Annale corrigée Exercice

Ca pousse, ça pousse !

Suites numériques

Ça pousse, ça pousse !

1 heure

5 points

Intérêt du sujet  Le haricot magique ! La plante de Max pousse tous les ans, et tous les ans il la coupe. Sa hauteur forme une suite numérique que l'on étudie à l'aide d'une suite géométrique.

 

Partie A

Soit (un) la suite définie par son premier terme u0 et, pour tout entier naturel n, par la relation un+1 = aun+ b (a et b réels non nuls tels que a ≠ 1).

On pose, pour tout entier naturel n, vn=unb1a.

 1. Démontrer que la suite (vn) est géométrique de raison a.

 2. En déduire que si a appartient à l'intervalle ]−1 ; 1[, alors la suite (un) a pour limite b1a.

Partie B

En mars 2015, Max achète une plante verte mesurant 80 cm. On lui conseille de la tailler tous les ans, au mois de mars, en coupant un quart de sa hauteur. La plante poussera alors de 30 cm au cours des douze mois suivants.

Dès qu'il rentre chez lui, Max taille sa plante.

 1. Quelle sera la hauteur de la plante en mars 2016 avant que Max ne la taille ?

 2. Pour tout entier naturel n, on note hn la hauteur de la plante, avant sa taille, en mars de l'année (2015 + n).

a) Justifier que, pour tout entier naturel n, hn+1 = 0,75 hn + 30.

b) Conjecturer à l'aide de la calculatrice le sens de variations de la suite (hn).

Démontrer cette conjecture (on pourra utiliser un raisonnement par récurrence).

c) La suite (hn) est-elle convergente ? Justifier la réponse.

Les clés du sujet

Partie A

 2. Pensez à donner l'expression de vn en fonction de n (formule explicite) avant de passer au calcul de limite.

Partie B

 2. c) Évitez ici d'utiliser le théorème de la limite monotone : il faudrait pour cela disposer d'un majorant de la suite. Faites plutôt le lien avec les résultats de la question 2. de la partie A.

Partie A

 1. Démontrer qu'une suite est géométrique

Pour tout entier naturel n :

vn+1=un+1b1a=aun+bb1a=aun+b×(1a)1ab1a=aunab1a=a×unb1a=a×vn.

Par conséquent, la suite (vn) est géométrique de raison a.

 2. Déterminer la limite d'une suite

Comme la suite (vn) est géométrique de raison a, nous pouvons écrire, pour tout entier naturel n : vn=v0×an.

Si a1;1, alors limn+an=0 et, par produit, limn+vn=0.

Comme, pour tout entier naturel n, vn=unb1a, nous en déduisons que un=vn+b1a et, par somme de limites, nous avons : limn+un=0+b1a=b1a.

Finalement, si a1;1, alors la suite (un) a pour limite b1a.

Partie B

 1. Extraire de l'information pour calculer une valeur

La plante verte mesurant 80 cm en mars 2015, si Max la taille en coupant un quart de sa hauteur, il restera les trois-quarts de ladite hauteur, soit 80×0,75=60 cm. Si la plante repousse de 30 cm les douze mois suivants, la hauteur de la plante verte en mars 2016 sera égale à 60+30=90 cm.

La hauteur de la plante en mars 2016 est donc 90 cm.

 2. a) Justifier une formule de récurrence

Soit n un entier naturel.

hn est la hauteur de la plante (en cm) en mars de l'année (2015 + n) avant sa taille.

Elle perdra un quart de sa hauteur après la taille et repoussera de 30 cm les douze mois suivants.

En mars (2015 + (n+1)), la hauteur hn+1 de la plante sera donc égale à :

hn+1=hn0,25hntaille+30repousse=0,75hn+30.

b) Émettre une conjecture à l'aide de la calculatrice et la démontrer

Tableau de 2 lignes, 2 colonnes ;Corps du tableau de 2 lignes ;Ligne 1 : TI 83 Plus.fr; CASIO GRAPH 75; Ligne 2 : ; ;

Nous pouvons conjecturer que la suite (hn) est croissante.

Démontrons cette conjecture par récurrence.

Soit P(n) la propriété : hnhn+1.

Initialisation

h0=80 et h1=90 (question B 1.) donc h0h1. La propriété P(0) est vérifiée.

La propriété P(n) est donc initialisée.

Hérédité

Supposons que la propriété P(k) soit vraie pour un entier naturel k donné :

hkhk+1 (hypothèse de récurrence).

Démontrons alors que P(k+1) est vérifiée.

hkhk+10,75hk0,75hk+10,75hk+300,75hk+1+30hk+1hk+2.

P(k+1) est vérifiée.

La propriété P(n) est donc héréditaire.

Comme la propriété P(n) est initialisée et héréditaire, nous pouvons en conclure qu'elle est vraie pour tout entier naturel n. Par conséquent, pour tout entier naturel n, hnhn+1.

Cela signifie que la suite (hn) est croissante.

c) Étudier la convergence d'une suite

La relation de récurrence hn+1=0,75hn+30 est de la forme hn+1=ahn+b avec a=0,75 et b=30.

D'après la partie A, comme a1;1, la suite (hn) a pour limite b1a=3010,75=120.

La suite (hn) est donc convergente et sa limite est 120.

Remarque. Cela signifie qu'à long terme, la hauteur limite de la plante verte sera 1,20 m.

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