▶ 1. Déterminer une équation réduite d'une tangente

Désignons par $f$ la fonction exponentielle, fonction définie sur ℝ par $f(x)={\text{e}}^x$. Cette fonction a pour courbe représentative la courbe d'équation $y={\text{e}}^x$ notée $\mathcal{C}$ dans l'énoncé.

De plus, cette fonction de référence est dérivable sur ℝ et sa dérivée $f^{\prime }$ est définie par $f^{\prime }(x)={\text{e}}^x$. En particulier, nous avons pour $x=1$ : $f(1)={\text{e}}^1=\text{e}$ et $f^{\prime }(1)=\text{e}$.

L'équation réduite de la tangente au point d'abscisse $1$ à la courbe $\mathcal{C}$ est :

$y=f^{\prime }(1)\times (x-1)+f(1)$.

D'après le premier point, nous en déduisons que $y=\text{e}\times (x-1)+\text{e}$ qui, après simplification, s'écrit : $y=\text{e}\times x$. La droite ${\mathcal{D}}_{\text{e}}$ d'équation $y=\text{e}\times x$ est donc tangente à la courbe $\mathcal{C}$ en son point d'abscisse 1.

▶ 2. Émettre une conjecture

D'après la première question, nous pouvons penser que la valeur $\text{e}$ joue un rôle prépondérant pour connaître le nombre de points d'intersection entre la courbe $\mathcal{C}$ et la droite ${\mathcal{D}}_m$.

Traçons la droite d'équation $y=\text{e}x$ et la courbe $\mathcal{C}$ (figure 1). Nous observons l'existence d'un seul point d'intersection, point de coordonnées $(1;\text{e})$.

Traçons ensuite plusieurs droites d'équation $y=mx$ avec $m<mtext>e</mtext>$ (figure 2). Nous observons que ces droites sont strictement en dessous de la courbe $\mathcal{C}$ : donc aucun point d'intersection. Enfin, traçons plusieurs droites d'équation $y=mx$ avec $m>\text{e}$ (figure 3). Nous observons cette fois-ci que ces droites coupent la courbe C en deux points.

Figure 1. $m=\text{e}$

Figure 2. $m<mtext>e</mtext>$

Figure 3. $m>\text{e}$

Nous pouvons conjecturer que le nombre de points d'intersection de la droite ${\mathcal{D}}_m$ et de la courbe $\mathcal{C}$ est : zéro si $m<mtext>e</mtext>$, un si $m=\text{e}$ et deux si $m>\text{e}$.

▶ 3. Valider une conjecture

Un point M de coordonnées $(x;y)$ appartient à la courbe $\mathcal{C}$ et à la droite ${\mathcal{D}}_m$ si, et seulement si, $y={\text{e}}^x$ et $y=mx$. Ce qui nous amène à résoudre dans ℝ l'équation ${\text{e}}^x=mx$ équivalente à ${\text{e}}^x-mx=0$ que nous noterons (E).

Posons $d$ la fonction définie sur ℝ par $d(x)={\text{e}}^x-mx$. Cette fonction $d$ est dérivable sur ℝ comme somme de fonctions dérivables et sa dérivée $d^{\prime }$ est donnée par $d^{\prime }(x)={\text{e}}^x-m$. Étudions le signe de cette dérivée suivant les valeurs prises par le réel $m$ pour dresser le tableau de variations de la fonction $d$.

Tout d'abord, nous avons :

Nous en déduisons le tableau de signes de la dérivée $d^{\prime }$ :

Ensuite, calculons l'image de $\ln (m)$ par la fonction $d$ :

$d(\ln (m))={\text{e}}^{\ln (m)}-m\times \ln (m)=m-m\times \ln (m)=m\times (1-\ln (m)).$

Enfin, déterminons les limites aux bornes de l'ensemble de définition de $d$.

D'une part, $\underset{x\to -\infty }{\lim }{\text{e}}^x=0$ et $\underset{x\to -\infty }{\lim }m\times x=-\infty \text{ (}m>0)$ donc par différence $\underset{x\to -\infty }{\lim }d(x)=+\infty$.

D'autre part, nous avons : $d(x)={\text{e}}^x-mx={\text{e}}^x\times \left(1-m\times \frac{x}{{\text{e}}^x}\right)$.

Comme $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\text{e}}^x=+\infty$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x}{{\text{e}}^x}=0$, par somme et par produit, $\underset{x\to +\infty }{\lim }d(x)=+\infty .$

Nous en déduisons le tableau de variation de $d$ :

D'après le premier point, résoudre l'équation (E) dans ℝ revient à déterminer les valeurs pour lesquelles la fonction $d$ s'annule. D'après le tableau de variations de $d,$ ce nombre de valeurs dépend du signe du minimum de la fonction $d$ à savoir $m\times (1-\ln (m))$.

Premier cas : $m\times (1-\ln (m))=0$.

Comme $m>0$,

$\begin{array}{l}m\times (1-\ln (m))=0\iff 1-\ln (m)=0\\ \iff 1=\ln (m)\\ \iff \text{e}=m.\end{array}$

Dans ce cas, $m=\text{e}$, la fonction $d$ s'annule une seule fois en $x=\ln (m)=\ln (\text{e})=1$. Autrement dit, pour $m=\text{e}$, la courbe C et la droite $D_m$ d'équation $y=\text{e}\times x$ ont un seul point d'intersection.

Deuxième cas : $m\times (1-\ln (m))>0$.

Similairement au premier cas, $m\times (1-\ln (m))>0\iff 1-\ln (m)>0\iff \text{e}>m$. Dans ce cas, $\text{e}>m$ et la fonction $d$ est strictement positive sur ℝ. Autrement dit, pour $\text{e}>m$, la courbe $C$ et la droite $D_m$ n'ont aucun point d'intersection.

Troisième cas : $m\times (1-\ln (m))<mn>0</mn>$.

Dans ce cas, $\text{e}<mi>m</mi>$, le minimum de la fonction $d$ est strictement négatif. Il faut donc étudier le signe de la fonction $d$ sur $\left]-\infty ;\ln (m)\right]$ et sur $\left[\ln (m);+\text{}\infty \right[$.

Sur $\left]-\infty ;\ln (m)\right]$, la fonction $d$ est continue et strictement décroissante. De plus, comme $\underset{x\to -\infty }{\lim }d(x)=+\infty$ et $0\in \left[d(\ln (m));+\text{}\infty \right[$. D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, la fonction $d$ s'annule une seule fois sur $\left]-\infty ;\ln (m)\right]$.

De même, sur $\left[\ln (m)\text{;}+\text{}\infty \right[$, la fonction $d$ est continue et strictement croissante. Comme$\underset{x\to +\infty }{\lim }d(x)=+\infty$ et $0\in \left[d(\ln (m));+\text{}\infty \right[.$ D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, la fonction $d$ s'annule une seule fois sur $\left[\ln (m)\text{;}+\text{}\infty \right[$. Ainsi, pour $\text{e}<mi>m</mi>$, la courbe $\mathcal{C}$ et la droite $D_m$ ont deux points d'intersection.