Nouvelle-Calédonie • Novembre 2014
Exercice 2 • 5 points
Calcul de l’aire d’un domaine délimité par la courbe représentative d’une fonction
La courbe 
ci-après est la représentation graphique d’une fonction 
définie et dérivable sur l’intervalle [−1 ; 2].
On note 
la fonction dérivée de la fonction 
.
Le point G a pour coordonnées (0 ; 2).
Le point H a pour coordonnées (1 ; 3).
La droite (GH) est la tangente à la courbe 
au point G.
La courbe 
admet une tangente horizontale au point S d’abscisse 
.
Le domaine coloré est délimité par l’axe des abscisses, l’axe des ordonnées, la droite d’équation 
et la courbe 
.
PARTIE A
Dans cette partie, aucune justification n’est demandée. Par lecture graphique :
▶ 1. Donner les valeurs de 
et 
. (0,5 point)
▶ 2. Résoudre sur [−1 ; 2] l’inéquation 
. (0,75 point)
▶ 3. Encadrer par deux entiers consécutifs l’aire, exprimée en unités d’aire, du domaine coloré sur le graphique. (0,75 point)
PARTIE B
On admet que la fonction 
est définie sur [−1 ; 2] par : 
, où 
et 
sont deux réels.
▶ 1. Calculer 
. (0,75 point)
▶ 2. Justifier que 
et 
. (0,75 point)
▶ 3. Déterminer, sur [−1 ; 2], une primitive 
de la fonction 
. (0,5 point)
▶ 4. En déduire la valeur exacte, en unités d’aire, de l’aire du domaine coloré sur le graphique. (1 point)
Les clés du sujet
Durée conseillée : 45 minutes
Les thèmes en jeu
Dérivée • Tangente • Fonction exponentielle • Primitive • Intégrale, calcul d’aire
Les conseils du correcteur
Partie A
▶ 1. Pensez à l’interprétation graphique du nombre dérivé.
▶ 2. Le signe de 
correspond au sens de variation de la fonction 
.
▶ 3. Comptez les carreaux et faites attention à l’unité de longueur.
Partie B
▶ 1. Il faut trouver une expression de 
en fonction de 
et 
.
▶ 2. Utilisez les valeurs trouvées à la question 1. de la partie A.
▶ 4. L’aire cherchée est une intégrale qui peut être calculée facilement à l’aide de la primitive déterminée à la question précédente.