Casse-tête sur l'exponentielle

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Fonction exponentielle
Type : Exercice | Année : 2015 | Académie : Moyen-Orient


Liban • Mai 2015

Exercice 3 • 3 points

Casse-tête sur l’exponentielle

matT_1505_09_02C_02

On considère la courbe C d’équation = ex, tracée ci-contre.

Pour tout réel m strictement positif, on note Dm la droite d’équation = mx.

1. Dans cette question, on choisit = e.

Démontrer que la droite De d’équation y = ex est tangente à la courbe C en son point d’abscisse 1.

2. Conjecturer, selon les valeurs prises par le réel strictement positif m, le nombre de points d’intersection de la courbe C et de la droite Dm.

3. Démontrer cette conjecture.

Les clés du sujet

Durée conseillée : 30 minutes.

Les thèmes clés

Fonction exponentielle • Positions relatives • Logarithme népérien.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

Tangente  E6b 1.

Fonction exponentielle  E8 1. et 3.

Étude de variations  E6c • E6e 3.

Théorème des valeurs intermédiaires  E7 3.

Nos coups de pouce

2. Tracez à l’aide de votre calculatrice la courbe C puis la droite 1111562-Eqn19 pour différentes valeurs de 1111562-Eqn20 N’oubliez pas que le réel 1111562-Eqn21 est strictement positif. Prenez en compte également l’étude du cas 1111562-Eqn22 à la question 1. qui n’est pas anodine.

3. Dressez le tableau de variations complet de la fonction 1111562-Eqn23 définie sur ℝ par 1111562-Eqn24. Puis déterminez les éventuelles valeurs de 1111562-Eqn25 pour lesquelles la fonction 1111562-Eqn26 s’annule selon les valeurs prises par le réel strictement positif 1111562-Eqn27 Concluez.