Partie A

▶ 1. Démontrer qu'une suite est géométrique

Pour tout entier naturel $n$ :

$\begin{array}{c}{v}_{n+1}=u_{n+1}-\frac{b}{1-a}=a{u}_n+b-\frac{b}{1-a}=a{u}_n+\frac{b\times (1-a)}{1-a}-\frac{b}{1-a}\\ =a{u}_n-\frac{ab}{1-a}=a\times \left(u_n-\frac{b}{1-a}\right)=a\times v_n.\end{array}$

Par conséquent, la suite $\text{(}{v}_n\text{)}$ est géométrique de raison $a$.

▶ 2. Déterminer la limite d'une suite

Comme la suite $\text{(}{v}_n\text{)}$ est géométrique de raison $a$, nous pouvons écrire, pour tout entier naturel $n$ : $v_n=v_0\times a^n$.

Si $a\in \left]-1;1\right[$, alors $\underset{n\to +\infty }{\lim }{a}^n=0$ et, par produit, $\underset{n\to +\infty }{\lim }{v}_n=0$.

Comme, pour tout entier naturel $n$, $v_n=u_n-\frac{b}{1-a}$, nous en déduisons que $u_n=v_n+\frac{b}{1-a}$ et, par somme de limites, nous avons : $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=0+\frac{b}{1-a}=\frac{b}{1-a}$.

Finalement, si $a\in \left]-1;1\right[$, alors la suite $\text{(}{u}_n\text{)}$ a pour limite $\frac{b}{1-a}$.

Partie B

▶ 1. Extraire de l'information pour calculer une valeur

La plante verte mesurant 80 cm en mars 2015, si Max la taille en coupant un quart de sa hauteur, il restera les trois-quarts de ladite hauteur, soit $80\times \mathrm{0,75}=60$ cm. Si la plante repousse de 30 cm les douze mois suivants, la hauteur de la plante verte en mars 2016 sera égale à $60+30=90$ cm.

La hauteur de la plante en mars 2016 est donc 90 cm.

▶ 2. a) Justifier une formule de récurrence

Soit $n$ un entier naturel.

$h_n$ est la hauteur de la plante (en cm) en mars de l'année (2015 + n) avant sa taille.

Elle perdra un quart de sa hauteur après la taille et repoussera de 30 cm les douze mois suivants.

En mars (2015 + (n+1)), la hauteur $h_{n+1}$ de la plante sera donc égale à :

$h_{n+1}=h_n\underset{\text{taille}}{\underbrace{-\mathrm{0,25}{h}_n}}\underset{\text{repousse}}{\underbrace{+30}}=\mathrm{0,75}{h}_n+30$.

b) Émettre une conjecture à l'aide de la calculatrice et la démontrer

Nous pouvons conjecturer que la suite $\text{(}{h}_n\text{)}$ est croissante.

Démontrons cette conjecture par récurrence.

Soit $\mathcal{P}$(n) la propriété : $h_n\le h_{n+1}$.

Initialisation

$h_0=80$ et $h_1=90$ (question B 1.) donc $h_0\le h_1$. La propriété $\mathcal{P}$(0) est vérifiée.

La propriété $\mathcal{P}$(n) est donc initialisée.

Hérédité

Supposons que la propriété $\mathcal{P}$(k) soit vraie pour un entier naturel $k$ donné :

$h_k\le h_{k+1}$ (hypothèse de récurrence).

Démontrons alors que $\mathcal{P}$($k+1$) est vérifiée.

$\begin{array}{c}{h}_k\le h_{k+1}\Rightarrow \mathrm{0,75}{h}_k\le \mathrm{0,75}{h}_{k+1}\\ \Rightarrow \mathrm{0,75}{h}_k+30\le \mathrm{0,75}{h}_{k+1}+30\iff h_{k+1}\le h_{k+2}.\end{array}$

$\mathcal{P}$($k+1$) est vérifiée.

La propriété $\mathcal{P}$(n) est donc héréditaire.

Comme la propriété $\mathcal{P}$(n) est initialisée et héréditaire, nous pouvons en conclure qu'elle est vraie pour tout entier naturel $n$. Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, $h_n\le h_{n+1}$.

Cela signifie que la suite $\text{(}{h}_n\text{)}$ est croissante.

c) Étudier la convergence d'une suite

La relation de récurrence $h_{n+1}=\mathrm{0,75}{h}_n+30$ est de la forme $h_{n+1}=a{h}_n+b$ avec $a=\mathrm{0,75}$ et $b=30$.

D'après la partie A, comme $a\in \left]-1;1\right[$, la suite $\text{(}{h}_n\text{)}$ a pour limite $\frac{b}{1-a}=\frac{30}{1-\mathrm{0,75}}=120$.

La suite $\text{(}{h}_n\text{)}$ est donc convergente et sa limite est 120.

Remarque. Cela signifie qu'à long terme, la hauteur limite de la plante verte sera 1,20 m.