Annale corrigée Exercice Ancien programme

Calcul d'une aire et bénéfice d'une entreprise

Pondichéry • Avril 2017

Exercice 4 • 6 points • 50 min

Calcul d'une aire et bénéfice d'une entreprise

Les thèmes clés

Fonction exponentielle • Intégrale, calcul d'aire.

 

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.

partie a

Dans cette partie, les réponses seront données sans justification, avec la précision permise par le graphique suivant, qui présente dans un repère d'origine O la courbe représentative C d'une fonction f définie et dérivable sur l'intervalle [0  7].

matT_1704_12_00C_04

1. Encadrer par deux entiers consécutifs chacune des solutions de l'équation f(x)=10 sur l'intervalle [0  7]. (0,5  point)

2. Donner le maximum de la fonction f sur l'intervalle [0  7] et préciser la valeur en laquelle il est atteint. (0,5 point)

3. La valeur de l'intégrale 13f(x) dx appartient à un seul des intervalles suivants. Lequel ? (0,5 point)

a) [9  17]

b) [18  26]

c) [27  35]

partie b

La courbe donnée dans la partie A (page précédente) est la représentation graphique de la fonction f définie et dérivable sur l'intervalle [0  7] d'expression :

f(x)=2x ex+3.

On rappelle que f désigne la fonction dérivée de la fonction f.

1. Montrer que pour tout réel x de l'intervalle [0  7] :

f(x)=(2x+2)ex+3. (0,5 point)

2. a) Étudier le signe de f(x) sur l'intervalle [0  7], puis en déduire le tableau de variation de la fonction f sur ce même intervalle. (0,5 point)

b) Calculer le maximum de la fonction f sur l'intervalle [0  7]. (0,5 point)

3. a) Justifier que l'équation f(x)=10 admet deux solutions sur l'intervalle [0  7] que l'on notera α et β avec α  β. (0,5 point)

b) On admet que α 0,36 à 102 près.

Donner une valeur approchée de β à 102 près. (0,5 point)

4. On considère la fonction F définie sur l'intervalle [0  7] par :

F(x)=(2x2)ex+3.

a) Justifier que F est une primitive de f sur l'intervalle [0  7]. (0,5 point)

b) Calculer la valeur exacte de l'aire, en unités d'aire, du domaine plan délimité par les droites d'équation x = 1, x = 3, l'axe des abscisses et la courbe C. (0,5 point)

5. La fonction f étudiée modélise le bénéfice d'une entreprise, en milliers d'euros, réalisé pour la vente de x centaines d'objets (x compris entre 0 et 7).

a) Calculer la valeur moyenne du bénéfice, à l'euro près, lorsque l'entreprise vend entre 100 et 300 objets. (0,5 point)

b) L'entreprise souhaite que son bénéfice soit supérieur à 10 000 euros.

Déterminer le nombre d'objets possibles que l'entreprise devra vendre pour atteindre son objectif. (0,5 point)

Les clés du sujet

Partie A

3. Interprétez l'intégrale comme une aire et utilisez le graphique.

Partie B

3. a) Utilisez le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires.

4. b) Utilisez la primitive de f vue à la question précédente.

Corrigé

partie a

1. Donner, par lecture graphique, un encadrement des deux solutions d'une équation

Il existe sur la courbe C deux points d'ordonnée 10, d'abscisses respectives α et β.

Par lecture graphique, l'équation f(x)=10 possède dans [0  7] deux solutions α et β :

0α1et2β3

2. Donner, par lecture graphique, le maximum d'une fonction sur un intervalle

Par lecture graphique, le maximum de la fonction f sur l'intervalle [ 7] est égal à 14,8 environ, et il est atteint en x=1.

3. Donner, par lecture graphique, un encadrement d'une intégrale

La fonction f est continue et positive sur l'intervalle [1  3], donc l'intégrale 13f(x) dx est l'aire, en unités d'aire, du domaine délimité par la courbe C, l'axe des abscisses et les droites d'équations x = 1 et x = 3. L'unité d'aire est l'aire du rectangle dont les sommets sont les points de coordonnées respectives ( 0), ( 0), ( 1), ( 1).

Par lecture graphique :

1813f(x) dx26.

La bonne réponse est b).

partie b

1. Calculer la dérivée d'une fonction

La fonction f est définie et dérivable sur l'intervalle [0  7]  pour tout x dans cet intervalle :

f(x)=2 ex+32x ex+3 

 f(x)=(2x+2) ex+3

2. a) Étudier les variations d'une fonction sur un intervalle

Pour tout réel x, ex+3>0 (la fonction exponentielle est strictement positive sur ), donc f(x) a le signe de - 2x + 2, d'où le tableau :

matT_1704_12_00C_tab1

b) Calculer le maximum d'une fonction sur un intervalle

D'après la question précédente, le maximum de la fonction f sur l'intervalle [0  7] est :

f(1)=2 e214,78

3. a) Justifier qu'une équation possède deux solutions sur un intervalle donné

La fonction f est continue et strictement monotone sur chacun des intervalles [0  1] et [1  7].

De plus, 0  10  f(1) et 14 e410f(1) (car 14 e40,26).

Donc, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f(x)=10 admet une unique solution dans chacun des intervalles [ 1] et [ 7].

b) Donner une valeur approchée d'une solution d'une équation

β est la plus grande des deux solutions de l'équation f(x)=10, donc β [1  7] et f est strictement décroissante sur [1   7].

D'après la calculatrice, f(2,16)10,0067 et f(2,17)9,953, donc :

2,16  β  2,17.

2,16 et 2,17 sont des valeurs approchées de β à 102 près.

4. a) Justifier qu'une fonction est une primitive d'une fonction donnée

F est dérivable sur l'intervalle [0  7] et, pour tout x dans cet intervalle :

F(x)=2 ex+3+(2x2)×(ex+3)

F(x)=2x ex+3

F(x)=f(x).

Donc f est une primitive de f sur l'intervalle [ 7].

b) Calculer une aire

D'après les questions précédentes, la fonction f est continue et positive sur l'intervalle [1  7], donc l'aire A cherchée est :

A=13f(x) dx

A=F(3)F(1)

A=8+4 e2

A=4 (e22)

5. a) Calculer la valeur moyenne du bénéfice d'une entreprise

Puisque f(x) représente le bénéfice en milliers d'euros réalisé pour la vente de x centaines d'objets, la valeur moyenne du bénéfice lorsque l'entreprise vend entre 100 et 300 objets est, en milliers d'euros :

13113f(x) dx = 2(e22).

En euros, la valeur moyenne de ce bénéfice est 2000(e22).

Donc la valeur moyenne du bénéfice, à l'euro près, lorsque l'entreprise vend entre 100 et 300 objets est 10 778 €.

b) Déterminer les productions permettant de réaliser un bénéfice minimal donné

Pour déterminer le nombre d'objets que l'entreprise doit vendre pour réaliser un bénéfice supérieur à 10 000 euros, on résout f(x)>10.

D'après les questions précédentes, cette inégalité équivaut à α  x  β.

x est le nombre de centaines d'objets fabriqués, donc, pour réaliser un bénéfice supérieur à 10 000 euros, l'entreprise doit vendre entre 36 et 216 objets.

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