Calcul du volume d’un tétraèdre

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Vecteurs dans l'espace et produit scalaire
Type : Exercice | Année : 2015 | Académie : Pondichéry


Pondichéry • Avril 2015

Exercice 4 • 5 points

Calcul du volume d’un tétraèdre

Soit un cube ABCDEFGH d’arête 1.

Dans le repère 239002-Eqn11, on considère les points M, N et P de coordonnées respectives 239002-Eqn12, 239002-Eqn13 et 239002-Eqn14.

 1. Placer M, N et P sur la figure ci-dessous.

matT_1504_12_01C_03

 2. Déterminer les coordonnées des vecteurs 239002-Eqn15 et 239002-Eqn16.

En déduire que les points M, N et P ne sont pas alignés.

 3. On considère l’algorithme 1 ci-dessous.

Algorithme 1

Saisir xM, yM, zM, xN, yN, zN, xP, yP, zP

d prend la valeur xNxM

e prend la valeur yNyM

f prend la valeur zNzM

g prend la valeur xPxM

h prend la valeur yPyM

i prend la valeur zPzM

k prend la valeur d × g + e × h + f × i

Afficher k

a) Exécuter à la main cet algorithme avec les coordonnées des points M, N et P données ci-dessus.

b) À quoi correspond le résultat affiché par l’algorithme ? Qu’en déduire pour le triangle MNP ?

 4. On considère l’algorithme 2 ci-après. Le compléter pour qu’il teste et affiche si un triangle MNP est rectangle et isocèle en M.

Algorithme 2 (à compléter)

Saisir xM, yM, zM, xN, yN, zN, xP, yP, zP

d prend la valeur xNxM

e prend la valeur yNyM

f prend la valeur zNzM

g prend la valeur xPxM

h prend la valeur yPyM

i prend la valeur zPzM

k prend la valeur d × g + e × h + f × i

 5. On considère le vecteur 239002-Eqn17(5 ; −8 ; 4) normal au plan (MNP).

a) Déterminer une équation cartésienne du plan (MNP).

b) On considère la droite Δ passant par F et de vecteur directeur 239002-Eqn18.

Déterminer une représentation paramétrique de la droite Δ.

 6. Soit K le point d’intersection du plan (MNP) et de la droite Δ.

a) Démontrer que les coordonnées du point K sont 239002-Eqn19.

b) On donne 239002-Eqn20.

Calculer le volume du tétraèdre MNPF.

Les clés du sujet

Durée conseillée : 60 minutes.

Les thèmes clés

Géométrie dans l’espace • Algorithmique.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Vecteurs colinéaires E27 2.

Produit scalaire et vecteurs orthogonaux E31c • E32 3. b)

Équation cartésienne d’un plan E33c 5. a)

Représentation paramétrique d’une droite E30 5. b)

Vecteur normal à un plan E33 5.

Calcul de distance dans un repère orthonormé de l’espace E31c 4. et 6. b)

Nos coups de pouce

 4. Exploitez la formule pour calculer une distance dans un repère orthonormé pour pouvoir traduire dans l’algorithme, sous forme d’une égalité, le fait que le triangle considéré est isocèle.

 6. b) Déterminez la position de la droite 239002-Eqn26 par rapport au plan (MNP) pour pouvoir identifier une hauteur du tétraèdre.

Corrigé

Corrigé

 1. Placer des points sur une figure

matT_1504_12_01C_25

À l’aide des coordonnées du point N, nous pouvons écrire : 239002-Eqn250 donc N est le milieu de [EH].

À l’aide des coordonnées du point M, nous pouvons écrire :

239002-Eqn251

donc M est situé aux trois quarts du segment [CG] en partant de C.

À l’aide des coordonnées du point P, nous pouvons écrire :

239002-Eqn252

donc P appartient à la droite (BF) et est situé sur la demi-droite d’origine B ne contenant pas F, à une distance de 1,25 du point B.

 2. Démontrer que des points sont alignés

239002-Eqn253 et 239002-Eqn254.

Les coordonnées de ces deux vecteurs n’étant pas proportionnelles, ces vecteurs ne sont pas colinéaires. Par conséquent, les points M, N et P ne sont pas alignés.

 3. a) Exécuter un algorithme à la main

239002-Eqn255 prend la valeur 239002-Eqn256

239002-Eqn257 prend la valeur 239002-Eqn258

239002-Eqn259 prend la valeur 239002-Eqn260

239002-Eqn261 prend la valeur 239002-Eqn262

239002-Eqn263 prend la valeur 239002-Eqn264

239002-Eqn265 prend la valeur 239002-Eqn266

239002-Eqn267 prend la valeur 239002-Eqn268

Afficher 239002-Eqn269

L’algorithme 1 affiche donc la valeur 0.

b) Interpréter le résultat affiché par un algorithme

L’algorithme 1 affiche le résultat :

239002-Eqn270

Cet algorithme affiche donc le résultat du produit scalaire des vecteurs 239002-Eqn271 et 239002-Eqn272.

Ce produit scalaire étant égal à 0, les vecteurs 239002-Eqn273 et 239002-Eqn274 sont orthogonaux.

Le triangle MNP est donc rectangle en M.

 4. Compléter un algorithme

D’après la question précédente, si 239002-Eqn275 prend la valeur 0 alors le triangle MNP est rectangle en M.

Ensuite, si les longueurs MN et MP sont égales, ce qui revient à dire que 239002-Eqn276, alors le triangle MNP est isocèle en M.

Saisir 239002-Eqn278

239002-Eqn279 prend la valeur 239002-Eqn280

239002-Eqn281 prend la valeur 239002-Eqn282

239002-Eqn283 prend la valeur 239002-Eqn284

239002-Eqn285 prend la valeur 239002-Eqn286

239002-Eqn287 prend la valeur 239002-Eqn288

239002-Eqn289 prend la valeur 239002-Eqn290

239002-Eqn291 prend la valeur 239002-Eqn292

239002-Eqn293 prend la valeur 239002-Eqn294

239002-Eqn295 prend la valeur 239002-Eqn296

Si 239002-Eqn297 et 239002-Eqn298

alors afficher « le triangle MNP est rectangle et isocèle en M »

sinon afficher « le triangle MNP n’est pas rectangle et isocèle en M »

FinSi

 5. a) Déterminer une équation cartésienne d’un plan

239002-Eqn299 est un vecteur normal au plan (MNP) donc une équation cartésienne de (MNP) est 239002-Eqn300239002-Eqn301 est un réel à déterminer.

Or 239002-Eqn302 appartient au plan (MNP) donc :

239002-Eqn303.

Une équation cartésienne du plan (MNP) est donc 239002-Eqn304.

b) Déterminer une représentation paramétrique d’une droite

Nous avons, par la relation de Chasles :239002-Eqn305 donc F a pour coordonnées (1 ; 0 ; 1).

La droite 239002-Eqn306 passe par le point F et a pour vecteur directeur 239002-Eqn307 donc une représentation paramétrique de 239002-Eqn308 est donnée par :

239002-Eqn309 ce qui nous donne 239002-Eqn310.

Une représentation paramétrique de 239002-Eqn311est donc 239002-Eqn312.

 6. a) Déterminer les coordonnées du point d’intersection d’une droite et d’un plan

239002-Eqn313

239002-Eqn314

Le point K a donc pour coordonnées 239002-Eqn315.

 b) Calculer le volume d’un tétraèdre

La droite 239002-Eqn316 a pour vecteur directeur 239002-Eqn317 qui est un vecteur normal au plan (MNP). La droite 239002-Eqn318 est donc orthogonale au plan (MNP).

Le point d’intersection de la droite 239002-Eqn319 et du plan (MNP) est le point K. Une hauteur du tétraèdre MNPF est donc [FK].

Une base du tétraèdre est alors le triangle MNP.

Notez bien

Volume V d’un tétraèdre 239002-Eqn320.

Le volume V du tétraèdre MNPF est donc égal à : 239002-Eqn321.

Or le triangle MNP est rectangle en M (voir question 3. b)) donc : 239002-Eqn322.

Nous avons : 239002-Eqn323

et 239002-Eqn324.

Ainsi :

239002-Eqn325

Le volume du tétraèdre MNPF est égal à 239002-Eqn326.