Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet

Calibrage d’une pièce industrielle

Lois de probabilité à densité

Corrigé

Ens. spécifique

matT_1200_00_66C

Sujet inédit

Exercice • 4 points

PARTIE A

Restitution organisée de connaissances

Soit une variable aléatoire suivant la loi normale N (0,1). On admet que la fonction définie sur par est continue et strictement croissante sur .

> 1. Calculer et . (0,75 point)

> 2. Soit . Démontrer qu’il existe un unique réel positif tel que . (0,75 point)

PARTIE B

Modélisation à l’aide d’une loi normale

Dans une entreprise, une machine permet de fabriquer des pièces. On note la variable aléatoire qui à une pièce choisie au hasard associe sa longueur en cm. On suppose que suit la loi normale d’espérance et d’écart-type .

> 1. a) Quelle est la probabilité, arrondie au centième, que la longueur d’une pièce soit comprise entre 197,5 cm et 202,5 cm ? (0,5 point)

b) En déduire la probabilité, arrondie au centième, que la longueur d’une pièce soit inférieure à 202,5 cm. (0,5 point)

> 2. Une pièce est bien calibrée si sa longueur est comprise entre 196 cm et 204 cm.

Calculer la probabilité, arrondie au centième, qu’une pièce soit bien calibrée. (0,5 point)

> 3. Les pièces qui ne sont pas bien calibrées sont perdues. Le directeur décide d’acheter une nouvelle machine permettant de fabriquer les mêmes pièces. On suppose que la variable aléatoire qui à toute pièce choisie au hasard sortant de cette nouvelle machine associe sa longueur, exprimée en cm, suit la loi normale d’espérance et d’écart-type ‌.

a) 99 % des pièces sortant de la machine sont bien calibrées.

Montrer que : . (0,5 point)

b) En déduire, en utilisant la partie A, la valeur de arrondie au centième. (0,5 point)

Durée conseillée : 40 min.

Le thème en jeu

Loi normale.

Les conseils du correcteur

Partie A

>  1. Utilisez les définitions d’une probabilité et d’une densité. → fiche  C52 

>  2. Appliquez le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires à la fonction . → fiche  C11 

Partie B

>  1. Remarquez que et que . → fiche  C52 

>  2. Calculez . → fiche  C52 

>  3. a) Partez de l’égalité . → fiche  C52 

b) Par définition, la variable aléatoire suit la loi normale centrée réduite. Apprenez par cœur : .

Corrigé

PARTIE A

> 1. Utiliser les propriétés de la loi normale

Par définition : car est une variable aléatoire continue.

Par définition, est l’aire du domaine délimité par l’axe des abscisses, la courbe de la densité associée à la variable aléatoire X et les droites d’équations et . La limite quand tend vers de est donc l’aire du domaine délimité par l’axe des abscisses et la courbe . Par définition d’une densité, cette aire est égale à 1 et par suite :

> 2. Appliquer le théorème des valeurs intermédiaires

Comme , on a : . On en déduit que : .

La fonction est strictement croissante sur , continue et, d’après la question 1., et .

Comme , d’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, il existe un unique réel positif, noté , tel que .

Par définition de la fonction , .

PARTIE B

> 1. Utiliser les valeurs particulières de la loi normale

Retenez les valeurs particulières.

a) Par définition, la probabilité que la variable aléatoire prenne ses valeurs dans l’intervalle [197,5 ; 202,5] est l’aire du domaine délimité par l’axe des abscisses, la courbe de la densité associée à la variable aléatoire et les droites d’équations et .

Or et 202,5 = . Sans utiliser une calculatrice, par propriété de la loi normale, on a :

La probabilité qu’une pièce choisie au hasard mesure entre 197,5 cm et 202,5 cm est environ 0,68.

Pensez aux propriétés de la loi normale.

b) La probabilité que la longueur d’une pièce choisie au hasard soit inférieure à 202,5 cm est l’aire du domaine D : ensemble des points du plan qui se situent dans la partie du plan délimité par l’axe des abscisses, la courbe de la densité associée à la variable aléatoire et qui ont une abscisse inférieure ou égale à 202,5.

Or par symétrie de la densité associée à la variable aléatoire , on a :

et .

Ainsi . La probabilité que la longueur d’une pièce choisie au hasard soit inférieure à 202,5 cm est environ 0,84.

> 2. Utiliser la calculatrice dans le cadre de la loi normale

Par définition, la probabilité qu’une pièce choisie au hasard soit bien calibrée est l’aire du domaine délimité par l’axe des abscisses, la courbe de la densité associée à la variable aléatoire et les droites d’équations et .