NOMBRES ET CALCULS
Utiliser la divisibilité et les nombres premiers
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mat3_1706_05_00C
Asie • Juin 2017
Exercice 6 • 7 points
Carreaux de mosaïque
Gaspard réalise des motifs avec des carreaux de mosaïque blancs et bleus de la façon suivante :
Gaspard forme un carré avec des carreaux bleus puis le borde avec des carreaux blancs.
▶ 1. Combien de carreaux blancs Gaspard va-t-il utiliser pour border le carré bleu du motif 4 (un carré ayant 4 carreaux bleus de côté) ?
▶ 2. a) Justifier que Gaspard peut réaliser un motif de ce type en utilisant exactement 144 carreaux bleus.
b) Combien de carreaux blancs utilisera-t-il alors pour border le carré bleu obtenu ?
▶ 3. On appelle « motif n » le motif pour lequel on borde un carré de n carreaux bleus de côté.
Trois élèves ont proposé chacun une expression pour calculer le nombre de carreaux blancs nécessaires pour réaliser le « motif n » :
Expression n° 1 : 2 × n + 2 × (n + 2)
Expression n° 2 : 4 × (n + 2)
Expression n° 3 : 4 × (n + 2) – 4
Une seule de ces trois expressions ne convient pas. Laquelle ?
Les clés du sujet
Points du programme
Arithmétique • Calcul littéral.
Nos coups de pouce
▶ 3. Pense à développer les expressions puis à les réduire.
Corrigé
▶ 1. Pour réaliser le motif 4, Gaspard va utiliser 20 carreaux blancs.
▶ 2. a) Les carreaux bleus doivent former un carré.
144 = 12 × 12
Gaspard pourra donc réaliser un motif de ce genre avec 144 carreaux bleus.
b) Sans les coins, chaque côté blanc compte 12 carreaux blancs.
Il y a donc 4 × 12 + 4 = 52 carreaux blancs.
Gaspard devra alors utiliser 52 carreaux blancs.
▶ 3.
Expression 1 : 2n + 2(n + 2) = 2n + 2n + 4 = 4n + 4
Expression 2 : 4 (n + 2) = 4n + 8
Expression 3 : 4 (n + 2) – 4 = 4n + 8 – 4 = 4n + 4
Donc l'expression 2 ne convient pas.