Calcul de l'aire d'un domaine délimité par la courbe représentative d'une fonction

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Intégration
Type : Exercice | Année : 2014 | Académie : Nouvelle-Calédonie

 

Nouvelle-Calédonie • Novembre 2014

Exercice 2 • 5 points

Calcul de l’aire d’un domaine délimité par la courbe représentative d’une fonction

La courbe 1742376-Eqn20 ci-après est la représentation graphique d’une fonction 1742376-Eqn21 définie et dérivable sur l’intervalle [−1 ; 2].

On note 1742376-Eqn22 la fonction dérivée de la fonction 1742376-Eqn23.

Le point G a pour coordonnées (0 ; 2).

Le point H a pour coordonnées (1 ; 3).

La droite (GH) est la tangente à la courbe 1742376-Eqn24 au point G.

La courbe 1742376-Eqn25 admet une tangente horizontale au point S d’abscisse 1742376-Eqn26.

Le domaine coloré est délimité par l’axe des abscisses, l’axe des ordonnées, la droite d’équation 1742376-Eqn27 et la courbe 1742376-Eqn28.

matT_1411_11_00C_01

PARTIE A

Dans cette partie, aucune justification n’est demandée. Par lecture graphique :

1. Donner les valeurs de 1742376-Eqn29 et 1742376-Eqn30. (0,5 point)

2. Résoudre sur [−1 ; 2] l’inéquation 1742376-Eqn31. (0,75 point)

3. Encadrer par deux entiers consécutifs l’aire, exprimée en unités d’aire, du domaine coloré sur le graphique. (0,75 point)

PARTIE B

On admet que la fonction 1742376-Eqn32 est définie sur [−1 ; 2] par : 1742376-Eqn33, où 1742376-Eqn34 et 1742376-Eqn35 sont deux réels.

1. Calculer 1742376-Eqn36. (0,75 point)

2. Justifier que 1742376-Eqn37 et 1742376-Eqn38. (0,75 point)

3. Déterminer, sur [−1 ; 2], une primitive 1742376-Eqn39 de la fonction 1742376-Eqn40. (0,5 point)

4. En déduire la valeur exacte, en unités d’aire, de l’aire du domaine coloré sur le graphique. (1 point)

Les clés du sujet

Durée conseillée : 45 minutes

Les thèmes en jeu

Dérivée • Tangente • Fonction exponentielle • Primitive • Intégrale, calcul d’aire

Les conseils du correcteur

Partie A

1. Pensez à l’interprétation graphique du nombre dérivé.

2. Le signe de 1742376-Eqn108 correspond au sens de variation de la fonction 1742376-Eqn109.

3. Comptez les carreaux et faites attention à l’unité de longueur.

Partie B

1. Il faut trouver une expression de 1742376-Eqn110 en fonction de 1742376-Eqn111 et 1742376-Eqn112.

2. Utilisez les valeurs trouvées à la question 1. de la partie A.

4. L’aire cherchée est une intégrale qui peut être calculée facilement à l’aide de la primitive déterminée à la question précédente.

Corrigé

Corrigé

PARTIE A

1. Déterminer deux nombres par lecture graphique

La courbe 1742376-Eqn143 passe par le point 1742376-Eqn144, donc :

1742376-Eqn146

1742376-Eqn147 est le coefficient directeur de la tangente à 1742376-Eqn148 au point d’abscisse 0. Cette tangente est la droite (GH) dont le coefficient directeur est 1, donc :

1742376-Eqn149

2. Déterminer un intervalle sur lequel la dérivée d’une fonction a un signe donné

1742376-Eqn150est décroissante sur l’intervalle 1742376-Eqn151 et croissante sur l’intervalle1742376-Eqn152

Donc l’ensemble des solutions de l’inéquation 1742376-Eqn153 est l’intervalle [ln 2 ; 2].

3. Donner un encadrement d’une aire

Une unité d’aire correspond sur le graphique à 4 carreaux.

Donc l’aire A, en unités d’aire, du domaine coloré, est comprise entre 2 et 3.

PARTIE B

1. Calculer la dérivée d’une fonction

Pour tout 1742376-Eqn154 appartenant à 1742376-Eqn155 :

1742376-Eqn156.

2. Déterminer deux nombres associés à l’expression d’une fonction

1742376-Eqn158, donc, en remplaçant 1742376-Eqn159 par 0 dans l’expression de 1742376-Eqn160, 1742376-Eqn161, d’où :

1742376-Eqn162

1742376-Eqn163, donc 1742376-Eqn164, d’où :

1742376-Eqn165

Donc, pour tout 1742376-Eqn166 appartenant à 1742376-Eqn167 :

1742376-Eqn168

3. Déterminer une primitive d’une fonction

Notez bien

On vérifie facilement que, pour tout 1742376-Eqn169 appartenant à 1742376-Eqn170 :

1742376-Eqn171

Une primitive de 1742376-Eqn172 sur 1742376-Eqn173 est la fonction :

1742376-Eqn174

4. Calculer la valeur exacte de l’aire d’un domaine délimité par la courbe représentative d’une fonction

Conseil

N’oubliez pas de vérifier que cette valeur est cohérente avec l’encadrement donné à la question 3. de la partie A. Par lecture graphique, l’aire (en unités d’aire) du domaine hachuré est comprise entre 2 et 3.

Or 1742376-Eqn175 à 1742376-Eqn176 près, donc la valeur calculée est bien comprise entre 2 et 3.

La fonction 1742376-Eqn177 est positive sur 1742376-Eqn178, donc l’aire A, en unités d’aire, du domaine coloré est égale à :

1742376-Eqn179

1742376-Eqn180