Ça pousse, ça pousse !

Merci !

Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Suites numériques
Type : Exercice | Année : 2015 | Académie : Pondichéry


Pondichéry • Avril 2015

Exercice 2 • 5 points

Ça pousse, ça pousse !

Partie A

Soit (un) la suite définie par son premier terme u0 et, pour tout entier naturel n, par la relation un+1 = aun + b (a et b réels non nuls tels que a ≠ 1).

On pose, pour tout entier naturel n, 239002-Eqn7

 1. Démontrer que la suite (vn) est géométrique de raison a.

 2. En déduire que si a appartient à l’intervalle ]−1 ; 1[, alors la suite (un) a pour limite 239002-Eqn8

Partie B

En mars 2015, Max achète une plante verte mesurant 80 cm. On lui conseille de la tailler tous les ans, au mois de mars, en coupant un quart de sa hauteur. La plante poussera alors de 30 cm au cours des douze mois suivants.

Dès qu’il rentre chez lui, Max taille sa plante.

 1. Quelle sera la hauteur de la plante en mars 2016 avant que Max ne la taille ?

 2. Pour tout entier naturel n, on note hn la hauteur de la plante, avant sa taille, en mars de l’année (2015 + n).

a) Justifier que, pour tout entier naturel n, hn+1 = 0,75 hn + 30.

b) Conjecturer à l’aide de la calculatrice le sens de variations de la suite (hn).

Démontrer cette conjecture (on pourra utiliser un raisonnement par récurrence).

c) La suite (hn) est-elle convergente ? Justifier la réponse.

Les clés du sujet

Durée conseillée : 60 minutes.

Les thèmes clés

Suites géométriques • Limite d’une suite géométrique.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Suite géométrique E4a • E4b Partie A, 1. et 2.

Limite d’une suite géométrique E4d Partie A, 2.

Raisonnement par récurrence E1 Partie B, 2. b)

Variations d’une suite E2 Partie B, 2. b)

Nos coups de pouce

Partie A

 2. Pensez à donner l’expression de 239002-Eqn23 en fonction de 239002-Eqn24 (formule explicite) avant de passer au calcul de limite.

Partie B

 2. c) Évitez ici d’utiliser le théorème de la limite monotone : il faudrait pour cela disposer d’un majorant de la suite. Faites plutôt le lien avec les résultats de la question 2. de la partie A.