Campagne publicitaire et matrice de transition

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Matrices et applications
Type : Exercice | Année : 2012 | Académie : Inédit
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Campagne publicitaire et matrice de transition

Matrices et suites

Corrigé

46

Ens. de spécialité

matT_1200_00_27C

Sujet inédit

Exercice • 5 points

On considère une grande population d’acheteurs de yaourts.
On suppose que l’effectif de cette population est stable.
Une entreprise commercialise des yaourts sous la marque Y.

30 % des acheteurs de yaourts achètent la marque Y.

L’entreprise décide de faire une campagne publicitaire pour améliorer ses ventes. Au bout d’une semaine, une enquête indique que :

  • 20 % des acheteurs de yaourts qui achetaient la semaine précédente des yaourts des autres marques achètent maintenant des yaourts Y.
  • 10 % des acheteurs de yaourts qui achetaient la semaine précédente des yaourts Y achètent maintenant des yaourts des autres marques.

L’entreprise continue sa campagne publicitaire. On fait l’hypothèse que l’évolution des résultats obtenus à l’issue de la première semaine de campagne publicitaire est la même les semaines suivantes.

>1. Donner le graphe probabiliste correspondant à cette situation.

>2. Soit la matrice ligne décrivant l’état initial de la population.

a) Donner la matrice de transition (notée A) associée au graphe précédent.

b) Déterminer la probabilité qu’un acheteur de yaourts, choisi au hasard après deux semaines de campagne publicitaire, achète des yaourts de la marque Y.

>3. Soit . Justifier que est la matrice inverse de la matrice P. On notera Q = P–1 pour la suite.

>4. Soit . Calculer .

>5. En déduire par récurrence que, pour tout entier n naturel non nul, on a : .

>6. L’entreprise peut-elle espérer atteindre une part de marché de 70 % ? Justifier.

>7. Au bout de combien de semaines atteindra-t-elle une part de marché supérieure ou égale à 66 % ?

Durée conseillée : 50 min.

Le thème en jeu

Calcul matriciel.

Les conseils du correcteur

>  2. b) Soit la matrice ligne décrivant l’état de la population après deux semaines de campagne. Calculez le carré de la matrice A puis le produit . Concluez !

>  3. Commencez par effectuer le produit matriciel puis interprétez le résultat obtenu.

>  4. Effectuer successivement les deux produits matriciels et .

Vous remarquerez que .

>  5. À l’étape de l’hérédité, partez de l’hypothèse de récurrence en remarquant dans un premier temps que et dans un deuxième temps que .

>  6. Pour calculer , notez que . Effectuer ensuite successivement les produits matriciels et . Notez que , étant la matrice ligne décrivant l’état de la population après n semaines de campagne.

>  7. Résolvez et interprétez l’inéquation . Pour cela, faites intervenir la fonction ln.

Corrigé

>1. Traduire un énoncé par un graphe probabiliste


>2.a) Écrire la matrice de transition d’un graphe probabiliste

La matrice de transition du graphe probabiliste étudié est la matrice. On prend les sommets Y et dans cet ordre.

b) Calculer et utiliser le carré d’une matrice

Soit X2 la matrice ligne décrivant l’état de la population après deux semaines de campagne.

On a donc : .

  • Calculons le carré de la matrice A.

On obtient :

On obtient :

Par conséquent, la probabilité qu’un acheteur de yaourts, choisi au hasard après deux semaines de campagne publicitaire, achète des yaourts de la marque Y, est égale à 0,487.

>3. Démontrer qu’une matrice est l’inverse d’une deuxième matrice

Calculons le produit matriciel .

. Il s’ensuit que le produit est égal à la matrice identité de l’ensemble des matrices d’ordre 2.

On peut donc affirmer que est bien la matrice inverse de .

>4. Calculer le produit de trois facteurs matriciels

  • On a, dans un premier temps, .
  • Ainsi, on peut écrire :

et donc .

Pour conclure, on a .

>5. Démontrer une égalité matricielle en menant un raisonnement par récurrence

Soit la proposition .

  • Initialisation : On a déjà montré que .

est donc vraie.

  • Hérédité : Soit k un entier naturel non nul.

Supposons que est vraie.

On a donc par hypothèse de récurrence .

Ainsi .

Or , il s’ensuit que : or .

étant la matrice inverse de , on a donc . I2 étant la matrice identité des matrices d’ordre 2.

On en déduit les égalités matricielles suivantes :

 et . est donc vraie.

D’après l’axiome de récurrence, la proposition est donc vraie quel que soit l’entier naturel non nul n.
Ainsi pour tout entier naturel n non nul .

>6. Calculer et utiliser la puissance d’une matrice

  • En utilisant le résultat établi précédemment, calculons .
    On a successivement les résultats suivants :

Pour conclure :

  • Soit la matrice ligne décrivant l’état de la population après n semaines de campagne.

On a donc : . Par conséquent, la probabilité qu’un acheteur de yaourts choisi au hasard après n semaines de campagne publicitaire, achète des yaourts de la marque Y est égale à, soit

Ce nombre est inférieur à et donc à 0,7.

L’entreprise ne peut donc pas espérer atteindre une part de marché de 70 %.

>7. Résoudre une inéquation et interpréter ses solutions

Attention

Quand on multiplie ou on divise les deux membres d’une inégalité par un nombre négatif, on doit impérativement changer le sens de l’inégalité.

avec

L’entreprise peut donc espérer atteindre une part de marché supérieure ou égale à 66 % au bout de 12 semaines de campagne publicitaire.