Calcul d’une aire et bénéfice d’une entreprise

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES | Thème(s) : Intégration
Type : Exercice | Année : 2017 | Académie : Pondichéry

Pondichéry • Avril 2017

Exercice 4 • 6 points • 50 min

Calcul d’une aire et bénéfice d’une entreprise

Les thèmes clés

Fonction exponentielle • Intégrale, calcul d’aire.

 

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.

partie a

Dans cette partie, les réponses seront données sans justification, avec la précision permise par le graphique suivant, qui présente dans un repère d’origine O la courbe représentative C d’une fonction f définie et dérivable sur l’intervalle [0 ; 7].

matT_1704_12_00C_04

1. Encadrer par deux entiers consécutifs chacune des solutions de l’équation f(x)=10 sur l’intervalle [0 ; 7]. (0,5  point)

2. Donner le maximum de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 7] et préciser la valeur en laquelle il est atteint. (0,5 point)

3. La valeur de l’intégrale 13f(x) dx appartient à un seul des intervalles suivants. Lequel ? (0,5 point)

a) [9 ; 17]

b) [18 ; 26]

c) [27 ; 35]

partie b

La courbe donnée dans la partie A (page précédente) est la représentation graphique de la fonction f définie et dérivable sur l’intervalle [0 ; 7] d’expression :

f(x)=2x ex+3.

On rappelle que f désigne la fonction dérivée de la fonction f.

1. Montrer que pour tout réel x de l’intervalle [0 ; 7] :

f(x)=(2x+2)ex+3. (0,5 point)

2. a) Étudier le signe de f(x) sur l’intervalle [0 ; 7], puis en déduire le tableau de variation de la fonction f sur ce même intervalle. (0,5 point)

b) Calculer le maximum de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 7]. (0,5 point)

3. a) Justifier que l’équation f(x)=10 admet deux solutions sur l’intervalle [0 ; 7] que l’on notera α et β avec α < β. (0,5 point)

b) On admet que α 0,36 à 102 près.

Donner une valeur approchée de β à 102 près. (0,5 point)

4. On considère la fonction F définie sur l’intervalle [0 ; 7] par :

F(x)=(2x2)ex+3.

a) Justifier que F est une primitive de f sur l’intervalle [0 ; 7]. (0,5 point)

b) Calculer la valeur exacte de l’aire, en unités d’aire, du domaine plan délimité par les droites d’équation x = 1, x = 3, l’axe des abscisses et la courbe C. (0,5 point)

5. La fonction f étudiée modélise le bénéfice d’une entreprise, en milliers d’euros, réalisé pour la vente de x centaines d’objets (x compris entre 0 et 7).

a) Calculer la valeur moyenne du bénéfice, à l’euro près, lorsque l’entreprise vend entre 100 et 300 objets. (0,5 point)

b) L’entreprise souhaite que son bénéfice soit supérieur à 10 000 euros.

Déterminer le nombre d’objets possibles que l’entreprise devra vendre pour atteindre son objectif. (0,5 point)

Les clés du sujet

Partie A

3. Interprétez l’intégrale comme une aire et utilisez le graphique.

Partie B

3. a) Utilisez le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires.

4. b) Utilisez la primitive de f vue à la question précédente.