

c) Étudier la convergence d’une suite

La relation de récurrence 239002-Eqn175 est de la forme 239002-Eqn176 avec 239002-Eqn177 et 239002-Eqn178.

D’après la partie A, comme 239002-Eqn179, la suite 239002-Eqn180 a pour limite 239002-Eqn181.

La suite 239002-Eqn182est donc convergente et sa limite est 120.

Remarque. Cela signifie qu’à long terme, la hauteur limite de la plante verte sera 1,20 m.