Calculer une aire

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Intégration
Type : Exercice | Année : 2012 | Académie : Inédit
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Calculer une aire

Intégration

Corrigé

22

Ens. spécifique

matT_1200_00_46C

Sujet inédit

Exercice • 5 points

Partie A

Soit et deux fonctions continues et dérivables sur l’intervalle telles que et soient continues sur l’intervalle .

>1.a) En remarquant que , montrer que :

. (0,75 point)

b) En déduire que . (0,75 point)

> 2. Soit une fonction définie et dérivable sur l’intervalle . On suppose que sa dérivée est continue sur l’intervalle .

a) En appliquant la formule de la question 1. b) à des fonctions et astucieusement choisies, montrer que : (0,5 point)

b) En déduire que . (0,5 point)

Partie B

Soit la fonction définie sur l’intervalle par et sa courbe représentative dans le repère orthonormé d’unité graphique 2 cm ci-après.

> 1. Montrer que pour tout réel , on a . (0,75 point)

> 2. En utilisant la partie A, calculer la valeur moyenne de la fonction sur l’intervalle . (0,75 point)

>3.a) Hachurer sur cette feuille la partie du plan constituée des points tels que : et . (0,5 point)

b) En utilisant la partie A, calculer en cm2 l’aire de . (0,5 point)


Durée conseillée : 50 min.

Les thèmes en jeu

Fonction logarithme népérien • Calcul intégral.

Les conseils du correcteur

Partie A

>  1. a) Rappelez-vous l’expression de . → fiche  C7B 

b) Pensez aux propriétés de linéarité de l’intégrale. → fiche  C29 C 

>  2. a) Si vous prenez , que devrez-vous prendre pour la fonction  ? Que vaudrait alors ? Simplifiez les expressions pour obtenir le résultat.

b) Prenez en compte le fait que est une constante.

Partie B

>  1. a) Rappelez-vous que et faites attention en effectuant le calcul de car ici est un quotient. → fiche  C7 

>  2. Utilisez la formule trouvée au A2. a), puis pensez au . → fiche  C29D 

>  3. a) Commencez par tracer la droite d’équation dans le repère.

Pour interpréter graphiquement l’intégrale référez-vous à la fiche  C27 .

b) Utilisez la formule trouvée au A2. b).

Corrigé

Partie A

>1.a) Démontrer une égalité contenant des intégrales

  • Une des primitives de la fonction est, par définition, la fonction . Par définition d’une intégrale, on a donc .
  • On a la formule de dérivation suivante : . Donc .

b) Démontrer une égalité contenant des intégrales

D’après les propriétés de linéarité de l’intégrale,

.

Or d’après le 1. a), donc ,

soit .

Cette formule s’appelle une « intégration par parties ».

N.B. : on peut remarquer que les intégrales considérées existent car les fonctions , et sont continues sur l’intervalle .

>2.a) Appliquer une formule démontrée

  • Appliquons la formule du 1. b) en posant et pour  : ces deux fonctions vérifient les conditions nécessaires car elles sont continues sur l’intervalle ainsi que leurs fonctions dérivées.
  • On obtient : soit .

b) Déduire une formule d’une autre

  • est une constante donc
  • On a , soit et, d’après les propriétés de linéarité de l’intégrale, .

Partie B

>1. Calculer la dérivée d’une fonction

  • La fonction est définie et dérivable sur l’intervalle en tant que quotient de fonctions dérivables.

De plus, on pourrait montrer que pour tout , donc la fonction est définie et dérivable sur l’intervalle en tant que composée de fonctions dérivables.

  • Pour tout , avec ,

donc .

soit pour tout réel .

>2. Calculer la valeur moyenne d’une fonction sur un intervalle

  • Soit la valeur moyenne de la fonction sur l’intervalle .

On a .

  • Appliquons la formule du 2. a) de la partie A à la fonction  : elle vérifie les conditions nécessaires car est définie et dérivable sur l’intervalle et sa dérivée est continue sur l’intervalle .

En remarquant que la fonction est la dérivée de la fonction

, on a :

>3.a) Hachurer une partie définie du plan

Voir la figure 1.

b) Calculer l’aire d’une partie du plan

  • La surface est la partie du plan située entre les droites d’équations et , la courbe et la droite d’équation .

Sachant que le repère a pour unité graphique 2 cm en abscisses et en ordonnées et que la courbe représentative de la fonction est au-dessus de C sur l’intervalle , l’aire de la surface est :

cm2.

  • En appliquant la formule du 2. b) de la partie A à la fonction  :

d’après un calcul précédent.

( cm2 au centième près)


Figure 1. = { du plan tels que et }