Lois de probabilité à densité
Corrigé
37
Ens. spécifique
matT_1200_00_66C
Sujet inédit
Exercice • 4 points
PARTIE A
Restitution organisée de connaissances
Soit une variable aléatoire suivant la loi normale
définie sur
par
est continue et strictement croissante sur
.
et
. (0,75 point)
. Démontrer qu'il existe un unique réel positif
tel que
. (0,75 point)
PARTIE B
Modélisation à l'aide d'une loi normale
Dans une entreprise, une machine permet de fabriquer des pièces. On note
la variable aléatoire qui à une pièce choisie au hasard associe sa longueur en cm. On suppose que
suit la loi normale d'espérance
et d'écart-type
.
Calculer la probabilité, arrondie au centième, qu'une pièce soit bien calibrée. (0,5 point)
permettant de fabriquer les mêmes pièces. On suppose que la variable aléatoire
qui à toute pièce choisie au hasard sortant de cette nouvelle machine associe sa longueur, exprimée en cm, suit la loi normale d'espérance
et d'écart-type
.
sont bien calibrées.
arrondie au centième. (0,5 point)
Durée conseillée : 40 min.
Le thème en jeu
Loi normale.
Les conseils du correcteur
Partie A
.
Partie B
et que
.
.
suit la loi normale centrée réduite. Apprenez par cœur :
.
PARTIE A
> 1. Utiliser les propriétés de la loi normale
Par définition : car
est une variable aléatoire continue.
Par définition, est l'aire du domaine délimité par l'axe des abscisses, la courbe
de la densité associée à la variable aléatoire X et les droites d'équations
et
. La limite quand
tend vers
de
est donc l'aire du domaine délimité par l'axe des abscisses et la courbe
. Par définition d'une densité, cette aire est égale à 1 et par suite :
> 2. Appliquer le théorème des valeurs intermédiaires
Comme , on a :
. On en déduit que :
.
La fonction est strictement croissante sur
, continue et, d'après la question
et
.
Comme , d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, il existe un unique réel positif, noté
, tel que
.
PARTIE B
> 1. Utiliser les valeurs particulières de la loi normale
Retenez les valeurs particulières.
prenne ses valeurs dans l'intervalle [197,5 202,5] est l'aire du domaine
délimité par l'axe des abscisses, la courbe
de la densité associée à la variable aléatoire
et les droites d'équations
et
.

Or et 202,5 =
. Sans utiliser une calculatrice, par propriété de la loi normale, on a :
La probabilité qu'une pièce choisie au hasard mesure entre 197,5 cm et 202,5 cm est
Pensez aux propriétés de la loi normale.
de la densité associée à la variable aléatoire
et qui ont une abscisse inférieure ou égale à 202,5.

Or par symétrie de la densité associée à la variable aléatoire , on a :
Ainsi . La probabilité que la longueur d'une pièce choisie au hasard soit inférieure à 202,5 cm est
> 2. Utiliser la calculatrice dans le cadre de la loi normale
Par définition, la probabilité qu'une pièce choisie au hasard soit bien calibrée est l'aire du domaine délimité par l'axe des abscisses, la courbe
de la densité associée à la variable aléatoire
et les droites d'équations
et
.

La probabilité qu'une pièce choisie au hasard soit bien calibrée est
> 3. Utiliser une valeur particulière de uα
suit la loi normale centrée réduite.
D'après la question ) : il existe un unique nombre réel positif
tel que