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Casse-tête sur l'exponentielle

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Casse-tête sur l'exponentielle

30 min

5 points

Intérêt du sujet  On cherche à connaître le nombre de points d'intersection d'une droite passant par l'origine de pente positive et la courbe représentative de la fonction exponentielle.

matT_1505_09_02C_02

On considère la courbe C d'équation = ex, tracée ci-dessous.

Pour tout réel m strictement positif, on note Dm la droite d'équation = mx.

1. Dans cette question, on choisit = e.

Démontrer que la droite De d'équation y = ex est tangente à la courbe C en son point d'abscisse 1.

2. Conjecturer, selon les valeurs prises par le réel strictement positif m, le nombre de points d'intersection de la courbe C et de la droite Dm.

3. Démontrer cette conjecture.

Les clés du sujet

2. Tracez à l'aide de votre calculatrice la courbe C puis la droite Dm pour différentes valeurs de m. N'oubliez pas que le réel m est strictement positif. Prenez en compte également l'étude du cas m=e à la question 1. qui n'est pas anodine.

3. Dressez le tableau de variations complet de la fonction d définie sur ℝ par d(x)=exmx. Puis déterminez les éventuelles valeurs de x pour lesquelles la fonction d s'annule selon les valeurs prises par le réel strictement positif m. Concluez.

1. Déterminer une équation réduite d'une tangente

Désignons par f la fonction exponentielle, fonction définie sur ℝ par f(x)=ex. Cette fonction a pour courbe représentative la courbe d'équation y=ex notée C dans l'énoncé.

De plus, cette fonction de référence est dérivable sur ℝ et sa dérivée f est définie par f(x)=ex. En particulier, nous avons pour x=1 : f(1)=e1=e et f(1)=e.

L'équation réduite de la tangente au point d'abscisse 1 à la courbe C est :

y=f(1)×(x1)+f(1).

D'après le premier point, nous en déduisons que y=e×(x1)+e qui, après simplification, s'écrit : y=e×x. La droite De d'équation y=e×x est donc tangente à la courbe C en son point d'abscisse 1.

2. Émettre une conjecture

D'après la première question, nous pouvons penser que la valeur e joue un rôle prépondérant pour connaître le nombre de points d'intersection entre la courbe C et la droite Dm.

Traçons la droite d'équation y=ex et la courbe C (figure 1). Nous observons l'existence d'un seul point d'intersection, point de coordonnées (1;e).

remarque

Cela est logique, la droite De est tangente à la courbe C.

Traçons ensuite plusieurs droites d'équation y=mx avec me (figure 2). Nous observons que ces droites sont strictement en dessous de la courbe C : donc aucun point d'intersection. Enfin, traçons plusieurs droites d'équation y=mx avec m>e (figure 3). Nous observons cette fois-ci que ces droites coupent la courbe C en deux points.

matT_1505_09_02C_03

Figure 1. m=e

matT_1505_09_02C_04

Figure 2. me

matT_1505_09_02C_05

Figure 3. m>e

Nous pouvons conjecturer que le nombre de points d'intersection de la droite Dm et de la courbe C est : zéro si me, un si m=e et deux si m>e.

3. Valider une conjecture

Un point M de coordonnées (x;y) appartient à la courbe C et à la droite Dm si, et seulement si, y=ex et y=mx. Ce qui nous amène à résoudre dans ℝ l'équation ex=mx équivalente à exmx=0 que nous noterons (E).

Posons d la fonction définie sur ℝ par d(x)=exmx. Cette fonction d est dérivable sur ℝ comme somme de fonctions dérivables et sa dérivée d est donnée par d(x)=exm. Étudions le signe de cette dérivée suivant les valeurs prises par le réel m pour dresser le tableau de variations de la fonction d.

Tout d'abord, nous avons :

à noter

Pour tous réels a et b strictement positifs,

lnalnbab.

1111562-Eqn247

Nous en déduisons le tableau de signes de la dérivée d :

matT_1505_09_02C_06

Ensuite, calculons l'image de ln(m) par la fonction d :

à noter

Pour tout réel a>0,eln(a)=a.

d(ln(m))=eln(m)m×ln(m)=mm×ln(m)=m×(1ln(m)).

Enfin, déterminons les limites aux bornes de l'ensemble de définition de d.

D'une part, limxex=0 et limxm×x= (m>0) donc par différence limxd(x)=+.

à noter

Factoriser permet de lever ici la forme indéterminée pour la différence étudiée.

D'autre part, nous avons : d(x)=exmx=ex×1m×xex.

Comme limx+ex=+ et limx+xex=0, par somme et par produit, limx+d(x)=+.

Nous en déduisons le tableau de variation de d :

matT_1505_09_02C_07

D'après le premier point, résoudre l'équation (E) dans ℝ revient à déterminer les valeurs pour lesquelles la fonction d s'annule. D'après le tableau de variations de d, ce nombre de valeurs dépend du signe du minimum de la fonction d à savoir m×(1ln(m)).

Premier cas : m×(1ln(m))=0.

à noter

Pour tous réels a et b, a=bea=eb.

Comme m>0,

m×(1ln(m))=01ln(m)=01=ln(m)e=m.

Dans ce cas, m=e, la fonction d s'annule une seule fois en x=ln(m)=ln(e)=1. Autrement dit, pour m=e, la courbe C et la droite Dm d'équation y=e×x ont un seul point d'intersection.

Deuxième cas : m×(1ln(m))>0.

à noter

Pour tous réels a et b, abeaeb.

Similairement au premier cas, m×(1ln(m))>01ln(m)>0e>m. Dans ce cas, e>m et la fonction d est strictement positive sur ℝ. Autrement dit, pour e>m, la courbe C et la droite Dm n'ont aucun point d'intersection.

Troisième cas : m×(1ln(m))0.

Dans ce cas, em, le minimum de la fonction d est strictement négatif. Il faut donc étudier le signe de la fonction d sur ;ln(m) et sur ln(m);+.

Sur ;ln(m), la fonction d est continue et strictement décroissante. De plus, comme limxd(x)=+ et d(ln(m))0, 0d(ln(m));+. D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, la fonction d s'annule une seule fois sur ;ln(m).

De même, sur ln(m);+, la fonction d est continue et strictement croissante. Commelimx+d(x)=+ et d(ln(m))0, 0d(ln(m));+. D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, la fonction d s'annule une seule fois sur ln(m);+. Ainsi, pour em, la courbe C et la droite Dm ont deux points d'intersection.

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