Nouvelle-Calédonie • Novembre 2014
Exercice 2 • 5 points
Calcul de l'aire d'un domaine délimité par la courbe représentative d'une fonction
La courbe 
ci-après est la représentation graphique d'une fonction 
définie et dérivable sur l'intervalle [−1 2].
On note 
la fonction dérivée de la fonction 
.
Le point G a pour coordonnées (0 2).
Le point H a pour coordonnées (1 3).
La droite (GH) est la tangente à la courbe 
au point G.
La courbe 
admet une tangente horizontale au point S d'abscisse 
.
Le domaine coloré est délimité par l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées, la droite d'équation 
et la courbe 
.
PARTIE A
Dans cette partie, aucune justification n'est demandée. Par lecture graphique :
▶ 1. Donner les valeurs de 
et 
. (0,5 point)
▶ 2. Résoudre sur [−1 2] l'inéquation 
. (0,75 point)
▶ 3. Encadrer par deux entiers consécutifs l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine coloré sur le graphique. (0,75 point)
PARTIE B
On admet que la fonction 
est définie sur [−1 2] par : 
, où 
et 
sont deux réels.
▶ 1. Calculer 
. (0,75 point)
▶ 2. Justifier que 
et 
. (0,75 point)
▶ 3. Déterminer, sur [−1 2], une primitive 
de la fonction 
. (0,5 point)
▶ 4. En déduire la valeur exacte, en unités d'aire, de l'aire du domaine coloré sur le graphique. (1 point)
Les clés du sujet
Durée conseillée : 45 minutes
Les thèmes en jeu
Dérivée • Tangente • Fonction exponentielle • Primitive • Intégrale, calcul d'aire
Les conseils du correcteur
Partie A
▶ 1. Pensez à l'interprétation graphique du nombre dérivé.
▶ 2. Le signe de 
correspond au sens de variation de la fonction 
.
▶ 3. Comptez les carreaux et faites attention à l'unité de longueur.
Partie B
▶ 1. Il faut trouver une expression de 
en fonction de 
et 
.
▶ 2. Utilisez les valeurs trouvées à la question 1. de la partie A.
▶ 4. L'aire cherchée est une intégrale qui peut être calculée facilement à l'aide de la primitive déterminée à la question précédente.
Corrigé
PARTIE A
▶ 1. Déterminer deux nombres par lecture graphique
La courbe 
passe par le point 
, donc :
est le coefficient directeur de la tangente à 
au point d'abscisse 0. Cette tangente est la droite (GH) dont le coefficient directeur est 1, donc :
▶ 2. Déterminer un intervalle sur lequel la dérivée d'une fonction a un signe donné
est décroissante sur l'intervalle 
et croissante sur l'intervalle
Donc l'ensemble des solutions de l'inéquation 
est l'intervalle [ln 2 2].
▶ 3. Donner un encadrement d'une aire
Une unité d'aire correspond sur le graphique à 4 carreaux.
Donc l'aire A, en unités d'aire, du domaine coloré, est comprise entre 2 et 3.
PARTIE B
▶ 1. Calculer la dérivée d'une fonction
Pour tout 
appartenant à 
:
.
▶ 2. Déterminer deux nombres associés à l'expression d'une fonction
, donc, en remplaçant 
par 0 dans l'expression de 
, 
, d'où :
, donc 
, d'où :
Donc, pour tout 
appartenant à 
:
▶ 3. Déterminer une primitive d'une fonction
Notez bien
On vérifie facilement que, pour tout 
appartenant à 
:
Une primitive de 
sur 
est la fonction :
▶ 4. Calculer la valeur exacte de l'aire d'un domaine délimité par la courbe représentative d'une fonction
Conseil
N'oubliez pas de vérifier que cette valeur est cohérente avec l'encadrement donné à la question 3. de la partie A. Par lecture graphique, l'aire (en unités d'aire) du domaine hachuré est comprise entre 2 et 3.
Or 
à 
près, donc la valeur calculée est bien comprise entre 2 et 3.
La fonction 
est positive sur 
, donc l'aire A, en unités d'aire, du domaine coloré est égale à :
