Calcul de longueurs de segments

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Annales corrigées
Classe(s) : 3e | Thème(s) : Utiliser la géométrie plane pour démontrer
Type : Exercice | Année : 2017 | Académie : Asie

Asie • Juin 2017

Exercice 3 • 6 points

Calcul de longueurs de segments

mat3_1706_05_03C_01

On considère la figure ci-dessous qui n’est pas représentée en vraie grandeur.

Les points A, B et E sont alignés ainsi que les points C, B et D.

1. Dans chacun des cas suivants, indiquer sur la copie la réponse qui correspond à la longueur du segment [AB] parmi les réponses proposées. Aucune justification n’est attendue.

Données

Réponse A

Réponse B

Réponse C

Cas 1

AC = 51 cm

CB = 85 cm

DE = 64 cm

68 cm

99,1 cm

67,7 cm

Cas 2

ACB^= 62°

CB = 9 cm

BE = 5 cm

Environ 10,2 cm

Environ 4,2 cm

Environ 7,9 cm

Cas 3

AC = 8 cm

BE = 7 cm

DE = 5 cm

11,2 cm

10,6 cm

4,3 cm

2. Pour l’un des trois cas uniquement, au choix, justifier la réponse en rédigeant.

Les clés du sujet

Points du programme

Théorème de Pythagore • Trigonométrie • Théorème de Thalès.

Nos coups de pouce

1. Cas 1 : applique le théorème de Pythagore au triangle ABC rectangle en A.

Cas 2 : dans le triangle ABC rectangle en A, calcule sinACB^.

Cas 3 : démontre que les droites (AC) et (DE) sont parallèles et applique ensuite le théorème de Thalès.

Corrigé

Corrigé

méthode

Pour une meilleure préparation au brevet, les réponses aux trois cas ont été justifiées.

1. et 2.

Cas 1 : la bonne réponse est la réponse A.

En effet, le triangle ABC est rectangle en A. Appliquons le théorème de Pythagore : BC2=AB2+AC2.

Nous avons AB2=BC2AC2=852512.

Alors AB2=4624 et AB=4624=68.

Conclusion : AB = 68 cm.

Cas 2 : la bonne réponse est la réponse C.

rappel

La mesure de l’angle ACB^ est de 62 degrés. Ne pas oublier de choisir le « mode degré » pour la calculatrice.

En effet, dans le triangle ABC rectangle en A, nous avons sinACB^=ABBC,

soit AB=BC×sinACB^ ou encore AB=9×sin62°.

La calculatrice donne AB=7,946... cm.

La bonne réponse est donc : environ 7,9 cm.

Cas 3 : la bonne réponse est la réponse A.

Les droites (AC) et (DE) sont perpendiculaires à la droite (AE). Elles sont donc parallèles entre elles.

Les points A, B, E sont alignés dans le même ordre que les points C, B, D et de plus les droites (AC) et (DE) sont parallèles. Nous pouvons appliquer le théorème de Thalès et écrire : ABEB=ACDE.

Alors AB7=85 et AB=8×75=11,2.

Conclusion : AB = 11,2 cm.