Annale corrigée Exercice Ancien programme

Calculs sur les matrices

Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Calculs sur les matrices

Matrices et suites

Corrigé

47

Ens. de spécialité

matT_1200_00_28C

Sujet inédit

Exercice • 5 points

On note la matrice identité de l'ensemble des matrices d'ordre 3.

On rappelle que pour démontrer qu'une matrice P d'ordre 3 est inversible, il suffit de démontrer qu'il existe une matrice Q d'ordre 3 telle que .

Q est appelée alors matrice inverse de P.

On note dans tout le problème .

Partie A

Puissances et inverse d'une matrice

> 1. Calculer .

> 2. Démontrer l'égalité (E) suivante : .

> 3. Utiliser l'égalité (E) pour :

a) calculer

b) démontrer que .

> 4. En déduire que A est inversible et déterminer sa matrice inverse .

Partie B

Stock et matrice

Une entreprise fabrique trois produits , et à partir de trois unités de production U, V, W.

  • La fabrication d'un produit consomme une unité V et une unité W.
  • La fabrication d'un produit consomme une unité U et une unité W.
  • La fabrication d'un produit consomme une unité U et une unité V.

Un programme de fabrication est défini par les trois valeurs : x la quantité de produits fabriquée, y la quantité de produits fabriquée et z la quantité de produits fabriquée.

Sachant que l'entreprise dispose d'un stock de 5 unités U, 12 unités V et 13 unités W, on cherche à déterminer, s'il existe, un programme de fabrication qui épuise exactement le stock disponible.

> 1. Trouver une équation matricielle résumant le problème posé dont l'inconnue serait la matrice colonne .

> 2. En utilisant un résultat établi dans la partie A, résoudre l'équation matricielle obtenue et conclure.

Durée conseillée : 40 min.

Le thème en jeu

Calcul matriciel.

Les conseils du correcteur

Partie A

> 1. Effectuez le produit matriciel .

> 2. Calculez la somme matricielle et démontrez qu'elle est égale à A2.

> 3. a) Utilisez le résultat établi à la question précédente en remarquant que .

b) Manipulez judicieusement l'égalité matricielle . Commencez, par exemple, par écrire implique que

> 4. Utilisez astucieusement le rappel donné en introduction et démontrez que .

Partie B

> 1. Traduisez le problème par une égalité de type .

> 2. Introduisez la matrice inverse de A définie dans la partie A.

Démontrez et utilisez l'égalité matricielle .

Partie A

> 1. Calculer le carré d'une matrice

.

Par conséquent, on obtient

> 2. Démontrer une égalité matricielle

On a les égalités suivantes :

d'où : .

D'après le résultat établi à la question précédente, il s'ensuit l'égalité (E) :

> 3. a) Calculer le cube d'une matrice en utilisant une égalité matricielle

On a tout d'abord .

On a ainsi et donc

Attention

L'élément neutre de la multiplication dans l'ensemble des matrices d'ordre 3 est la matrice identité I et pas le nombre réel 1…

b) Manipuler des égalités matricielles

Du résultat établi à la question précédente, on déduit que

> 4. Démontrer qu'une matrice est inversible

.

Il s'ensuit, d'après le rappel donné en introduction, que la matrice A est bien inversible.

On peut donc écrire que

et donc

PARTIE B

> 1. Traduire un énoncé par une équation matricielle

Posons et .

Le problème donné se traduit par l'équation matricielle A est la matrice étudiée dans la partie A.

> 2. Résoudre une équation matricielle en utilisant la matrice inverse de A

On a . Ainsi, on a :

.

On aurait pu très bien résoudre classiquement un système de trois équations à trois inconnues. Cependant, il était plus judicieux d'utiliser les résultats établis à la partie A.

Il existe bien un programme de fabrication qui épuise exactement le stock disponible.

Ce dernier est défini par 10 produits , 3 produits et 2 produits .

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