Calcul du volume d’un tétraèdre

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Vecteurs dans l'espace et produit scalaire
Type : Exercice | Année : 2015 | Académie : Pondichéry


Pondichéry • Avril 2015

Exercice 4 • 5 points

Calcul du volume d’un tétraèdre

Soit un cube ABCDEFGH d’arête 1.

Dans le repère 239002-Eqn11, on considère les points M, N et P de coordonnées respectives 239002-Eqn12, 239002-Eqn13 et 239002-Eqn14.

 1. Placer M, N et P sur la figure ci-dessous.

matT_1504_12_01C_03

 2. Déterminer les coordonnées des vecteurs 239002-Eqn15 et 239002-Eqn16.

En déduire que les points M, N et P ne sont pas alignés.

 3. On considère l’algorithme 1 ci-dessous.

Algorithme 1

Saisir xM, yM, zM, xN, yN, zN, xP, yP, zP

d prend la valeur xNxM

e prend la valeur yNyM

f prend la valeur zNzM

g prend la valeur xPxM

h prend la valeur yPyM

i prend la valeur zPzM

k prend la valeur d × g + e × h + f × i

Afficher k

a) Exécuter à la main cet algorithme avec les coordonnées des points M, N et P données ci-dessus.

b) À quoi correspond le résultat affiché par l’algorithme ? Qu’en déduire pour le triangle MNP ?

 4. On considère l’algorithme 2 ci-après. Le compléter pour qu’il teste et affiche si un triangle MNP est rectangle et isocèle en M.

Algorithme 2 (à compléter)

Saisir xM, yM, zM, xN, yN, zN, xP, yP, zP

d prend la valeur xNxM

e prend la valeur yNyM

f prend la valeur zNzM

g prend la valeur xPxM

h prend la valeur yPyM

i prend la valeur zPzM

k prend la valeur d × g + e × h + f × i

 5. On considère le vecteur 239002-Eqn17(5 ; −8 ; 4) normal au plan (MNP).

a) Déterminer une équation cartésienne du plan (MNP).

b) On considère la droite Δ passant par F et de vecteur directeur 239002-Eqn18.

Déterminer une représentation paramétrique de la droite Δ.

 6. Soit K le point d’intersection du plan (MNP) et de la droite Δ.

a) Démontrer que les coordonnées du point K sont 239002-Eqn19.

b) On donne 239002-Eqn20.

Calculer le volume du tétraèdre MNPF.

Les clés du sujet

Durée conseillée : 60 minutes.

Les thèmes clés

Géométrie dans l’espace • Algorithmique.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Vecteurs colinéaires E27 2.

Produit scalaire et vecteurs orthogonaux E31c • E32 3. b)

Équation cartésienne d’un plan E33c 5. a)

Représentation paramétrique d’une droite E30 5. b)

Vecteur normal à un plan E33 5.

Calcul de distance dans un repère orthonormé de l’espace E31c 4. et 6. b)

Nos coups de pouce

 4. Exploitez la formule pour calculer une distance dans un repère orthonormé pour pouvoir traduire dans l’algorithme, sous forme d’une égalité, le fait que le triangle considéré est isocèle.

 6. b) Déterminez la position de la droite 239002-Eqn26 par rapport au plan (MNP) pour pouvoir identifier une hauteur du tétraèdre.