Calculs sur les matrices

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Matrices et applications
Type : Exercice | Année : 2012 | Académie : Inédit
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Calculs sur les matrices

Matrices et suites

Corrigé

47

Ens. de spécialité

matT_1200_00_28C

Sujet inédit

Exercice • 5  points

On note la matrice identité de l’ensemble des matrices d’ordre 3.

On rappelle que pour démontrer qu’une matrice P d’ordre 3 est inversible, il suffit de démontrer qu’il existe une matrice Q d’ordre 3 telle que .

Q est appelée alors matrice inverse de P.

On note dans tout le problème .

Partie A

Puissances et inverse d’une matrice

>1.  Calculer .

>2.  Démontrer l’égalité (E) suivante  : .

>3.  Utiliser l’égalité (E) pour  :

a)  calculer

b)  démontrer que .

>4.  En déduire que A est inversible et déterminer sa matrice inverse  .

Partie B

Stock et matrice

Une entreprise fabrique trois produits , et à partir de trois unités de production U, V, W.

  • La fabrication d’un produit consomme une unité V et une unité W.
  • La fabrication d’un produit consomme une unité U et une unité W.
  • La fabrication d’un produit consomme une unité U et une unité V.

Un programme de fabrication est défini par les trois valeurs  : x la quantité de produits fabriquée, y la quantité de produits fabriquée et z la quantité de produits fabriquée.

Sachant que l’entreprise dispose d’un stock de 5  unités U, 12  unités V et 13  unités W, on cherche à déterminer, s’il existe, un programme de fabrication qui épuise exactement le stock disponible.

>1.  Trouver une équation matricielle résumant le problème posé dont l’inconnue serait la matrice colonne .

>2.  En utilisant un résultat établi dans la partie A, résoudre l’équation matricielle obtenue et conclure.

Durée conseillée  : 40  min.

Le thème en jeu

Calcul matriciel.

Les conseils du correcteur

Partie A

>    1.  Effectuez le produit matriciel .

>    2.  Calculez la somme matricielle et démontrez qu’elle est égale à A2.

>    3.  a)  Utilisez le résultat établi à la question précédente en remarquant que .

b)  Manipulez judicieusement l’égalité matricielle . Commencez, par exemple, par écrire implique que

>    4.  Utilisez astucieusement le rappel donné en introduction et démontrez que .

Partie B

>    1.  Traduisez le problème par une égalité de type .

>    2.  Introduisez la matrice inverse de A définie dans la partie A.

Démontrez et utilisez l’égalité matricielle .