▶ 1. a) Montrer qu'un vecteur de coordonnées est normal à un plan

Les vecteurs $\overrightarrow{\text{AB}}$ et $\overrightarrow{\text{AC}}$ forment une base du plan (ABC), donc $\overrightarrow{n}$ est normal à ce plan si et seulement si $\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{\text{AB}}=0$ et $\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{\text{AC}}=0$.

On a $\overrightarrow{\text{AB}}\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ 0\end{array}\right)$ et $\overrightarrow{\text{AC}}\left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.

On en déduit $\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{\text{AB}}=-6+6=0$ et $\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{\text{AC}}=-6+6=0$.

Donc le vecteur $\overrightarrow{n}\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 6\end{array}\right)$ est normal au plan (ABC).

b) Déterminer une équation cartésienne d'un plan

D'après la question précédente, le plan (ABC) a une équation cartésienne de la forme 3x + 2y + 6z + d = 0.

A ∈ (ABC), donc ses coordonnées vérifient l'équation précédente, soit 6 + d = 0, d'où d = - 6.

Donc une équation cartésienne du plan (ABC) est : $3x+2y+6z-6=0$.

▶ 2. a) Déterminer une représentation paramétrique d'une droite

Puisque la droite $\mathcal{D}$ est orthogonale au plan (ABC), le vecteur $\overrightarrow{n}\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 6\end{array}\right)$ est un vecteur directeur de $\mathcal{D}$.

Comme en outre $\mathcal{D}$ passe par le point O, elle a pour représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l}x=3t\\ y=2t\\ z=6t\end{array}\right., t\in \text{ℝ}$.

b) Déterminer les coordonnées du point d'intersection d'une droite et d'un plan

$\mathcal{D}$ est orthogonale au plan (ABC), donc elle est sécante à ce plan ; $\mathcal{D}$ et (ABC) ont un unique point commun H.

Puisque H appartient à la droite $\mathcal{D}$, ses coordonnées sont de la forme (3t ; 2t ; 6t), avec t ∈ ℝ. Comme H ∈ (ABC), ses coordonnées vérifient l'équation cartésienne de ce plan :

9t + 4t + 36t - 6 = 0

soit :

$t=\frac{6}{49}$.

On remplace t par cette valeur dans les expressions de x, y et z de la représentation paramétrique de $\mathcal{D}$ obtenue à la question 2. a) ; on a donc $\text{H}\left(\frac{18}{49} ; \frac{12}{49} ; \frac{36}{49}\right)$.

c) Calculer la distance de deux points

O a pour coordonnées (0 ; 0 ; 0). Si on note (x_H ; y_H ; z_H) les coordonnées du point H, on a, d'après la formule du cours : $\text{OH}=\sqrt[]{x_{\text{H}}^2+y_{\text{H}}^2+z_{\text{H}}^2}$, soit OH = $\sqrt[]{\frac{{18}^2+{12}^2+{36}^2}{{49}^2}}$ et OH = $\sqrt[]{\frac{1 764}{2 401}}$, d'où finalement :

$\boxed{\text{OH}=\frac{6}{7}}$

▶ 3. Déterminer l'aire d'un triangle

Le volume d'une pyramide est $\mathcal{V}=\frac{1}{3}\mathcal{B}h$, où B est l'aire d'une base et h est la hauteur de la pyramide correspondant à cette base. Chaque face de la pyramide peut être considérée comme une base, on mesure alors la hauteur perpendiculairement à cette base.

Soit 𝒱 le volume de la pyramide OABC et $\mathcal{A}$ l'aire du triangle ABC.

La hauteur de la pyramide correspondant à la base ABC est OH.

Donc $\mathcal{V}=\frac{1}{3}\times \mathcal{A}\times \frac{6}{7}$, c'est-à-dire $\boxed{\mathcal{V}=\frac{2}{7}\mathcal{A}}$.

Si on prend comme base OBC, la hauteur correspondante est OA et on a :

$\mathcal{V}=\frac{1}{3}\times \text{aire}(\text{OBC})\times \text{OA}$.

Le triangle OBC est rectangle en O, donc son aire est $\frac{1}{2}\times \text{OB}\times \text{OC}$, soit $\frac{1}{2}\times 3\times 1$, c'est-à-dire $\frac{3}{2}$.

D'autre part, OA = 2. Donc :

$\mathcal{V}=\frac{1}{3}\times \frac{3}{2}\times 2$

$\boxed{\mathcal{V}=1}$

On en déduit $\frac{2}{7}\mathcal{A}=1$, soit $\mathcal{A}=\frac{7}{2}$.

L'aire du triangle ABC est égale à $\frac{7}{2}$.