Casse-tête sur l'exponentielle

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Fonction exponentielle
Type : Exercice | Année : 2015 | Académie : Moyen-Orient


Liban • Mai 2015

Exercice 3 • 3 points

Casse-tête sur l’exponentielle

matT_1505_09_02C_02

On considère la courbe C d’équation = ex, tracée ci-contre.

Pour tout réel m strictement positif, on note Dm la droite d’équation = mx.

1. Dans cette question, on choisit = e.

Démontrer que la droite De d’équation y = ex est tangente à la courbe C en son point d’abscisse 1.

2. Conjecturer, selon les valeurs prises par le réel strictement positif m, le nombre de points d’intersection de la courbe C et de la droite Dm.

3. Démontrer cette conjecture.

Les clés du sujet

Durée conseillée : 30 minutes.

Les thèmes clés

Fonction exponentielle • Positions relatives • Logarithme népérien.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

Tangente  E6b 1.

Fonction exponentielle  E8 1. et 3.

Étude de variations  E6c • E6e 3.

Théorème des valeurs intermédiaires  E7 3.

Nos coups de pouce

2. Tracez à l’aide de votre calculatrice la courbe C puis la droite 1111562-Eqn19 pour différentes valeurs de 1111562-Eqn20 N’oubliez pas que le réel 1111562-Eqn21 est strictement positif. Prenez en compte également l’étude du cas 1111562-Eqn22 à la question 1. qui n’est pas anodine.

3. Dressez le tableau de variations complet de la fonction 1111562-Eqn23 définie sur ℝ par 1111562-Eqn24. Puis déterminez les éventuelles valeurs de 1111562-Eqn25 pour lesquelles la fonction 1111562-Eqn26 s’annule selon les valeurs prises par le réel strictement positif 1111562-Eqn27 Concluez.

Corrigé

Corrigé

1. Déterminer une équation réduite d’une tangente

Désignons par 1111562-Eqn199 la fonction exponentielle, fonction définie sur par 1111562-Eqn200. Cette fonction a pour courbe représentative la courbe d’équation 1111562-Eqn201 notée C dans l’énoncé.

De plus, cette fonction de référence est dérivable sur et sa dérivée 1111562-Eqn202 est définie par 1111562-Eqn203. En particulier, nous avons pour 1111562-Eqn204 : 1111562-Eqn205 et 1111562-Eqn206.

L’équation réduite de la tangente au point d’abscisse 1111562-Eqn207 à la courbe C est :

1111562-Eqn208.

D’après le premier point, nous en déduisons que 1111562-Eqn209 qui, après simplification, s’écrit : 1111562-Eqn210. La droite 1111562-Eqn211d’équation 1111562-Eqn212est donc tangente à la courbe 1111562-Eqn213 en son point d’abscisse 1.

2. Émettre une conjecture

D’après la première question, nous pouvons penser que la valeur 1111562-Eqn214 joue un rôle prépondérant pour connaître le nombre de points d’intersection entre la courbe C et la droite 1111562-Eqn215.

Traçons la droite d’équation 1111562-Eqn216 et la courbe C (figure 1). Nous observons l’existence d’un seul point d’intersection, point de coordonnées 1111562-Eqn217.

Remarque

Cela est logique, la droite 1111562-Eqn218 est tangente à la courbe 𝒞.

Traçons ensuite plusieurs droites d’équation 1111562-Eqn219 avec 1111562-Eqn220 (figure 2). Nous observons que ces droites sont strictement en dessous de la courbe C : donc aucun point d’intersection. Enfin, traçons plusieurs droites d’équation 1111562-Eqn221 avec 1111562-Eqn222 (figure 3). Nous observons cette fois-ci que ces droites coupent la courbe C en deux points.

matT_1505_09_02C_03

Figure 1. 1111562-Eqn223

matT_1505_09_02C_04

Figure 2. 1111562-Eqn224

matT_1505_09_02C_05

Figure 3. 1111562-Eqn225

Nous pouvons conjecturer que le nombre de points d’intersection de la droite 1111562-Eqn226et de la courbe 1111562-Eqn227est : zéro si 1111562-Eqn228, un si 1111562-Eqn229 et deux si 1111562-Eqn230.

3. Valider une conjecture

Un point M de coordonnées 1111562-Eqn231 appartient à la courbe C et à la droite 1111562-Eqn232 si, et seulement si, 1111562-Eqn233 et 1111562-Eqn234. Ce qui nous amène à résoudre dans l’équation 1111562-Eqn235 équivalente à 1111562-Eqn236 que nous noterons (E).

Posons 1111562-Eqn237 la fonction définie sur par 1111562-Eqn238. Cette fonction 1111562-Eqn239 est dérivable sur comme somme de fonctions dérivables et sa dérivée 1111562-Eqn240 est donnée par 1111562-Eqn241. Étudions le signe de cette dérivée suivant les valeurs prises par le réel 1111562-Eqn242 pour dresser le tableau de variations de la fonction 1111562-Eqn243.

Tout d’abord, nous avons :

Notez bien

Pour tous réels 1111562-Eqn244 et 1111562-Eqn245 strictement positifs,

1111562-Eqn246.

1111562-Eqn247

Nous en déduisons le tableau de signes de la dérivée 1111562-Eqn248 :

matT_1505_09_02C_06

Ensuite, calculons l’image de 1111562-Eqn249 par la fonction 1111562-Eqn250 :

Notez bien

Pour tout réel 1111562-Eqn2511111562-Eqn252.

1111562-Eqn253

Enfin, déterminons les limites aux bornes de l’ensemble de définition de 1111562-Eqn254.

D’une part, 1111562-Eqn255 et 1111562-Eqn256 donc par différence 1111562-Eqn257.

Notez bien

Factoriser permet de lever ici la forme indéterminée pour la différence étudiée.

D’autre part, nous avons : 1111562-Eqn258.

Comme 1111562-Eqn259 et 1111562-Eqn260, par somme et par produit, 1111562-Eqn261

Nous en déduisons le tableau de variation de 1111562-Eqn262 :

matT_1505_09_02C_07

D’après le premier point, résoudre l’équation (E) dans revient à déterminer les valeurs pour lesquelles la fonction 1111562-Eqn263 s’annule. D’après le tableau de variations de 1111562-Eqn264 ce nombre de valeurs dépend du signe du minimum de la fonction 1111562-Eqn265 à savoir 1111562-Eqn266.

Premier cas : 1111562-Eqn267.

Notez bien

Pour tous réels 1111562-Eqn268 et 1111562-Eqn2691111562-Eqn270.

Comme 1111562-Eqn271,

1111562-Eqn272

Dans ce cas, 1111562-Eqn273, la fonction 1111562-Eqn274 s’annule une seule fois en 1111562-Eqn275. Autrement dit, pour 1111562-Eqn276, la courbe C et la droite 1111562-Eqn277d’équation 1111562-Eqn278ont un seul point d’intersection.

Deuxième cas : 1111562-Eqn279.

Notez bien

Pour tous réels 1111562-Eqn280 et 1111562-Eqn2811111562-Eqn282.

Similairement au premier cas, 1111562-Eqn283. Dans ce cas, 1111562-Eqn284 et la fonction 1111562-Eqn285 est strictement positive sur . Autrement dit, pour 1111562-Eqn286, la courbe 1111562-Eqn287 et la droite 1111562-Eqn288 n’ont aucun point d’intersection.

Troisième cas : 1111562-Eqn289.

Dans ce cas, 1111562-Eqn290, le minimum de la fonction 1111562-Eqn291 est strictement négatif. Il faut donc étudier le signe de la fonction 1111562-Eqn292 sur 1111562-Eqn293 et sur 1111562-Eqn294.

Sur 1111562-Eqn295, la fonction 1111562-Eqn296 est continue et strictement décroissante. De plus, comme 1111562-Eqn297 et 1111562-Eqn2981111562-Eqn299. D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, la fonction 1111562-Eqn300 s’annule une seule fois sur 1111562-Eqn301.

De même, sur 1111562-Eqn302, la fonction 1111562-Eqn303 est continue et strictement croissante. Comme1111562-Eqn304 et 1111562-Eqn3051111562-Eqn306 D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, la fonction 1111562-Eqn307 s’annule une seule fois sur 1111562-Eqn308. Ainsi, pour 1111562-Eqn309, la courbe 𝒞 et la droite 1111562-Eqn310ont deux points d’intersection.