Carreaux de mosaïque

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Annales corrigées
Classe(s) : 3e | Thème(s) : Utiliser la divisibilité et les nombres premiers
Type : Exercice | Année : 2017 | Académie : Asie

NOMBRES ET CALCULS

Utiliser la divisibilité et les nombres premiers

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mat3_1706_05_00C

Asie • Juin 2017

Exercice 6 • 7 points

Carreaux de mosaïque

Gaspard réalise des motifs avec des carreaux de mosaïque blancs et bleus de la façon suivante :

mat3_1706_05_00C_01

Gaspard forme un carré avec des carreaux bleus puis le borde avec des carreaux blancs.

1. Combien de carreaux blancs Gaspard va-t-il utiliser pour border le carré bleu du motif 4 (un carré ayant 4 carreaux bleus de côté) ?

2. a) Justifier que Gaspard peut réaliser un motif de ce type en utilisant exactement 144 carreaux bleus.

b) Combien de carreaux blancs utilisera-t-il alors pour border le carré bleu obtenu ?

3. On appelle « motif n » le motif pour lequel on borde un carré de n carreaux bleus de côté.

Trois élèves ont proposé chacun une expression pour calculer le nombre de carreaux blancs nécessaires pour réaliser le « motif n » :

Expression n° 1 :× + 2 × (+ 2)

Expression n° 2 :× (n + 2)

Expression n° 3 :× (n + 2) – 4

Une seule de ces trois expressions ne convient pas. Laquelle ?

Les clés du sujet

Points du programme

Arithmétique • Calcul littéral.

Nos coups de pouce

3. Pense à développer les expressions puis à les réduire.

Corrigé

Corrigé

1. Pour réaliser le motif 4, Gaspard va utiliser 20 carreaux blancs.

2. a) Les carreaux bleus doivent former un carré.

144 = 12 × 12

Gaspard pourra donc réaliser un motif de ce genre avec 144 carreaux bleus.

b) Sans les coins, chaque côté blanc compte 12 carreaux blancs.

Il y a donc 4 × 12 + 4 = 52 carreaux blancs.

Gaspard devra alors utiliser 52 carreaux blancs.

3.

Expression 1 : 2n + 2(n + 2) = 2n + 2n + 4 = 4n + 4

Expression 2 : 4 (n + 2) = 4n + 8

Expression 3 : 4 (n + 2) – 4 = 4n + 8 – 4 = 4n + 4

Donc l’expression 2 ne convient pas.